Teorema de separación de fondos mutuos

En teoría de carteras , un teorema de separación de fondos mutuos , teorema de fondos mutuos o teorema de separación es un teorema que establece que, bajo ciertas condiciones, la cartera óptima de cualquier inversionista puede construirse manteniendo cada uno de ciertos fondos mutuos en proporciones apropiadas, donde el número de fondos mutuos Los fondos son menores que el número de activos individuales en la cartera. En este caso, un fondo mutuo se refiere a cualquier cartera de referencia específica de los activos disponibles. Hay dos ventajas de tener un teorema de fondos mutuos. Primero, si se cumplen las condiciones pertinentes, puede ser más fácil (o menores costos de transacción) para un inversionista comprar una cantidad menor de fondos mutuos que comprar una cantidad mayor de activos individualmente. En segundo lugar, desde un punto de vista teórico y empírico, si se puede suponer que las condiciones relevantes se cumplen, entonces se pueden derivar y probar implicaciones para el funcionamiento de los mercados de activos.

Separación de carteras en el análisis de media-varianza

Las carteras se pueden analizar en un marco de varianza media , en el que cada inversor mantiene la cartera con la varianza de rendimiento más baja posible consistente con el nivel de rendimiento esperado elegido por ese inversor (llamado cartera de varianza mínima ), si los rendimientos de los activos son conjuntamente elípticos. distribuidos , incluyendo el caso especial en el que conjuntamente se distribuyen normalmente . ^{[1] [2]} Bajo el análisis de varianza media, se puede demostrar ^[3] que cada cartera de varianza mínima dado un rendimiento esperado particular (es decir, cada cartera eficiente) puede formarse como una combinación de dos carteras eficientes cualesquiera. Si la cartera óptima del inversor tiene un rendimiento esperado que se encuentra entre los rendimientos esperados de dos carteras de referencia eficientes, entonces la cartera de ese inversor puede caracterizarse como compuesta por cantidades positivas de las dos carteras de referencia.

Ningún activo libre de riesgo

Para ver la separación de dos fondos en un contexto en el que no hay ningún activo libre de riesgo disponible, usando álgebra matricial , sea la varianza del rendimiento de la cartera, sea el nivel de rendimiento esperado de la cartera cuya variación del rendimiento de la cartera debe minimizarse dependiente de, sea el vector de rendimientos esperados sobre los activos disponibles, sea el vector de cantidades a colocar en los activos disponibles, sea la cantidad de riqueza que se asignará en la cartera, y sea un vector de unos. Entonces, el problema de minimizar la varianza del rendimiento de la cartera sujeta a un nivel dado de rendimiento esperado de la cartera se puede expresar como ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 1}$

Minimizar ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

sujeto a

${\displaystyle X^{T}r=\mu }$

y

${\displaystyle X^{T}1=W}$

donde el superíndice denota la transpuesta de una matriz. La varianza del rendimiento de la cartera en la función objetivo se puede escribir como donde está la matriz de covarianza definida positiva de los rendimientos de los activos individuales. El lagrangiano para este problema de optimización restringida (cuyas condiciones de segundo orden se puede demostrar que se satisfacen) es ${\displaystyle ^{T}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX,}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle L=X^{T}VX+2\lambda (\mu -X^{T}r)+2\eta (W-X^{T}1),}$

con multiplicadores de Lagrange y . Esto se puede resolver para el vector óptimo de cantidades de activos igualando a cero las derivadas con respecto a , y , resolviendo provisionalmente la condición de primer orden en términos de y , sustituyendo en las otras condiciones de primer orden, resolviendo para y en términos de los parámetros del modelo, y sustituyendo nuevamente en la solución provisional para . El resultado es ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {W}{\Delta }}[(r^{T}V^{-1}r)V^{-1}1-(1^{T}V^{-1}r)V^{-1}r]+{\frac {\mu }{\Delta }}[(1^{T}V^{-1}1)V^{-1}r-(r^{T}V^{-1}1)V^{-1}1]}$

dónde

${\displaystyle \Delta =(r^{T}V^{-1}r)(1^{T}V^{-1}1)-(r^{T}V^{-1}1)^{2}>0.}$

Para simplificar, esto se puede escribir de forma más compacta como

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu }$

donde y son vectores de parámetros basados ​​en los parámetros del modelo subyacente. Consideremos ahora dos carteras eficientes de referencia construidas con rendimientos esperados de referencia y , por lo tanto, dadas por ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{1}}$

y

${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{2}.}$

La cartera óptima en forma arbitraria se puede escribir como un promedio ponderado de y de la siguiente manera: ${\displaystyle \mu _{3}}$ ${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }}$ ${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }}$

${\displaystyle X_{3}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{3}={\frac {\mu _{3}-\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{1}^{\mathrm {opt} }+{\frac {\mu _{1}-\mu _{3}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{2}^{\mathrm {opt} }.}$

Esta ecuación demuestra el teorema de separación de dos fondos para el análisis de media-varianza. Para una interpretación geométrica, consulte la bala de Markowitz .

Un activo libre de riesgo

Si se dispone de un activo libre de riesgo , se aplica nuevamente el teorema de separación de dos fondos; pero en este caso se puede elegir uno de los "fondos" para que sea un fondo muy simple que contenga sólo el activo libre de riesgo, y se puede elegir el otro fondo para que sea uno que no contenga tenencias del activo libre de riesgo. (Cuando el activo libre de riesgo se denomina "dinero", esta forma del teorema se conoce como teorema de separación monetaria ). Por lo tanto, las carteras eficientes de varianza media se pueden formar simplemente como una combinación de tenencias del activo libre de riesgo. y tenencias de un fondo eficiente particular que contiene sólo activos de riesgo. Sin embargo, la derivación anterior no se aplica, ya que con un activo libre de riesgo la matriz de covarianza anterior de todos los rendimientos de los activos, tendría una fila y una columna de ceros y, por lo tanto, no sería invertible. En cambio, el problema se puede plantear como ${\displaystyle V}$

Minimizar ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

sujeto a

${\displaystyle (W-X^{T}1)r_{f}+X^{T}r=\mu ,}$

donde es el rendimiento conocido del activo libre de riesgo, ahora es el vector de cantidades que se mantendrán en los activos de riesgo y es el vector de rendimientos esperados de los activos de riesgo. El lado izquierdo de la última ecuación es el rendimiento esperado de la cartera, ya que es la cantidad mantenida en el activo libre de riesgo, incorporando así la restricción de suma de activos que en el problema anterior requería la inclusión de una restricción lagrangiana separada. La función objetivo se puede escribir como , donde ahora está la matriz de covarianza de los activos riesgosos únicamente. Se puede demostrar que este problema de optimización produce el vector óptimo de tenencias de activos riesgosos. ${\displaystyle r_{f}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (W-X^{T}1)}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {(\mu -Wr_{f})}{(r-1r_{f})^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

Por supuesto, esto equivale a un vector cero si , el rendimiento de la cartera libre de riesgo, en cuyo caso toda la riqueza se mantiene en el activo libre de riesgo. Se puede demostrar que la cartera con exactamente cero tenencias del activo libre de riesgo ocurre en y está dada por ${\displaystyle \mu =Wr_{f}}$ ${\displaystyle \mu ={\tfrac {Wr^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}}$

${\displaystyle X^{*}={\frac {W}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

También se puede demostrar (de manera análoga a la demostración en el caso anterior de dos fondos mutuos) que el vector de activos riesgosos de cada cartera (es decir, para cada valor de ) puede formarse como una combinación ponderada del último vector y el vector cero. . Para una interpretación geométrica, consulte la frontera eficiente sin ningún activo libre de riesgo . ${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }}$ ${\displaystyle \mu }$

Separación de carteras sin análisis de media-varianza

Si los inversores tienen una aversión al riesgo absoluta hiperbólica (HARA) (incluida la función de utilidad de energía , la función logarítmica y la función de utilidad exponencial ), se pueden obtener teoremas de separación sin el uso de análisis de media-varianza. Por ejemplo, David Cass y Joseph Stiglitz ^[4] demostraron en 1970 que la separación monetaria de dos fondos se aplica si todos los inversores tienen una utilidad HARA con el mismo exponente entre sí. ^{[5] : capítulo 4}

Más recientemente, en el modelo de optimización dinámica de cartera de Çanakoğlu y Özekici, ^[6] el nivel de riqueza inicial del inversor (la característica distintiva de los inversores) no afecta la composición óptima de la parte riesgosa de la cartera. Schmedders da un resultado similar. ^[7]

Referencias

1. Chamberlain, G (1983). "Una caracterización de las distribuciones que implican funciones de utilidad de media-varianza". Revista de teoría económica . 29 : 185-201. doi :10.1016/0022-0531(83)90129-1.
2. Owen, J.; Rabinovitch, R. (1983). "Sobre la clase de distribuciones elípticas y sus aplicaciones a la teoría de la elección de cartera". Revista de Finanzas . 38 (3): 745–752. doi :10.1111/j.1540-6261.1983.tb02499.x.
3. Merton, Robert ; Septiembre (1972). "Una derivación analítica de la frontera de la cartera eficiente" (PDF) . Revista de Análisis Financiero y Cuantitativo . 7 (4): 1851–1872. doi :10.2307/2329621. hdl : 1721.1/46832 . JSTOR  2329621.
4. Cass, David; Stiglitz, José (1970). "La estructura de las preferencias de los inversores y la rentabilidad de los activos, y la separabilidad en la asignación de carteras". Revista de teoría económica . 2 (2): 122–160. doi :10.1016/0022-0531(70)90002-5.
5. Huang, Chi-fu y Robert H. Litzenberger, Fundamentos de la economía financiera , Holanda Septentrional, 1988.
6. Çanakoğlu, Ethem; Özekici, Süleyman (2010). "Selección de cartera en mercados estocásticos con funciones de utilidad HARA". Revista europea de investigación operativa . 201 (2): 520–536. doi :10.1016/j.ejor.2009.03.017.
7. Schmedders, Karl H. (15 de junio de 2006) "Separación de dos fondos en equilibrio general dinámico", Serie de documentos de trabajo de SSRN. https://ssrn.com/abstract=908587