Teoría moderna de la cartera

Marco matemático para el riesgo de inversión.

La teoría de cartera moderna ( MPT ), o análisis de varianza media , es un marco matemático para ensamblar una cartera de activos de manera que se maximice el rendimiento esperado para un nivel de riesgo determinado. Es una formalización y extensión de la diversificación en la inversión, la idea de que poseer diferentes tipos de activos financieros es menos riesgoso que poseer un solo tipo. Su idea clave es que el riesgo y el rendimiento de un activo no deben evaluarse por sí solos, sino por cómo contribuye al riesgo y rendimiento generales de una cartera. La varianza del rendimiento (o su transformación, la desviación estándar ) se utiliza como medida del riesgo, porque es manejable cuando los activos se combinan en carteras. ^[1] A menudo, la varianza y covarianza históricas de los rendimientos se utilizan como proxy para las versiones prospectivas de estas cantidades, ^[2] pero hay otros métodos más sofisticados disponibles. ^[3]

El economista Harry Markowitz introdujo la MPT en un ensayo de 1952, ^[1] por el que más tarde recibió el Premio Nobel de Ciencias Económicas ; ver modelo de Markowitz .

En 1940, Bruno de Finetti publicó ^[4] el método de análisis de media-varianza, en el contexto del reaseguro proporcional, bajo un supuesto más fuerte. El artículo era oscuro y sólo llegó a ser conocido por los economistas del mundo de habla inglesa en 2006. ^[5]

Modelo matemático

Riesgo y retorno esperado

MPT supone que los inversores tienen aversión al riesgo , lo que significa que, dadas dos carteras que ofrecen el mismo rendimiento esperado, los inversores preferirán la que tenga menos riesgo. Por lo tanto, un inversor asumirá un mayor riesgo sólo si está compensado por mayores rendimientos esperados. Por el contrario, un inversor que quiere mayores rendimientos esperados debe aceptar más riesgos. La compensación exacta no será la misma para todos los inversores. Diferentes inversores evaluarán la compensación de manera diferente según las características individuales de aversión al riesgo. La implicación es que un inversionista racional no invertirá en una cartera si existe una segunda cartera con un perfil de riesgo versus retorno esperado más favorable , es decir, si para ese nivel de riesgo existe una cartera alternativa que tenga mejores retornos esperados.

Bajo el modelo:

• El rendimiento de la cartera es la combinación ponderada proporcionalmente de los rendimientos de los activos que lo componen.
• La volatilidad del rendimiento de la cartera es función de las correlaciones ρ _ij de los activos componentes, para todos los pares de activos ( i , j ). La volatilidad da una idea del riesgo asociado con la inversión. Cuanto mayor es la volatilidad, mayor es el riesgo. ${\displaystyle \sigma _{p}}$

En general:

• Rendimiento esperado:

${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=\sum _{i}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})\quad }$

donde es el rendimiento de la cartera, es el rendimiento del activo i y es la ponderación del activo componente (es decir, la proporción del activo "i" en la cartera, de modo que ). ${\displaystyle R_{p}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$

• Variación del rendimiento de la cartera:

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}\sum _{j\neq i}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$,

donde es la desviación estándar (muestra) de los rendimientos periódicos de un activo i , y es el coeficiente de correlación entre los rendimientos de los activos i y j . Alternativamente, la expresión se puede escribir como: ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \rho _{ij}}$

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$,

donde para , o ${\displaystyle \rho _{ij}=1}$ ${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}}$,

donde es la covarianza (muestra) de los rendimientos periódicos de los dos activos, o alternativamente se denota como , o . ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$ ${\displaystyle \sigma (i,j)}$ ${\displaystyle {\text{cov}}_{ij}}$ ${\displaystyle {\text{cov}}(i,j)}$

• Volatilidad del rendimiento de la cartera (desviación estándar):

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\sigma _{p}^{2}}}}$

Para una cartera de dos activos :

• Rentabilidad esperada de la cartera: ${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B}).}$
• Variación de la cartera: ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}}$

Para una cartera de tres activos :

• Rentabilidad esperada de la cartera: ${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})+w_{C}\operatorname {E} (R_{C})}$
• Variación de la cartera: ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+w_{C}^{2}\sigma _{C}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}+2w_{A}w_{C}\sigma _{A}\sigma _{C}\rho _{AC}+2w_{B}w_{C}\sigma _{B}\sigma _{C}\rho _{BC}}$

El álgebra se puede simplificar mucho expresando las cantidades involucradas en la notación matricial. ^[6] Organice los rendimientos de N activos riesgosos en un vector , donde el primer elemento es el rendimiento del primer activo, el segundo elemento del segundo activo, y así sucesivamente. Organice sus rendimientos esperados en un vector de columna y sus varianzas y covarianzas en una matriz de covarianzas . Considere una cartera de activos riesgosos cuya ponderación en cada uno de los N activos riesgosos viene dada por el elemento correspondiente del vector de ponderaciones . Entonces: ${\displaystyle N\times 1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle w}$

• Rentabilidad esperada de la cartera: ${\displaystyle w'\mu }$

y

• Variación de la cartera: ${\displaystyle w'\Sigma w}$

Para el caso en el que se invierte en un activo libre de riesgo con rendimiento , las ponderaciones del vector de ponderaciones no suman 1 y el rendimiento esperado de la cartera se convierte en . La expresión de la variación de la cartera no cambia. ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle w'\mu +(1-w'1)Rf}$

Diversificación

Un inversor puede reducir el riesgo de la cartera (especialmente ) simplemente manteniendo combinaciones de instrumentos que no están perfectamente correlacionados positivamente ( coeficiente de correlación ). En otras palabras, los inversores pueden reducir su exposición al riesgo de activos individuales manteniendo una cartera diversificada de activos. La diversificación puede permitir obtener el mismo rendimiento esperado de la cartera con un riesgo reducido. El marco de media-varianza para construir carteras de inversión óptimas fue propuesto por primera vez por Markowitz y desde entonces ha sido reforzado y mejorado por otros economistas y matemáticos que luego tuvieron en cuenta las limitaciones del marco. ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle -1\leq \rho _{ij}<1}$

Si todos los pares de activos tienen correlaciones de 0 (no están perfectamente correlacionados), la varianza del rendimiento de la cartera es la suma de todos los activos del cuadrado de la fracción mantenida en el activo multiplicada por la varianza del rendimiento del activo (y la desviación estándar de la cartera es la raíz cuadrada de esta suma).

Si todos los pares de activos tienen correlaciones de 1 (están perfectamente correlacionados positivamente), entonces la desviación estándar del rendimiento de la cartera es la suma de las desviaciones estándar de los rendimientos de los activos ponderadas por las fracciones mantenidas en la cartera. Para determinadas ponderaciones de cartera y determinadas desviaciones estándar de los rendimientos de los activos, el caso de que todas las correlaciones sean 1 da la desviación estándar más alta posible del rendimiento de la cartera.

Frontera eficiente sin activos libres de riesgo

Frontera eficiente. A veces se hace referencia a la hipérbola como la "bala de Markowitz" y es la frontera eficiente si no hay ningún activo libre de riesgo disponible. Con un activo libre de riesgo, la línea recta es la frontera eficiente.

El MPT es una teoría de la varianza media y compara el rendimiento esperado (medio) de una cartera con la desviación estándar de la misma cartera. La imagen muestra el rendimiento esperado en el eje vertical y la desviación estándar en el eje horizontal (volatilidad). La volatilidad se describe mediante la desviación estándar y sirve como medida de riesgo. ^[7] El espacio rendimiento-desviación estándar a veces se denomina espacio de "rendimiento esperado versus riesgo". Cada combinación posible de activos riesgosos se puede trazar en este espacio de rendimiento esperado de riesgo, y la colección de todas esas carteras posibles define una región en este espacio. El límite izquierdo de esta región es hiperbólico, ^[8] y la parte superior del límite hiperbólico es la frontera eficiente en ausencia de un activo libre de riesgo (a veces llamado "la bala de Markowitz"). Las combinaciones a lo largo de este borde superior representan carteras (incluidas las tenencias del activo libre de riesgo) para las cuales existe el riesgo más bajo para un nivel determinado de rendimiento esperado. De manera equivalente, una cartera que se encuentra en la frontera eficiente representa la combinación que ofrece el mejor rendimiento esperado posible para un nivel de riesgo determinado. La tangente a la parte superior del límite hiperbólico es la línea de asignación de capital (CAL).

Se prefieren las matrices para los cálculos de la frontera eficiente.

En forma matricial, para una determinada "tolerancia al riesgo" , la frontera eficiente se encuentra minimizando la siguiente expresión: ${\displaystyle q\in [0,\infty )}$

${\displaystyle w^{T}\Sigma w-qR^{T}w}$

dónde

• ${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{N}}$es un vector de ponderaciones de cartera y (las ponderaciones pueden ser negativas); ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1.}$
• ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{N\times N}}$es la matriz de covarianza de los rendimientos de los activos de la cartera;
• ${\displaystyle q\geq 0}$es un factor de "tolerancia al riesgo", donde 0 da como resultado una cartera con riesgo mínimo y da como resultado una cartera infinitamente alejada de la frontera con rendimiento esperado y riesgo ilimitados; y ${\displaystyle \infty }$
• ${\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{N}}$es un vector de rendimientos esperados.
• ${\displaystyle w^{T}\Sigma w\in \mathbb {R} }$es la varianza del rendimiento de la cartera.
• ${\displaystyle R^{T}w\in \mathbb {R} }$es el rendimiento esperado de la cartera.

La optimización anterior encuentra el punto en la frontera en el que la inversa de la pendiente de la frontera sería q si la varianza del rendimiento de la cartera en lugar de la desviación estándar se trazara horizontalmente. La frontera en su totalidad es paramétrica en q .

Harry Markowitz desarrolló un procedimiento específico para resolver el problema anterior, llamado algoritmo de línea crítica , ^[9] que puede manejar restricciones lineales adicionales, límites superiores e inferiores de los activos, y que ha demostrado funcionar con una matriz de covarianza definida semipositiva. Existen ejemplos de implementación del algoritmo de línea crítica en Visual Basic para Aplicaciones , ^[10] en JavaScript ^[11] y en algunos otros lenguajes.

Además, muchos paquetes de software, incluidos MATLAB , Microsoft Excel , Mathematica y R , proporcionan rutinas de optimización genéricas para que sea posible utilizarlas para resolver el problema anterior, con posibles advertencias (precisión numérica deficiente, requisito de precisión positiva de la matriz de covarianza... .).

Un enfoque alternativo para especificar la frontera eficiente es hacerlo de forma paramétrica sobre el rendimiento esperado de la cartera. Esta versión del problema requiere que minimicemos ${\displaystyle R^{T}w.}$

${\displaystyle w^{T}\Sigma w}$

sujeto a

${\displaystyle R^{T}w=\mu }$

y

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1}$

para el parámetro . Este problema se resuelve fácilmente usando un multiplicador de Lagrange que conduce al siguiente sistema lineal de ecuaciones: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\Sigma &-R&-{\bf {1}}\\R^{T}&0&0\\{\bf {1}}^{T}&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\mu \\1\end{bmatrix}}}$

Teorema de los dos fondos mutuos

Un resultado clave del análisis anterior es el teorema de los dos fondos mutuos . ^{[12] [13]} Este teorema establece que cualquier cartera en la frontera eficiente puede generarse manteniendo una combinación de dos carteras determinadas en la frontera; las dos últimas carteras dadas son los "fondos mutuos" en el nombre del teorema. Así, en ausencia de un activo libre de riesgo, un inversor puede lograr cualquier cartera eficiente que desee, incluso si lo único que tiene a su alcance es un par de fondos mutuos eficientes. Si la ubicación de la cartera deseada en la frontera se encuentra entre las ubicaciones de los dos fondos mutuos, ambos fondos mutuos se mantendrán en cantidades positivas. Si la cartera deseada está fuera del rango que abarcan los dos fondos mutuos, entonces uno de los fondos mutuos debe venderse en corto (mantenerse en cantidad negativa), mientras que el tamaño de la inversión en el otro fondo mutuo debe ser mayor que la cantidad disponible para inversión (el exceso se financia con préstamos del otro fondo).

Activo libre de riesgo y línea de asignación de capital

El activo libre de riesgo es el activo (hipotético) que paga una tasa libre de riesgo . En la práctica, los valores gubernamentales a corto plazo (como las letras del Tesoro estadounidense ) se utilizan como activos libres de riesgo porque pagan una tasa de interés fija y tienen un riesgo de incumplimiento excepcionalmente bajo . El activo libre de riesgo tiene una variación cero en los rendimientos (por lo tanto, está libre de riesgo); tampoco está correlacionado con ningún otro activo (por definición, ya que su varianza es cero). Como resultado, cuando se combina con cualquier otro activo o cartera de activos, el cambio en el rendimiento está relacionado linealmente con el cambio en el riesgo a medida que varían las proporciones en la combinación.

Cuando se introduce un activo libre de riesgo, la media línea que se muestra en la figura es la nueva frontera eficiente. Es tangente a la hipérbola en la cartera de riesgo puro con el índice de Sharpe más alto . Su intersección vertical representa una cartera con el 100% de las participaciones en el activo libre de riesgo; la tangencia con la hipérbola representa una cartera sin tenencias libres de riesgo y el 100% de los activos mantenidos en la cartera se encuentran en el punto de tangencia; los puntos entre esos puntos son carteras que contienen cantidades positivas tanto de la cartera de tangencia riesgosa como del activo libre de riesgo; y los puntos en la línea media más allá del punto de tangencia son carteras que involucran tenencias negativas del activo libre de riesgo y una cantidad invertida en la cartera de tangencia igual a más del 100% del capital inicial del inversionista. Esta media línea eficiente se llama línea de asignación de capital (CAL) y se puede demostrar que su fórmula es

${\displaystyle E(R_{C})=R_{F}+\sigma _{C}{\frac {E(R_{P})-R_{F}}{\sigma _{P}}}.}$

En esta fórmula, P es la subcartera de activos riesgosos en la tangencia con la bala de Markowitz, F es el activo libre de riesgo y C es una combinación de las carteras P y F.

Según el diagrama, la introducción del activo libre de riesgo como un posible componente de la cartera ha mejorado el rango de combinaciones de riesgo-rendimiento esperado disponibles, porque en todas partes, excepto en la cartera de tangencia, la media línea da un rendimiento esperado más alto que la hipérbola. lo hace en todos los niveles de riesgo posibles. El hecho de que todos los puntos del locus lineal eficiente se puedan lograr mediante una combinación de tenencias del activo libre de riesgo y la cartera tangencial se conoce como el teorema de un fondo mutuo , ^[12] donde el fondo mutuo al que se hace referencia es la cartera tangencial. .

Intuición geométrica

La frontera eficiente puede representarse como un problema en curvas cuadráticas . ^[12] En el mercado tenemos los activos . Tenemos algunos fondos y una cartera es una forma de dividir nuestros fondos en activos. Cada cartera se puede representar como un vector , tal que , y mantenemos los activos según . ${\displaystyle R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$ ${\displaystyle w^{T}R=\sum _{i}w_{i}R_{i}}$

bala de markowitz

El elipsoide es el contorno de varianza constante. El plano es el espacio de las carteras posibles. El otro plano es el contorno del retorno esperado constante. El elipsoide cruza el plano para dar una elipse de carteras de varianza constante. En esta elipse, el punto de retorno esperado máximo (o mínimo) es el punto donde es tangente al contorno de retorno esperado constante. Todas estas carteras caen en una línea. ${\displaystyle x+y+z=1}$

Como deseamos maximizar el rendimiento esperado y minimizar la desviación estándar del rendimiento, debemos resolver un problema de optimización cuadrática:

$${\displaystyle {\begin{cases}E[w^{T}R]=\mu \\\min \sigma ^{2}=Var[w^{T}R]\\\sum _{i}w_{i}=1\end{cases}}}$$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$ ${\displaystyle w^{T}E[R]=\mu }$ ${\displaystyle \sum _{ij}w_{i}\rho _{ij}w_{j}}$ ${\displaystyle \rho _{ij}}$ ${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$ ${\displaystyle \{w:w^{T}E[R]=\mu {\text{ and }}\sum _{i}w_{i}=1\}}$

A medida que variamos , el punto tangente también varía, pero siempre cayendo en una sola recta (este es el teorema de los dos fondos mutuos ). ${\displaystyle \mu }$

Deje que la línea esté parametrizada como . Encontramos que a lo largo de la línea, ${\displaystyle \{w+w't:t\in \mathbb {R} \}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\mu &=(w'^{T}E[R])t+w^{T}E[R]\\\sigma ^{2}&=(w'^{T}\rho w')t^{2}+2(w^{T}\rho w')t+(w^{T}\rho w)\end{cases}}}$$

cartera global de varianza mínima ${\displaystyle (\sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle \mu _{MVP}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{mid}}$

Portafolio de tangencia

Ilustración del efecto de cambiar la tasa de rendimiento de los activos libres de riesgo. A medida que la tasa de rendimiento libre de riesgo se acerca a la tasa de rendimiento de la cartera global de varianza mínima, la cartera de tangencia se escapa al infinito. Animado en origen [2].

La cartera de tangencia existe si y sólo si . ${\displaystyle \mu _{RF}<\mu _{MVP}}$

En particular, si el rendimiento libre de riesgo es mayor o igual a , entonces la cartera tangente no existe . La línea del mercado de capitales (CML) se vuelve paralela a la línea asíntota superior de la hipérbola. Los puntos de la CML se vuelven imposibles de alcanzar, aunque se pueden abordar desde abajo. ${\displaystyle \mu _{MVP}}$

Generalmente se supone que el rendimiento libre de riesgo es menor que el rendimiento del MVP global, para que exista la cartera de tangencia. Sin embargo, incluso en este caso, si se aborda desde abajo, la cartera de tangencia diverge hasta convertirse en una cartera con rentabilidad y varianza infinitas. Dado que sólo hay un número finito de activos en el mercado, dicha cartera debe estar muy en corto en algunos activos mientras en gran medida en otros. En la práctica, una cartera de tangencia de este tipo sería imposible de lograr, porque no se puede vender demasiado en corto un activo debido a las restricciones de venta corta , y también debido al impacto en el precio , es decir, desear una gran cantidad de un activo haría subir su precio. rompiendo el supuesto de que los precios de los activos no dependen de la cartera. ${\displaystyle \mu _{RF}}$ ${\displaystyle \mu _{MVP}}$

Matriz de covarianza no reversible

Si la matriz de covarianza no es invertible, entonces existe algún vector distinto de cero , tal que sea una variable aleatoria con varianza cero, es decir, no es aleatoria en absoluto. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v^{T}R}$

Supongamos que y , entonces eso significa que uno de los activos se puede replicar exactamente utilizando los otros activos al mismo precio y con el mismo rendimiento. Por lo tanto, nunca hay una razón para comprar ese activo y podemos retirarlo del mercado. ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=0}$ ${\displaystyle v^{T}R=0}$

Supongamos que y , entonces eso significa que hay dinero gratis, rompiendo el supuesto de no arbitraje . ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=0}$ ${\displaystyle v^{T}R\neq 0}$

Supongamos que entonces podemos escalar el vector a . Esto significa que hemos construido un activo libre de riesgo y con rentabilidad . Podemos eliminar cada uno de esos activos del mercado, construyendo un activo libre de riesgo por cada activo eliminado. Según el supuesto de no arbitraje, todas sus tasas de retorno son iguales. Para los activos que aún permanecen en el mercado, su matriz de covarianza es invertible. ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=1}$ ${\displaystyle v^{T}R}$

Precio de activos

El análisis anterior describe el comportamiento óptimo de un inversor individual. La teoría de la fijación de precios de activos se basa en este análisis, lo que permite a MPT derivar el rendimiento esperado requerido para un activo con el precio correcto en este contexto.

Intuitivamente (en un mercado perfecto con inversores racionales ), si un valor fuera caro en relación con otros (es decir, demasiado riesgo para el precio), la demanda caería y su precio bajaría en consecuencia; si fuera barato, la demanda y el precio aumentarían igualmente. Esto continuaría hasta que cesaran todos esos ajustes: se alcanzaría un estado de " equilibrio del mercado ". En este equilibrio, las ofertas relativas serán iguales a las demandas relativas: dada la relación del precio con la oferta y la demanda, dado que el riesgo-recompensa es "idéntico" en todos los valores, las proporciones de cada valor en cualquier cartera totalmente diversificada serían correspondientemente las mismas. .

Más formalmente, entonces, dado que todos mantienen los activos de riesgo en proporciones idénticas entre sí (es decir, en las proporciones dadas por la cartera de tangencia), en equilibrio de mercado los precios de los activos de riesgo, y por lo tanto sus rendimientos esperados, se ajustarán de manera que las proporciones en la cartera de tangencia son los mismos que los ratios en los que los activos riesgosos se ofrecen al mercado. ^[14] A continuación se muestra el resultado del rendimiento esperado, como se muestra a continuación.

Riesgo sistemático y riesgo específico

El riesgo específico es el riesgo asociado con activos individuales; dentro de una cartera, estos riesgos se pueden reducir mediante la diversificación (los riesgos específicos se "canulan"). El riesgo específico también se denomina riesgo diversificable, único, no sistemático o idiosincrásico. El riesgo sistemático (también conocido como riesgo de cartera o riesgo de mercado) se refiere al riesgo común a todos los valores; excepto en el caso de las ventas en corto , como se indica a continuación, el riesgo sistemático no se puede diversificar (dentro de un mercado). Dentro de la cartera de mercado, el riesgo específico de los activos se diversificará en la medida de lo posible. Por tanto, el riesgo sistemático se equipara al riesgo (desviación estándar) de la cartera de mercado.

Dado que un valor se comprará sólo si mejora las características de rendimiento esperado en función del riesgo de la cartera de mercado, la medida relevante del riesgo de un valor es el riesgo que agrega a la cartera de mercado, y no su riesgo de forma aislada. En este contexto, la volatilidad del activo, y su correlación con la cartera del mercado, se observan históricamente y por tanto se dan. (Existen varios enfoques para la fijación de precios de activos que intentan fijar el precio de los activos modelando las propiedades estocásticas de los momentos de los rendimientos de los activos; estos se conocen en términos generales como modelos condicionales de fijación de precios de activos).

Los riesgos sistemáticos dentro de un mercado se pueden gestionar mediante una estrategia que consiste en utilizar posiciones largas y cortas dentro de una cartera, creando una cartera "neutral al mercado". Por lo tanto, las carteras neutrales al mercado no estarán correlacionadas con índices de mercado más amplios.

Modelo de valoración de activos de capital

El rendimiento del activo depende del monto pagado hoy por el activo. El precio pagado debe garantizar que las características de riesgo/rendimiento de la cartera de mercado mejoren cuando se le agrega el activo. El CAPM es un modelo que deriva el rendimiento esperado teórico requerido (es decir, la tasa de descuento) para un activo en un mercado, dada la tasa libre de riesgo disponible para los inversores y el riesgo del mercado en su conjunto. El CAPM suele expresarse:

${\displaystyle \operatorname {E} (R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})}$

• β, Beta , es la medida de la sensibilidad de los activos a un movimiento en el mercado general; La beta generalmente se encuentra mediante regresión de datos históricos. Las betas superiores a uno significan un "riesgo" superior al promedio en el sentido de la contribución del activo al riesgo general de la cartera; Las betas inferiores a uno indican una contribución al riesgo inferior a la media.
• ${\displaystyle (\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})}$es la prima de mercado, el exceso de rendimiento esperado del rendimiento esperado de la cartera de mercado sobre la tasa libre de riesgo.

Una derivación ^[14] es la siguiente:

(1) El impacto incremental sobre el riesgo y el rendimiento esperado cuando se agrega un activo riesgoso adicional, a , a la cartera de mercado, m , se desprende de las fórmulas para una cartera de dos activos. Estos resultados se utilizan para derivar la tasa de descuento apropiada para los activos.

• Riesgo de cartera actualizado = ${\displaystyle (w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])}$

Por lo tanto, riesgo agregado a la cartera = ${\displaystyle [w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]}$

pero ya que el peso del activo será muy bajo re. el mercado en general, ${\displaystyle w_{a}^{2}\approx 0}$

es decir, riesgo adicional = ${\displaystyle [2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]\quad }$

• Rendimiento esperado actualizado = ${\displaystyle (w_{m}\operatorname {E} (R_{m})+[w_{a}\operatorname {E} (R_{a})])}$

Por tanto, rendimiento adicional esperado = ${\displaystyle [w_{a}\operatorname {E} (R_{a})]}$

(2) Si un activo, a , tiene un precio correcto, la mejora para un inversor en su relación riesgo-rendimiento esperado lograda al agregarlo a la cartera de mercado, m , igualará al menos (en equilibrio, exactamente) las ganancias de gastar ese dinero en una mayor participación en la cartera de mercado. Se supone que el inversor comprará el activo con fondos tomados prestados a una tasa libre de riesgo ; esto es racional si . ${\displaystyle R_{f}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (R_{a})>R_{f}}$

De este modo: ${\displaystyle [w_{a}(\operatorname {E} (R_{a})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]=[w_{a}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\sigma _{m}\sigma _{m}]}$

es decir: ${\displaystyle [\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]/[\sigma _{m}\sigma _{m}]}$

es decir: ( desde ) ${\displaystyle [\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]}$ ${\displaystyle \rho _{XY}=\sigma _{XY}/(\sigma _{X}\sigma _{Y})}$

${\displaystyle [\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad }$es el rendimiento "beta", mencionado: la covarianza entre el rendimiento del activo y el rendimiento del mercado dividida por la varianza del rendimiento del mercado, es decir, la sensibilidad del precio del activo al movimiento en el valor de la cartera de mercado (ver también Beta (finanzas) § Agregar un activo a la cartera de mercado ). ${\displaystyle \beta }$

Esta ecuación se puede estimar estadísticamente utilizando la siguiente ecuación de regresión :

${\displaystyle \mathrm {SCL} :R_{i,t}-R_{f}=\alpha _{i}+\beta _{i}\,(R_{M,t}-R_{f})+\epsilon _{i,t}{\frac {}{}}}$

donde α _i se llama alfa del activo , β _i es el coeficiente beta del activo y SCL es la línea característica del valor .

Una vez que se calcula el rendimiento esperado de un activo utilizando CAPM, los flujos de efectivo futuros del activo se pueden descontar a su valor presente utilizando esta tasa para establecer el precio correcto del activo. Una acción más riesgosa tendrá una beta más alta y se descontará a una tasa más alta; las acciones menos sensibles tendrán betas más bajas y se descontarán a una tasa más baja. En teoría, un activo tiene un precio correcto cuando su precio observado es el mismo que su valor calculado utilizando la tasa de descuento derivada del CAPM. Si el precio observado es superior a la valoración, entonces el activo está sobrevaluado; está infravalorado por un precio demasiado bajo. ${\displaystyle E(R_{i})}$

Críticas

A pesar de su importancia teórica, los críticos del MPT cuestionan si es una herramienta de inversión ideal, porque su modelo de mercados financieros no coincide con el mundo real en muchos aspectos. ^{[15] [2]}

Las medidas de riesgo, rendimiento y correlación utilizadas por MPT se basan en valores esperados , lo que significa que son declaraciones estadísticas sobre el futuro (el valor esperado de los rendimientos está explícito en las ecuaciones anteriores e implícito en las definiciones de varianza y covarianza ). . Estas medidas a menudo no pueden capturar las verdaderas características estadísticas del riesgo y el rendimiento, que a menudo siguen distribuciones muy sesgadas (por ejemplo, la distribución logarítmica normal ) y pueden dar lugar, además de una volatilidad reducida , también a un crecimiento inflado del rendimiento. ^[16] En la práctica, los inversores deben sustituir estos valores en las ecuaciones por predicciones basadas en mediciones históricas de rentabilidad y volatilidad de los activos. Muy a menudo, esos valores esperados no tienen en cuenta nuevas circunstancias que no existían cuando se generaron los datos históricos. ^[17] Un enfoque óptimo para capturar tendencias, que difiere de la optimización de Markowitz al utilizar propiedades de invariancia, también se deriva de la física. En lugar de transformar las expectativas normalizadas utilizando la inversa de la matriz de correlación, la cartera invariante emplea la inversa de la raíz cuadrada de la matriz de correlación. ^[18] El problema de optimización se resuelve bajo el supuesto de que los valores esperados son inciertos y están correlacionados. ^[19] La solución de Markowitz corresponde sólo al caso en el que la correlación entre los rendimientos esperados es similar a la correlación entre los rendimientos.

Más fundamentalmente, los inversores se ven obligados a estimar parámetros clave a partir de datos de mercado anteriores porque el MPT intenta modelar el riesgo en términos de la probabilidad de pérdidas, pero no dice nada acerca de por qué podrían ocurrir esas pérdidas. Las mediciones de riesgo utilizadas son de naturaleza probabilística , no estructural. Esta es una diferencia importante en comparación con muchos enfoques de ingeniería para la gestión de riesgos .

La teoría de opciones y la MPT tienen al menos una diferencia conceptual importante con respecto a la evaluación probabilística de riesgos realizada por las [plantas] de energía nuclear. Una PRA es lo que los economistas llamarían un modelo estructural . Los componentes de un sistema y sus relaciones se modelan en simulaciones de Monte Carlo . Si la válvula X falla, provoca una pérdida de contrapresión en la bomba Y, lo que provoca una caída en el flujo hacia el recipiente Z, y así sucesivamente.

Pero en la ecuación de Black-Scholes y la TPM no se intenta explicar una estructura subyacente a los cambios de precios. A varios resultados se les dan simplemente probabilidades. Y, a diferencia de la PRA, si no hay antecedentes de un evento particular a nivel del sistema, como una crisis de liquidez , no hay forma de calcular las probabilidades de que ocurra. Si los ingenieros nucleares manejaran la gestión de riesgos de esta manera, nunca podrían calcular las probabilidades de una fusión en una planta en particular hasta que ocurrieran varios eventos similares en el mismo diseño de reactor.

—  Douglas W. Hubbard , El fracaso de la gestión de riesgos , pág. 67, John Wiley e hijos, 2009. ISBN  978-0-470-38795-5

Las mediciones matemáticas del riesgo también son útiles sólo en la medida en que reflejan las verdaderas preocupaciones de los inversores: en la práctica no tiene sentido minimizar una variable que a nadie le importa. En particular, la varianza es una medida simétrica que considera que los rendimientos anormalmente altos son tan riesgosos como los rendimientos anormalmente bajos. El fenómeno psicológico de la aversión a las pérdidas es la idea de que los inversores están más preocupados por las pérdidas que por las ganancias, lo que significa que nuestro concepto intuitivo de riesgo es fundamentalmente asimétrico por naturaleza. Hay muchas otras medidas de riesgo (como medidas de riesgo coherentes ) que podrían reflejar mejor las verdaderas preferencias de los inversores.

La teoría moderna de la cartera también ha sido criticada porque supone que los rendimientos siguen una distribución gaussiana . Ya en la década de 1960, Benoit Mandelbrot y Eugene Fama demostraron lo inadecuado de este supuesto y propusieron en su lugar el uso de distribuciones estables más generales . Stefan Mittnik y Svetlozar Rachev presentaron estrategias para obtener carteras óptimas en tales entornos. ^{[20] [21] [22]} Más recientemente, Nassim Nicholas Taleb también ha criticado la teoría moderna de la cartera sobre este terreno, escribiendo:

Después de la caída del mercado de valores (en 1987), recompensaron a dos teóricos, Harry Markowitz y William Sharpe, que construyeron bellamente modelos platónicos sobre una base gaussiana, contribuyendo a lo que se llama la teoría moderna de la cartera. Simplemente, si eliminamos sus supuestos gaussianos y tratamos los precios como escalables, nos quedamos con aire caliente. El Comité del Nobel podría haber probado los modelos de Sharpe y Markowitz (funcionan como remedios curanderos vendidos en Internet), pero nadie en Estocolmo parece haber pensado en ello.

—  Nassim N. Taleb, El cisne negro: el impacto de lo altamente improbable , p. 277, Casa aleatoria, 2007. ISBN 978-1-4000-6351-2 

Los inversores contrarios y los inversores de valor normalmente no suscriben la teoría moderna de carteras. ^[23] Una objeción es que el MPT se basa en la hipótesis del mercado eficiente y utiliza las fluctuaciones en el precio de las acciones como sustituto del riesgo. Sir John Templeton creía en la diversificación como concepto, pero también sentía que los fundamentos teóricos del MPT eran cuestionables, y concluyó (como lo describió un biógrafo): "la noción de que construir carteras sobre la base de datos estadísticos poco confiables e irrelevantes, como datos históricos volatilidad, estaba condenado al fracaso". ^[24]

Algunos estudios han argumentado que la "diversificación ingenua", es decir, dividir el capital en partes iguales entre las opciones de inversión disponibles, podría tener ventajas sobre la MPT en algunas situaciones. ^[25]

Cuando se aplica a ciertos universos de activos, los académicos han identificado que el modelo de Markowitz es inadecuado debido a su susceptibilidad a la inestabilidad del modelo que puede surgir, por ejemplo, entre un universo de activos altamente correlacionados. ^[26]

Extensiones

Desde la introducción del MPT en 1952, se han realizado muchos intentos para mejorar el modelo, especialmente utilizando supuestos más realistas.

La teoría posmoderna de carteras amplía la MPT mediante la adopción de medidas de riesgo no distribuidas normalmente, asimétricas y de cola gruesa. ^[27] Esto ayuda con algunos de estos problemas, pero no con otros.

La optimización del modelo Black-Litterman es una extensión de la optimización de Markowitz sin restricciones que incorpora "vistas" relativas y absolutas sobre las entradas de riesgo y rendimiento.

El modelo también se amplía asumiendo que los rendimientos esperados son inciertos y que la matriz de correlación en este caso puede diferir de la matriz de correlación entre rendimientos. ^{[18] [19]}

Conexión con la teoría de la elección racional

La teoría moderna de carteras es inconsistente con los principales axiomas de la teoría de la elección racional , más notablemente con el axioma de la monotonicidad, que establece que, si invertir en la cartera X , con probabilidad uno, devolverá más dinero que invertir en la cartera Y , entonces un inversor racional debería preferir X a Y.​ Por el contrario, la teoría moderna de carteras se basa en un axioma diferente, llamado aversión a la varianza, ^[28] y puede recomendar invertir en Y sobre la base de que tiene una varianza menor. Maccheroni et al. ^[29] describieron la teoría de la elección, que es la más cercana posible a la teoría moderna de la cartera, al tiempo que satisface el axioma de monotonicidad. Alternativamente, el análisis de desviación media ^[30] es una teoría de elección racional que resulta de reemplazar la varianza por una medida de riesgo de desviación adecuada .

Otras aplicaciones

En la década de 1970, los conceptos de MPT llegaron al campo de la ciencia regional . En una serie de trabajos fundamentales, Michael Conroy ^{[ cita necesaria ]} modeló la fuerza laboral en la economía utilizando métodos teóricos de cartera para examinar el crecimiento y la variabilidad de la fuerza laboral. A esto le siguió una larga literatura sobre la relación entre crecimiento económico y volatilidad. ^[31]

Más recientemente, la teoría moderna del portafolio se ha utilizado para modelar el autoconcepto en psicología social. Cuando los atributos del yo que comprenden el autoconcepto constituyen una cartera bien diversificada, entonces los resultados psicológicos a nivel del individuo, como el estado de ánimo y la autoestima, deberían ser más estables que cuando el autoconcepto no está diversificado. Esta predicción ha sido confirmada en estudios con sujetos humanos. ^[32]

Recientemente, la teoría moderna de la cartera se ha aplicado para modelar la incertidumbre y la correlación entre documentos en la recuperación de información. Dada una consulta, el objetivo es maximizar la relevancia general de una lista clasificada de documentos y al mismo tiempo minimizar la incertidumbre general de la lista clasificada. ^[33]

Carteras de proyectos y otros activos "no financieros"

Algunos expertos aplican MPT a carteras de proyectos y otros activos además de los instrumentos financieros. ^{[34] [35]} Cuando el MPT se aplica fuera de las carteras financieras tradicionales, se deben considerar algunas distinciones entre los diferentes tipos de carteras.

1. Los activos de las carteras financieras son, a efectos prácticos, continuamente divisibles, mientras que las carteras de proyectos son "grumosos". Por ejemplo, si bien podemos calcular que la posición óptima de la cartera para 3 acciones es, digamos, 44%, 35%, 21%, es posible que la posición óptima para una cartera de proyectos no nos permita simplemente cambiar la cantidad gastada en un proyecto. Los proyectos pueden ser todo o nada o, al menos, tener unidades lógicas que no se pueden separar. Un método de optimización de la cartera debería tener en cuenta la naturaleza discreta de los proyectos.
2. Los activos de las carteras financieras son líquidos; pueden evaluarse o reevaluarse en cualquier momento. Pero las oportunidades para lanzar nuevos proyectos pueden ser limitadas y pueden ocurrir en períodos de tiempo limitados. Los proyectos que ya se han iniciado no pueden abandonarse sin la pérdida de los costos hundidos (es decir, hay poco o ningún valor de recuperación/salvamento de un proyecto a medio terminar).

Ninguno de estos elimina necesariamente la posibilidad de utilizar MPT y carteras similares. Simplemente indican la necesidad de ejecutar la optimización con un conjunto adicional de restricciones expresadas matemáticamente que normalmente no se aplicarían a las carteras financieras.

Además, algunos de los elementos más simples de la teoría moderna de carteras son aplicables a prácticamente cualquier tipo de cartera. El concepto de capturar la tolerancia al riesgo de un inversor documentando cuánto riesgo es aceptable para un rendimiento determinado puede aplicarse a una variedad de problemas de análisis de decisiones. MPT utiliza la varianza histórica como medida de riesgo, pero las carteras de activos, como los proyectos importantes, no tienen una "varianza histórica" ​​bien definida. En este caso, el límite de inversión del MPT se puede expresar en términos más generales como "probabilidad de un retorno de la inversión menor que el costo de capital" o "posibilidad de perder más de la mitad de la inversión". Cuando el riesgo se expresa en términos de incertidumbre sobre las previsiones y posibles pérdidas, el concepto es transferible a varios tipos de inversión. ^[34]

Ver también

• Esquema de las finanzas § Teoría de la cartera
• Beta (finanzas)
• Ratio de sesgo (finanzas)
• Modelo negro-Litterman
• Gestión de riesgos financieros § Gestión de inversiones
• Elección de cartera intertemporal
• Teoría de la inversión
• criterio de kelly
• Dominio estocástico condicional marginal
• modelo de markowitz
• Teorema de separación de fondos mutuos
• relación omega
• Teoría posmoderna de la cartera
• proporción de sortino
• proporción de Treynor
• Modelos de decisión de dos momentos
• Algoritmo de cartera universal

Referencias

1. Markowitz, HM (marzo de 1952). "Selección de cartera". La Revista de Finanzas . 7 (1): 77–91. doi :10.2307/2975974. JSTOR  2975974.
2. Wigglesworth, Robin (11 de abril de 2018). "Cómo un virus de la volatilidad infectó a Wall Street". El tiempo financiero .
3. Luc Bauwens, Sébastien Laurent, Jeroen VK Rombouts (febrero de 2006). "Modelos GARCH multivariados: una encuesta". Revista de Econometría Aplicada . 21 (1).{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. de Finetti, B. (1940): Il problema dei “Pieni”. Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari 11, 1–88; traducción (Barone, L. (2006)): El problema de los seguros a todo riesgo. Capítulo I. El riesgo dentro de un mismo ejercicio contable. Revista de gestión de inversiones 4 (3), 19–43
5. Pressacco, Flavio; Serafini, Paolo (mayo de 2007). "Los orígenes del enfoque de media-varianza en finanzas: revisando a De Finetti 65 años después". Decisiones en Economía y Finanzas . 30 (1): 19–49. doi :10.1007/s10203-007-0067-7. ISSN  1593-8883.
6. Apuntes de conferencias de David Lando y Rolf Poulsen, Capítulo 9, "Teoría del portafolio" [1]
7. Selección de cartera, Harry Markowitz - The Journal of Finance, vol. 7, núm. 1. (marzo de 1952), págs. 77-91
8. vea la parte inferior de la diapositiva 6 aquí
9. Markowitz, HM (marzo de 1956). "La optimización de una función cuadrática sujeta a restricciones lineales". Logística de investigación naval trimestral . 3 (1–2): 111–133. doi : 10.1002/nav.3800030110.
10. Markowitz, Harry (febrero de 2000). Análisis de varianza media en elección de cartera y mercados de capitales . Wiley. ISBN 978-1-883-24975-5.
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12. Merton, Robert C. (septiembre de 1972). "Una derivación analítica de la frontera de la cartera eficiente" (PDF) . La Revista de Análisis Financiero y Cuantitativo . 7 (4): 1851. doi : 10.2307/2329621. hdl : 1721.1/46832 . ISSN  0022-1090. Archivado desde el original el 21 de marzo de 2022.
13. Karatzas, Ioannis; Lehoczky, John P.; Sethi, Suresh P.; Shreve, Steven E. (1986). "Solución explícita de un problema general de consumo/inversión". Matemáticas de la Investigación de Operaciones . 11 (2): 261–294. doi :10.1287/moor.11.2.261. JSTOR  3689808. S2CID  22489650. SSRN  1086184.
14. Véase, por ejemplo, Tim Bollerslev (2019). "Riesgo y rendimiento en equilibrio: el modelo de valoración de activos de capital (CAPM)"
15. Mahdavi Damghani B. (2013). "El valor no engañoso de la correlación inferida: una introducción al modelo de cointelación". Revista Wilmott . 2013 (67): 50–61. doi :10.1002/wilm.10252.
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35. Sabbadini, Tony (2010). "Teoría de la cartera de fabricación" (PDF) . Instituto Internacional de Estudios Avanzados en Investigación de Sistemas y Cibernética .

Otras lecturas

• Lintner, John (1965). "La Valoración de Activos de Riesgo y la Selección de Inversiones Riesgosas en Carteras de Acciones y Presupuestos de Capital". La Revista de Economía y Estadística . 47 (1): 13–39. doi :10.2307/1924119. JSTOR  1924119.
• Sharpe, William F. (1964). "Precios de los activos de capital: una teoría del equilibrio del mercado en condiciones de riesgo". Revista de Finanzas . 19 (3): 425–442. doi :10.2307/2977928. hdl : 10.1111/j.1540-6261.1964.tb02865.x . JSTOR  2977928.
• Tobin, James (1958). «Preferencia de liquidez como comportamiento ante el riesgo» (PDF) . La Revista de Estudios Económicos . 25 (2): 65–86. doi :10.2307/2296205. JSTOR  2296205.

enlaces externos

• Análisis de macroinversiones, Prof. William F. Sharpe , Universidad de Stanford
• Optimización de cartera, Prof. Stephen P. Boyd , Universidad de Stanford
• "Nuevos enfoques para la optimización de la cartera: rompiendo con la curva de campana" — Entrevista con el Prof. Svetlozar Rachev y el Prof. Stefan Mittnik
• "Bruno de Finetti y la selección de cartera de varianza media Artículo de Mark Rubinstein sobre el descubrimiento de Bruno de Finetti y comentarios de Markowitz.