Distribución elíptica

Familia de distribuciones que generalizan la distribución normal multivariante

En probabilidad y estadística , una distribución elíptica es cualquier miembro de una amplia familia de distribuciones de probabilidad que generalizan la distribución normal multivariante . Intuitivamente, en el caso simplificado bidimensional y tridimensional, la distribución conjunta forma una elipse y un elipsoide , respectivamente, en los gráficos de isodensidad.

En estadística , la distribución normal se utiliza en el análisis multivariante clásico , mientras que las distribuciones elípticas se utilizan en el análisis multivariante generalizado , para el estudio de distribuciones simétricas con colas que son pesadas , como la distribución t multivariante , o ligeras (en comparación con la distribución normal). Algunos métodos estadísticos que fueron motivados originalmente por el estudio de la distribución normal tienen un buen desempeño para distribuciones elípticas generales (con varianza finita), particularmente para distribuciones esféricas (que se definen a continuación). Las distribuciones elípticas también se utilizan en estadística robusta para evaluar los procedimientos estadísticos multivariantes propuestos.

Definición

Las distribuciones elípticas se definen en términos de la función característica de la teoría de la probabilidad. Un vector aleatorio en un espacio euclidiano tiene una distribución elíptica si su función característica satisface la siguiente ecuación funcional (para cada vector columna ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \phi _{X-\mu }(t)=\psi (t'\Sigma t)}$

para algún parámetro de ubicación , alguna matriz definida no negativa y alguna función escalar . ^[1] La definición de distribuciones elípticas para vectores aleatorios reales se ha extendido para dar cabida a vectores aleatorios en espacios euclidianos sobre el campo de números complejos , facilitando así las aplicaciones en el análisis de series de tiempo . ^[2] Hay métodos computacionales disponibles para generar vectores pseudoaleatorios a partir de distribuciones elípticas, para su uso en simulaciones de Monte Carlo , por ejemplo. ^[3] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \psi }$

Algunas distribuciones elípticas se definen alternativamente en términos de sus funciones de densidad . Una distribución elíptica con una función de densidad f tiene la forma:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))}$

donde es la constante normalizadora , es un vector aleatorio -dimensional con vector mediano (que también es el vector medio si este último existe), y es una matriz definida positiva que es proporcional a la matriz de covarianza si esta última existe. ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Ejemplos

Los ejemplos incluyen las siguientes distribuciones de probabilidad multivariadas:

• Distribución normal multivariante
• Distribución t multivariada
• Distribución estable multivariada simétrica ^[5]
• Distribución de Laplace multivariada simétrica ^[6]
• Distribución logística multivariada ^[7]
• Distribución hiperbólica general simétrica multivariada ^[7]

Propiedades

En el caso bidimensional, si existe la densidad, cada lugar geométrico de isodensidad (el conjunto de pares x ₁ , x ₂ que dan un valor particular de ) es una elipse o una unión de elipses (de ahí el nombre de distribución elíptica). De manera más general, para un valor arbitrario de n , los lugares geométricos de isodensidad son uniones de elipsoides . Todos estos elipsoides o elipses tienen el centro común μ y son copias escaladas (homotetes) entre sí. ${\displaystyle f(x)}$

La distribución normal multivariante es el caso especial en el que . Si bien la distribución normal multivariante no tiene límites (cada elemento de puede tomar valores positivos o negativos arbitrariamente grandes con una probabilidad distinta de cero, porque para todos los ), en general, las distribuciones elípticas pueden tener límites o no: una distribución de este tipo es limitada si para todos es mayor que algún valor. ${\displaystyle g(z)=e^{-z/2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{-z/2}>0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle g(z)=0}$ ${\displaystyle z}$

Existen distribuciones elípticas que tienen una media indefinida , como la distribución de Cauchy (incluso en el caso univariado). Debido a que la variable x entra en la función de densidad de forma cuadrática, todas las distribuciones elípticas son simétricas respecto de ${\displaystyle \mu .}$

Si dos subconjuntos de un vector aleatorio elíptico conjunto no están correlacionados , entonces, si existen sus medias, son independientes entre sí (la media de cada subvector condicional al valor del otro subvector es igual a la media incondicional). ^{[8] : p. 748}

Si el vector aleatorio X tiene una distribución elíptica, entonces también la tiene DX para cualquier matriz D con rango de fila completo . Por lo tanto, cualquier combinación lineal de los componentes de X es elíptica (aunque no necesariamente con la misma distribución elíptica), y cualquier subconjunto de X es elíptico. ^{[8] : p. 748}

Aplicaciones

Las distribuciones elípticas se utilizan en estadística y economía. También se utilizan para calcular las huellas de aterrizaje de las naves espaciales.

En economía matemática, se han utilizado distribuciones elípticas para describir carteras en finanzas matemáticas . ^{[9] [10]}

Estadística: Análisis multivariado generalizado

En estadística, la distribución normal multivariante (de Gauss) se utiliza en el análisis multivariante clásico , en el que la mayoría de los métodos de estimación y prueba de hipótesis se basan en la distribución normal. A diferencia del análisis multivariante clásico, el análisis multivariante generalizado se refiere a la investigación sobre distribuciones elípticas sin la restricción de la normalidad.

Para distribuciones elípticas adecuadas, algunos métodos clásicos siguen teniendo buenas propiedades. ^{[11] [12]} Bajo supuestos de varianza finita, se cumple una extensión del teorema de Cochran (sobre la distribución de formas cuadráticas). ^[13]

Distribución esférica

Una distribución elíptica con media cero y varianza en la forma donde es la matriz identidad se denomina distribución esférica . ^[14] Para las distribuciones esféricas, se han extendido los resultados clásicos sobre estimación de parámetros y prueba de hipótesis. ^{[15] [16]} Se obtienen resultados similares para los modelos lineales , ^[17] y, de hecho, también para los modelos complicados (especialmente para el modelo de curva de crecimiento ). El análisis de modelos multivariados utiliza álgebra multilineal (en particular, productos de Kronecker y vectorización ) y cálculo matricial . ^{[12] [18] [19]} ${\displaystyle \alpha I}$ ${\displaystyle I}$

Estadísticas robustas: asintóticas

Otro uso de las distribuciones elípticas es en las estadísticas robustas , en las que los investigadores examinan cómo se desempeñan los procedimientos estadísticos en la clase de distribuciones elípticas, para obtener información sobre el desempeño de los procedimientos en problemas aún más generales, ^[20] por ejemplo, utilizando la teoría limitante de las estadísticas ("asintótica"). ^[21]

Economía y finanzas

Las distribuciones elípticas son importantes en la teoría de carteras porque, si los rendimientos de todos los activos disponibles para la formación de carteras se distribuyen elípticamente de forma conjunta, entonces todas las carteras se pueden caracterizar completamente por su ubicación y escala; es decir, dos carteras cualesquiera con ubicación y escala idénticas de rendimiento de cartera tienen distribuciones idénticas de rendimiento de cartera. ^{[22] [8]} Varias características del análisis de carteras, incluidos los teoremas de separación de fondos mutuos y el modelo de fijación de precios de activos de capital , se cumplen para todas las distribuciones elípticas. ^{[8] : p. 748}

Notas

1. Cambanis, Huang y Simons (1981, pág.368)
2. Fang, Kotz y Ng (1990, Capítulo 2.9 "Distribuciones elípticamente simétricas complejas", págs. 64-66)
3. Johnson (1987, Capítulo 6, "Distribuciones contorneadas elípticamente", págs. 106-124): Johnson, Mark E. (1987). Simulación estadística multivariante: una guía para seleccionar y generar distribuciones multivariantes continuas . John Wiley and Sons., "una discusión admirablemente lúcida" según Fang, Kotz y Ng (1990, p. 27).
4. Frahm, G., Junker, M. y Szimayer, A. (2003). Cópulas elípticas: aplicabilidad y limitaciones. Statistics & Probability Letters , 63(3), 275–286.
5. Nolan, John (29 de septiembre de 2014). «Densidades estables multivariadas y funciones de distribución: caso general y elíptico» . Consultado el 26 de mayo de 2017 .
6. Pascal, F.; et al. (2013). "Estimación de parámetros para distribuciones gaussianas generalizadas multivariadas". IEEE Transactions on Signal Processing . 61 (23): 5960–5971. arXiv : 1302.6498 . Bibcode :2013ITSP...61.5960P. doi :10.1109/TSP.2013.2282909. S2CID  3909632.
7. Schmidt, Rafael (2012). "Modelado y estimación del riesgo crediticio mediante cópulas elípticas". En Bol, George; et al. (eds.). Riesgo crediticio: medición, evaluación y gestión . Springer. pág. 274. ISBN 9783642593659.
8. Owen y Rabinovitch (1983)
9. (Gupta, Varga y Bodnar 2013)
10. (Chamberlain 1983; Owen y Rabinovitch 1983)
11. Anderson (2004, La sección final del texto (antes de "Problemas") que siempre se titula "Distribuciones elípticamente contorneadas", de los siguientes capítulos: Capítulos 3 ("Estimación del vector medio y la matriz de covarianza", Sección 3.6, pp. 101-108), 4 ("Las distribuciones y usos de los coeficientes de correlación muestral", Sección 4.5, pp. 158-163), 5 ("El estadístico T ² generalizado ", Sección 5.7, pp. 199-201), 7 ("La distribución de la matriz de covarianza muestral y la varianza generalizada muestral", Sección 7.9, pp. 242-248), 8 ("Prueba de la hipótesis lineal general; análisis multivariado de la varianza", Sección 8.11, pp. 370-374), 9 ("Prueba de independencia de conjuntos de variables", Sección 9.11, pp. 404-408), 10 ("Prueba de hipótesis de igualdad de matrices de covarianza e igualdad de vectores de media y vectores de covarianza", Sección 10.11, págs. 449-454), 11 ("Componentes principales", Sección 11.8, págs. 482-483), 13 ("La distribución de raíces y vectores característicos", Sección 13.8, págs. 563-567))
12. Fang y Zhang (1990)
13. Fang y Zhang (1990, Capítulo 2.8 "Distribución de formas cuadráticas y teorema de Cochran", págs. 74-81)
14. Fang y Zhang (1990, Capítulo 2.5 "Distribuciones esféricas", págs. 53-64)
15. Fang y Zhang (1990, Capítulo IV "Estimación de parámetros", págs. 127-153)
16. Fang y Zhang (1990, Capítulo V "Prueba de hipótesis", págs. 154-187)
17. Fang y Zhang (1990, Capítulo VII "Modelos lineales", págs. 188-211)
18. Pan y Fang (2007, pág. ii)
19. Kollo y von Rosen (2005, pág. xiii)
20. Kariya, Takeaki; Sinha, Bimal K. (1989). Robustez de las pruebas estadísticas . Academic Press. ISBN 0123982308.
21. Kollo y von Rosen (2005, pág.221)
22. Chamberlain (1983)

Referencias

• Anderson, TW (2004). Introducción al análisis estadístico multivariante (3.ª ed.). Nueva York: John Wiley and Sons. ISBN 9789812530967.
• Cambanis, Stamatis; Huang, Steel; Simons, Gordon (1981). "Sobre la teoría de distribuciones contorneadas elípticamente". Journal of Multivariate Analysis . 11 (3): 368–385. doi : 10.1016/0047-259x(81)90082-8 .
• Chamberlain, Gary (febrero de 1983). "Una caracterización de las distribuciones que implican media: funciones de utilidad de varianza". Journal of Economic Theory . 29 (1): 185–201. doi :10.1016/0022-0531(83)90129-1.
• Fang, Kai-Tai; Zhang, Yao-Ting (1990). Análisis multivariado generalizado . Science Press (Beijing) y Springer-Verlag (Berlín). ISBN 3540176519.OCLC 622932253  .
• Fang, Kai-Tai ; Kotz, Samuel ; Ng, Kai Wang ("Kai-Wang" en la portada) (1990). Distribuciones multivariadas simétricas y relacionadas . Monografías sobre estadística y probabilidad aplicada. Vol. 36. Londres: Chapman and Hall. ISBN 0-412-314-304.OCLC 123206055  .
• Gupta, Arjun K.; Varga, Tamas; Bodnar, Taras (2013). Modelos de contorno elíptico en estadística y teoría de carteras (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4614-8154-6. ISBN 978-1-4614-8153-9.

  Originalmente Gupta, Arjun K.; Varga, Tamas (1993). Modelos de contorno elíptico en estadística . Matemáticas y sus aplicaciones (1.ª ed.). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0792326083.

• Kollo, Tõnu; Von Rosen, Dietrich (2005). Estadística multivariada avanzada con matrices . Dordrecht: Springer. ISBN 978-1-4020-3418-3.
• Owen, Joel; Rabinovitch, Ramon (junio de 1983). "Sobre la clase de distribuciones elípticas y sus aplicaciones a la teoría de la elección de cartera". The Journal of Finance . 38 (3): 745–752. doi :10.2307/2328079. JSTOR  2328079.
• Pan, Jianxin; Fang, Kaitai (2007). Modelos de curvas de crecimiento y diagnósticos estadísticos (PDF) . Springer series in statistics. Science Press (Beijing) y Springer-Verlag (Nueva York). doi :10.1007/978-0-387-21812-0. ISBN 9780387950532.OCLC 44162563  .

Lectura adicional

• Fang, Kai-Tai ; Anderson, TW , eds. (1990). Inferencia estadística en distribuciones elípticamente contorneadas y relacionadas . Nueva York: Allerton Press. ISBN 0898640482.OCLC 20490516  .Una colección de documentos.