onda hermitiana

Familia de ondas continuas

Las wavelets de Hermitian son una familia de wavelets discretas y continuas , utilizadas en la transformada de wavelets de Hermite continua y discreta. La wavelet hermitiana se define como la derivada de una distribución gaussiana para cada positivo : ^[1] ${\displaystyle n^{\textrm {th}}}$ ${\displaystyle n^{\textrm {th}}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \Psi _{n}(x)=(2n)^{-{\frac {n}{2}}}c_{n}\operatorname {He} _{n}\left(x\right)e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},}$$

polinomio (probabilista) de Hermite ${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)}$

El coeficiente de normalización viene dado por, ${\displaystyle c_{n}}$

$${\displaystyle c_{n}=\left(n^{{\frac {1}{2}}-n}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left(n^{{\frac {1}{2}}-n}{\sqrt {\pi }}2^{-n}(2n-1)!!\right)^{-{\frac {1}{2}}}\quad n\in \mathbb {N} .}$$

^[2] ${\displaystyle \Psi \in L_{\rho ,\mu }(-\infty ,\infty )}$

$${\displaystyle C_{\Psi }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\|{\hat {\Psi }}(n)\|^{2}}{\|n\|}}<\infty }$$

¿Dónde está la transformada de Hermite ? ${\displaystyle {\hat {\Psi }}(n)}$ ${\displaystyle \Psi }$

El perfeccionador en la resolución de la identidad de la transformada wavelet continua para esta wavelet viene dado por la fórmula [ ^{se necesita más explicación ]} ${\displaystyle C_{\Psi }}$

$${\displaystyle C_{\Psi }={\frac {4\pi n}{2n-1}}}$$

visión por computadoraprocesamiento de imágenesbaseespacio a escalaN-jet^[3]

Ejemplos

Las tres primeras derivadas de la función gaussiana con : ${\displaystyle \mu =0,\;\sigma =1}$

$${\displaystyle f(t)=\pi ^{-1/4}e^{(-t^{2}/2)},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f'(t)&=-\pi ^{-1/4}te^{(-t^{2}/2)},\\f''(t)&=\pi ^{-1/4}(t^{2}-1)e^{(-t^{2}/2)},\\f^{(3)}(t)&=\pi ^{-1/4}(3t-t^{3})e^{(-t^{2}/2)},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle ||f'||={\sqrt {2}}/2,||f''||={\sqrt {3}}/2,||f^{(3)}||={\sqrt {30}}/4}$

La normalización de las derivadas produce tres ondas hermitianas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{1}(t)&={\sqrt {2}}\pi ^{-1/4}te^{(-t^{2}/2)},\\\Psi _{2}(t)&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\pi ^{-1/4}(1-t^{2})e^{(-t^{2}/2)},\\\Psi _{3}(t)&={\frac {2}{15}}{\sqrt {30}}\pi ^{-1/4}(t^{3}-3t)e^{(-t^{2}/2)}.\end{aligned}}}$$

Ver también

• Ondícula
• La ondícula de Ricker es la ondícula hermitiana. ${\displaystyle n=2}$

Referencias

1. Brackx, F.; De Schepper, H.; De Schepper, N.; Sommen, F. (1 de febrero de 2008). "Ondas Hermitian Clifford-Hermite: un enfoque alternativo". Boletín de la Sociedad Matemática Belga, Simon Stevin . 15 (1). doi : 10.36045/bbms/1203692449 . ISSN  1370-1444.
2. "Transformaciones Wavelet continuas y discretas asociadas con la transformada de Hermite". Revista Internacional de Análisis y Aplicaciones . 2020.doi : 10.28924 /2291-8639-18-2020-531 .
3. Vaya, Benjamin W., ed. (15 de marzo de 2007). Enciclopedia Wiley de Ingeniería y Ciencias de la Computación (1 ed.). Wiley. doi : 10.1002/9780470050118.ecse609. ISBN 978-0-471-38393-2.

enlaces externos

• Hermitian Clifford – Hermite Wavelets (Departamento de Análisis Matemático, Facultad de Ingeniería, Universidad de Gante)