Relación de Mills

En probabilidad, una teoría

En teoría de probabilidad , el coeficiente de Mills (o razón de Mills ^[1] ) de una variable aleatoria continua es la función ${\displaystyle X}$

${\displaystyle m(x):={\frac {{\bar {F}}(x)}{f(x)}},}$

¿Dónde está la función de densidad de probabilidad , y ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\bar {F}}(x):=\Pr[X>x]=\int _{x}^{+\infty }f(u)\,du}$

es la función de distribución acumulativa complementaria (también llamada función de supervivencia ). El concepto recibe su nombre de John P. Mills. ^[2] El coeficiente de Mills está relacionado con la tasa de riesgo h ( x ) que se define como ^[3]

${\displaystyle h(x):=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{\delta }}\Pr[x<X\leq x+\delta |X>x]}$

por

${\displaystyle m(x)={\frac {1}{h(x)}}.}$

Límites superior e inferior

Cuando tiene una distribución normal estándar entonces se cumplen los siguientes límites para : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+1}}<m(x)<{\frac {1}{x}}}$^{[4] [5]}

Ejemplo

Si tiene distribución normal estándar entonces ${\displaystyle X}$

${\displaystyle m(x)\sim 1/x,\,}$

donde el signo significa que el cociente de las dos funciones converge a 1 como , ver Función Q para más detalles. Se pueden dar asintóticas más precisas. ^[6] ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle x\to +\infty }$

Relación inversa de Mills

El coeficiente de Mills inverso es el cociente entre la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa complementaria de una distribución. Su uso suele estar motivado por la siguiente propiedad de la distribución normal truncada . Si X es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con media μ y varianza σ ² , entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [\,X\,|\ X>\alpha \,]=\mu +\sigma {\frac {\phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}{1-\Phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}},\\&\operatorname {E} [\,X\,|\ X<\alpha \,]=\mu -\sigma {\frac {\phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}{\Phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}},\end{aligned}}}$

donde es una constante, denota la función de densidad normal estándar y es la función de distribución acumulativa normal estándar. Las dos fracciones son los cocientes de Mills inversos. ^[7] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Uso en regresión

Una aplicación común del coeficiente inverso de Mills (a veces también llamado “riesgo de no selección”) surge en el análisis de regresión para tener en cuenta un posible sesgo de selección . Si una variable dependiente está censurada (es decir, no para todas las observaciones se observa un resultado positivo), esto provoca una concentración de observaciones en valores cero. Este problema fue reconocido por primera vez por Tobin (1958), quien demostró que si esto no se toma en consideración en el procedimiento de estimación, una estimación de mínimos cuadrados ordinarios producirá estimaciones de parámetros sesgadas . ^[8] Con variables dependientes censuradas, existe una violación del supuesto de Gauss-Markov de correlación cero entre las variables independientes y el término de error . ^[9]

James Heckman propuso un procedimiento de estimación en dos etapas utilizando el ratio de Mills inverso para corregir el sesgo de selección. ^{[10] [11]} En un primer paso, se modela una regresión para observar un resultado positivo de la variable dependiente con un modelo probit . El ratio de Mills inverso debe generarse a partir de la estimación de un modelo probit , no se puede utilizar un logit . El modelo probit supone que el término de error sigue una distribución normal estándar . ^[10] Los parámetros estimados se utilizan para calcular el ratio de Mills inverso, que luego se incluye como una variable explicativa adicional en la estimación MCO. ^[12]

Véase también

• Corrección de Heckman

Referencias

1. Grimmett, G.; Stirzaker, S. (2001). Teoría de la probabilidad y procesos aleatorios (3.ª ed.). Cambridge. pág. 98. ISBN 0-19-857223-9.
2. Mills, John P. (1926). "Tabla de la relación: área a ordenada límite, para cualquier porción de la curva normal". Biometrika . 18 (3/4): 395–400. doi :10.1093/biomet/18.3-4.395. JSTOR  2331957.
3. Klein, JP; Moeschberger, ML (2003). Análisis de supervivencia: técnicas para datos censurados y truncados. Nueva York: Springer. p. 27. ISBN 0-387-95399-X.
4. "Límites superior e inferior de la función de distribución normal". www.johndcook.com . 2018-06-02 . Consultado el 2023-12-20 .
5. Wainwright MJ. Estadísticas de alta dimensión: un punto de vista no asintótico . Cambridge: Cambridge University Press; 2019. doi:10.1017/9781108627771
6. Small, Christopher G. (2010). Expansiones y asintóticas para estadística. Monografías sobre estadística y probabilidad aplicada. Vol. 115. CRC Press. págs. 48, 50–51, 88–90. ISBN 978-1-4200-1102-9..
7. Greene, WH (2003). Análisis econométrico (quinta edición). Prentice-Hall. pág. 759. ISBN 0-13-066189-9.
8. Tobin, J. (1958). "Estimación de relaciones para variables dependientes limitadas" (PDF) . Econometrica . 26 (1): 24–36. doi :10.2307/1907382. JSTOR  1907382.
9. Amemiya, Takeshi (1985). Econometría avanzada . Cambridge: Harvard University Press. pp. 366–368. ISBN 0-674-00560-0.
10. Heckman, JJ (1979). "La selección de muestras como un error de especificación". Econometrica . 47 (1): 153–161. doi :10.2307/1912352. JSTOR  1912352.
11. Amemiya, Takeshi (1985). Econometría avanzada . Cambridge: Harvard University Press. págs. 368-373. ISBN. 0-674-00560-0.
12. Heckman, JJ (1976). "La estructura común de los modelos estadísticos de truncamiento, selección de muestra y variables dependientes limitadas y un estimador simple para tales modelos". Anales de medición económica y social . 5 (4): 475–492.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Proporción de Mills". MundoMatemático .