distribución q-gaussiana

Distribución de probabilidad

La distribución q -gaussiana es una distribución de probabilidad que surge de la maximización de la entropía de Tsallis bajo restricciones apropiadas. Es un ejemplo de una distribución de Tsallis . La q -gaussiana es una generalización de la gaussiana de la misma manera que la entropía de Tsallis es una generalización de la entropía estándar de Boltzmann-Gibbs o la entropía de Shannon . ^[1] La distribución normal se recupera cuando q  → 1.

La distribución q -gaussiana se ha aplicado a problemas en los campos de la mecánica estadística , la geología , la anatomía , la astronomía , la economía , las finanzas y el aprendizaje automático . La distribución suele favorecerse por sus colas pesadas en comparación con la gaussiana para 1 < q < 3. Para la distribución q -gaussiana es la PDF de una variable aleatoria acotada . Esto hace que en biología y otros dominios ^[2] la distribución q -gaussiana sea más adecuada que la distribución gaussiana para modelar el efecto de la estocasticidad externa. En 2008 se propuso un análogo q generalizado del teorema del límite central clásico ^[3] , en el que la restricción de independencia para las variables iid se relaja en una medida definida por el parámetro q , y la independencia se recupera cuando q  → 1. Sin embargo, todavía falta una prueba de dicho teorema. ^[4] ${\displaystyle q<1}$

En las regiones de cola pesada, la distribución es equivalente a la distribución t de Student con una correspondencia directa entre q y los grados de libertad . Por lo tanto, un profesional que utilice una de estas distribuciones puede parametrizar la misma distribución de dos maneras diferentes. La elección de la forma q -gaussiana puede surgir si el sistema no es extensivo o si no hay una conexión con tamaños de muestra pequeños.

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

La función q -gaussiana estándar tiene la función de densidad de probabilidad ^[3]

${\displaystyle f(x)={{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}(-\beta x^{2})}$

dónde

${\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]_{+}^{1 \over 1-q}}$

es el q -exponencial y el factor de normalización está dado por ${\displaystyle C_{q}}$

${\displaystyle C_{q}={{2{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({1 \over 1-q}\right)} \over {(3-q){\sqrt {1-q}}\Gamma \left({3-q \over 2(1-q)}\right)}}{\text{ for }}-\infty <q<1}$

${\displaystyle C_{q}={\sqrt {\pi }}{\text{ for }}q=1\,}$

${\displaystyle C_{q}={{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)} \over {{\sqrt {q-1}}\Gamma \left({1 \over q-1}\right)}}{\text{ for }}1<q<3.}$

Nótese que para la distribución q -gaussiana es la PDF de una variable aleatoria acotada . ${\displaystyle q<1}$

Función de densidad acumulada

Para la función de densidad acumulada es ^[5] ${\displaystyle 1<q<3}$

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {q-1}}\,\Gamma \left({1 \over q-1}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)}},}$

donde es la función hipergeométrica . Como la función hipergeométrica está definida para | z | < 1 pero x no tiene límites, se podría utilizar la transformación de Pfaff . ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

Para , ${\displaystyle q<1}$ $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x<-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\{\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {1-q}}\,\Gamma \left({5-3q \over 2(1-q)}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({2-q \over 1-q}\right)}}&-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}<x<{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\1&x>{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}.\end{cases}}}$$

Entropía

Así como la distribución normal es la distribución de máxima entropía de información para valores fijos del primer momento y del segundo momento (con el momento cero fijo correspondiente a la condición de normalización), la distribución q -gaussiana es la distribución de máxima entropía de Tsallis para valores fijos de estos tres momentos. ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{0})=1}$

Distribuciones relacionadas

Estudiantesa-distribución

Si bien puede justificarse mediante una forma alternativa interesante de entropía, estadísticamente es una reparametrización escalada de la distribución t de Student introducida por W. Gosset en 1908 para describir las estadísticas de muestras pequeñas. En la presentación original de Gosset, el parámetro de grados de libertad ν se restringió a ser un entero positivo relacionado con el tamaño de la muestra, pero se observa fácilmente que la función de densidad de Gosset es válida para todos los valores reales de ν . ^{[ cita requerida ]} La reparametrización escalada introduce los parámetros alternativos q y β que están relacionados con ν .

Dada una distribución t de Student con ν grados de libertad, la q -gaussiana equivalente tiene

${\displaystyle q={\frac {\nu +3}{\nu +1}}{\text{ with }}\beta ={\frac {1}{3-q}}}$

con inversa

${\displaystyle \nu ={\frac {3-q}{q-1}},{\text{ but only if }}\beta ={\frac {1}{3-q}}.}$

Siempre que , la función es simplemente una versión escalada de la distribución t de Student . ${\displaystyle \beta \neq {1 \over {3-q}}}$

A veces se sostiene que la distribución es una generalización de la distribución t de Student a grados de libertad negativos o no enteros. Sin embargo, la teoría de la distribución t de Student se extiende trivialmente a todos los grados de libertad reales, donde el soporte de la distribución ahora es compacto en lugar de infinito en el caso de ν < 0. ^{[ cita requerida ]}

Versión de tres parámetros

Al igual que con muchas distribuciones centradas en cero, la q -gaussiana se puede extender de manera trivial para incluir un parámetro de ubicación μ . La densidad queda definida entonces por

${\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta (x-\mu )^{2}}).}$

Generando desviaciones aleatorias

La transformada de Box-Muller se ha generalizado para permitir el muestreo aleatorio a partir de q -gaussianas. ^[6] La técnica estándar de Box-Muller genera pares de variables independientes distribuidas normalmente a partir de ecuaciones de la siguiente forma.

${\displaystyle Z_{1}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\cos(2\pi U_{2})}$

${\displaystyle Z_{2}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\sin(2\pi U_{2})}$

La técnica generalizada de Box-Muller puede generar pares de desviaciones q -gaussianas que no son independientes. En la práctica, solo se generará una única desviación a partir de un par de variables distribuidas uniformemente. La siguiente fórmula generará desviaciones a partir de una q -gaussiana con un parámetro q especificado y ${\displaystyle \beta ={1 \over {3-q}}}$

${\displaystyle Z={\sqrt {-2{\text{ ln}}_{q'}(U_{1})}}{\text{ cos}}(2\pi U_{2})}$

¿Dónde está el logaritmo q y ${\displaystyle {\text{ ln}}_{q}}$ ${\displaystyle q'={{1+q} \over {3-q}}}$

Estas desviaciones se pueden transformar para generar desviaciones a partir de una q -gaussiana arbitraria mediante

${\displaystyle Z'=\mu +{Z \over {\sqrt {\beta (3-q)}}}}$

Aplicaciones

Física

Se ha demostrado que la distribución del momento de los átomos fríos en redes ópticas disipativas es q -gaussiana. ^[7]

La distribución q -gaussiana también se obtiene como la función de densidad de probabilidad asintótica de la posición del movimiento unidimensional de una masa sujeta a dos fuerzas: una fuerza determinista del tipo (que determina un pozo de potencial infinito) y una fuerza de ruido blanco estocástico , donde es un ruido blanco . Nótese que en la aproximación de masa pequeña/sobreamortiguada la convergencia mencionada anteriormente falla para , como se ha demostrado recientemente. ^[8] ${\textstyle F_{1}(x)=-2x/(1-x^{2})}$ ${\textstyle F_{2}(t)={\sqrt {2(1-q)}}\xi (t)}$ ${\displaystyle \xi (t)}$ ${\displaystyle q<0}$

Finanzas

Las distribuciones de rendimiento financiero en la Bolsa de Valores de Nueva York, NASDAQ y otros lugares se han interpretado como q -gaussianas. ^{[9] [10]}

Véase también

• Constantino Tsallis
• Estadísticas de Tsallis
• Entropía de Tsallis
• Distribución de Tsallis
• distribución q -exponencial
• Proceso Q-Gaussiano

Notas

1. Tsallis, C. Entropía no aditiva y mecánica estadística no extensiva: una visión general después de 20 años. Braz. J. Phys. 2009, 39, 337–356
2. d'Onofrio A. (ed.) Ruidos acotados en física, biología e ingeniería. Birkhauser (2013)
3. Umarov, Sabir; Tsallis, Constantino; Steinberg, Stanly (2008). "Sobre un teorema del límite q-central consistente con la mecánica estadística no extensiva" (PDF) . Milan J. Math . 76 . Birkhauser Verlag: 307–328. doi :10.1007/s00032-008-0087-y. S2CID  55967725 . Consultado el 27 de julio de 2011 .
4. Hilhorst, HJ (2010), "Nota sobre un teorema del límite central modificado por q ", Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment , 2010 (10): 10023, arXiv : 1008.4259 , Bibcode :2010JSMTE..10..023H, doi :10.1088/1742-5468/2010/10/P10023, S2CID  119316670.
5. https://reference.wolframcloud.com/language/ref/TsallisQGaussianDistribution.html ^{[ URL básica ]}
6. W. Thistleton, JA Marsh, K. Nelson y C. Tsallis, Método Box-Muller generalizado para generar desviaciones aleatorias q -gaussianas, IEEE Transactions on Information Theory 53, 4805 (2007)
7. Douglas, P.; Bergamini, S.; Renzoni, F. (2006). "Distribuciones de Tsallis ajustables en redes ópticas disipativas" (PDF) . Physical Review Letters . 96 (11): 110601. Bibcode :2006PhRvL..96k0601D. doi :10.1103/PhysRevLett.96.110601. PMID  16605807.
8. Domingo, Dario; d'Onofrio, Alberto; Flandoli, Franco (2017). "Acotación vs. ilimitación de un ruido vinculado a la estadística q de Tsallis: el papel de la aproximación sobreamortiguada". Journal of Mathematical Physics . 58 (3). AIP Publishing: 033301. arXiv : 1709.08260 . Bibcode :2017JMP....58c3301D. doi :10.1063/1.4977081. ISSN  0022-2488. S2CID  84178785.
9. Borland, Lisa (7 de agosto de 2002). "Fórmulas de fijación de precios de opciones basadas en un modelo de precios de acciones no gaussiano". Physical Review Letters . 89 (9). American Physical Society (APS): 098701. arXiv : cond-mat/0204331 . Bibcode :2002PhRvL..89i8701B. doi :10.1103/physrevlett.89.098701. ISSN  0031-9007. PMID  12190447. S2CID  5740827.
10. L. Borland, La fijación de precios de las opciones sobre acciones, en Noextensive Entropy – Interdisciplinary Applications, eds. M. Gell-Mann y C. Tsallis (Oxford University Press, Nueva York, 2004)

Lectura adicional

• Juniper, J. (2007) "La distribución de Tsallis y la entropía generalizada: perspectivas para futuras investigaciones sobre toma de decisiones en condiciones de incertidumbre" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2011-07-06 . Consultado el 2011-06-24 .Centro de Pleno Empleo y Equidad, Universidad de Newcastle, Australia

Enlaces externos

• Estadística de Tsallis, mecánica estadística para sistemas no extensivos e interacciones de largo alcance