Estadísticas de Kaniadakis

Enfoque de la física estadística

La estadística de Kaniadakis (también conocida como κ-estadística ) es una generalización de la mecánica estadística de Boltzmann-Gibbs , ^[1] basada en una generalización relativista ^{[2] [3] [4]} de la entropía clásica de Boltzmann-Gibbs-Shannon (comúnmente conocida como entropía de Kaniadakis o κ-entropía). Introducida por el físico greco-italiano Giorgio Kaniadakis en 2001, ^[5] la mecánica κ-estadística conserva las características principales de la mecánica estadística ordinaria y ha atraído el interés de muchos investigadores en los últimos años. La distribución κ se considera actualmente uno de los candidatos más viables para explicar sistemas físicos complejos , ^{[6] [7]} naturales o artificiales que involucran distribuciones estadísticas de cola de ley de potencia . Las estadísticas de Kaniadakis se han adoptado con éxito en la descripción de una variedad de sistemas en los campos de la cosmología , la astrofísica , ^{[8] [9]} la materia condensada , la física cuántica , ^{[10] [11]} la sismología , ^{[12] [13]} la genómica , ^{[14] [15]} la economía , ^{[16] [17] la} epidemiología , ^[18] y muchos otros.

Formalismo matemático

El formalismo matemático de las κ-estadísticas se genera mediante funciones κ-deformadas, especialmente la función κ-exponencial.

Función exponencial κ

Gráfica de la función exponencial κ para tres valores κ diferentes. La curva negra continua corresponde a la función exponencial ordinaria ( ). ${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)}$ ${\displaystyle \exp(x)}$ ${\displaystyle \kappa =0}$

La función exponencial Kaniadakis (o κ-exponencial) es una generalización de un parámetro de una función exponencial, dada por:

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)={\begin{cases}{\Big (}{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}+\kappa x{\Big )}^{\frac {1}{\kappa }}&{\text{if }}0<\kappa <1.\\[6pt]\exp(x)&{\text{if }}\kappa =0,\\[8pt]\end{cases}}}$

con . ${\displaystyle \exp _{-\kappa }(x)=\exp _{\kappa }(x)}$

La función κ-exponencial también se puede escribir en la forma: ${\displaystyle 0<\kappa <1}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)=\exp {\Bigg (}{\frac {1}{\kappa }}{\text{arcsinh}}(\kappa x){\Bigg )}.}$

Los primeros cinco términos de la expansión de Taylor de están dados por: ${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+(1-\kappa ^{2}){\frac {x^{3}}{3!}}+(1-4\kappa ^{2}){\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

donde los tres primeros son los mismos que una función exponencial típica .

Propiedades básicas

La función κ-exponencial tiene las siguientes propiedades de una función exponencial:

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\in \mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp _{\kappa }(x)>0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\exp _{\kappa }(x)>0}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(-\infty )=0^{+}}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(0)=1}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(+\infty )=+\infty }$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\exp _{\kappa }(-x)=-1}$

Para un número real , la κ-exponencial tiene la propiedad: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\Big [}\exp _{\kappa }(x){\Big ]}^{r}=\exp _{\kappa /r}(rx)}$.

Función logaritmo κ

Gráfica de la función logarítmica κ para tres valores κ diferentes. La curva negra continua corresponde a la función logarítmica ordinaria ( ). ${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)}$ ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle \kappa =0}$

El logaritmo de Kaniadakis (o κ-logaritmo) es una generalización relativista de un parámetro de la función logaritmo ordinaria,

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\kappa }-x^{-\kappa }}{2\kappa }}&{\text{if }}0<\kappa <1,\\[8pt]\ln(x)&{\text{if }}\kappa =0,\\[8pt]\end{cases}}}$

con , que es la función inversa de la κ-exponencial: ${\displaystyle \ln _{-\kappa }(x)=\ln _{\kappa }(x)}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }{\Big (}\exp _{\kappa }(x){\Big )}=\exp _{\kappa }{\Big (}\ln _{\kappa }(x){\Big )}=x.}$

El logaritmo κ para también se puede escribir en la forma: ${\displaystyle 0<\kappa <1}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)={\frac {1}{\kappa }}\sinh {\Big (}\kappa \ln(x){\Big )}}$

Los primeros tres términos de la expansión de Taylor de están dados por: ${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+\left(1+{\frac {\kappa ^{2}}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }$

siguiendo la regla

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}(\kappa )\,(-1)^{n-1}\,{\frac {x^{n}}{n}}}$

con , y ${\displaystyle b_{1}(\kappa )=1}$

${\displaystyle b_{n}(\kappa )(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\[8pt]{\frac {1}{2}}{\Big (}1-\kappa {\Big )}{\Big (}1-{\frac {\kappa }{2}}{\Big )}...{\Big (}1-{\frac {\kappa }{n-1}}{\Big )},\,+\,{\frac {1}{2}}{\Big (}1+\kappa {\Big )}{\Big (}1+{\frac {\kappa }{2}}{\Big )}...{\Big (}1+{\frac {\kappa }{n-1}}{\Big )}&{\text{for }}n>1,\\[8pt]\end{cases}}}$

donde y . Los dos primeros términos de la expansión de Taylor de son los mismos que los de una función logarítmica ordinaria . ${\displaystyle b_{n}(0)=1}$ ${\displaystyle b_{n}(-\kappa )=b_{n}(\kappa )}$ ${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)}$

Propiedades básicas

La función κ-logaritmo tiene las siguientes propiedades de una función logarítmica :

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)\in \mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{+})}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{\kappa }(x)>0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln _{\kappa }(x)<0}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(0^{+})=-\infty }$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1)=0}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(+\infty )=+\infty }$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1/x)=-\ln _{\kappa }(x)}$

Para un número real , el κ-logaritmo tiene la propiedad: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x^{r})=r\ln _{r\kappa }(x)}$

κ-Álgebra

suma κ

Para cualquier y , la suma de Kaniadakis (o κ-suma) se define mediante la siguiente ley de composición: ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |\kappa |<1}$

${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y=x{\sqrt {1+\kappa ^{2}y^{2}}}+y{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}}$,

que también se puede escribir en la forma:

${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y={1 \over \kappa }\,\sinh \left({\rm {arcsinh}}\,(\kappa x)\,+\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa y)\,\right)}$,

donde la suma ordinaria es un caso particular en el límite clásico : . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$ ${\displaystyle x{\stackrel {0}{\oplus }}y=x+y}$

La suma κ, al igual que la suma ordinaria, tiene las siguientes propiedades:

${\displaystyle {\text{1. associativity:}}\quad (x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y){\stackrel {\kappa }{\oplus }}z=x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}(y{\stackrel {\kappa }{\oplus }}z)}$

${\displaystyle {\text{2. neutral element:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}0=0{\stackrel {\kappa }{\oplus }}x=x}$

${\displaystyle {\text{3. opposite element:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}(-x)=(-x){\stackrel {\kappa }{\oplus }}x=0}$

${\displaystyle {\text{4. commutativity:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y=y{\stackrel {\kappa }{\oplus }}x}$

La diferencia κ viene dada por . ${\displaystyle {\stackrel {\kappa }{\ominus }}}$ ${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\ominus }}y=x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}(-y)}$

La propiedad fundamental surge como un caso especial de la expresión más general que aparece a continuación: ${\displaystyle \exp _{\kappa }(-x)\exp _{\kappa }(x)=1}$ ${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\exp _{\kappa }(y)=exp_{\kappa }(x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y)}$

Además, las funciones κ y la suma κ presentan las siguientes relaciones:

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x\,y)=\ln _{\kappa }(x){\stackrel {\kappa }{\oplus }}\ln _{\kappa }(y)}$

producto κ

Para cualquier y , el producto Kaniadakis (o κ-producto) se define mediante la siguiente ley de composición: ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |\kappa |<1}$

${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}y={1 \over \kappa }\,\sinh \left(\,{1 \over \kappa }\,\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa x)\,\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa y)\,\right)}$,

donde el producto ordinario es un caso particular en el límite clásico : . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$ ${\displaystyle x{\stackrel {0}{\otimes }}y=x\times y=xy}$

El producto κ, al igual que el producto ordinario, tiene las siguientes propiedades:

${\displaystyle {\text{1. associativity:}}\quad (x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}y){\stackrel {\kappa }{\otimes }}z=x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}(y{\stackrel {\kappa }{\otimes }}z)}$

${\displaystyle {\text{2. neutral element:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}I=I{\stackrel {\kappa }{\otimes }}x=x\quad {\text{for}}\quad I=\kappa ^{-1}\sinh \kappa {\stackrel {\kappa }{\oplus }}x=x}$

${\displaystyle {\text{3. inverse element:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}{\overline {x}}={\overline {x}}{\stackrel {\kappa }{\otimes }}x=I\quad {\text{for}}\quad {\overline {x}}=\kappa ^{-1}\sinh(\kappa ^{2}/{\rm {arcsinh}}\,(\kappa x))}$

${\displaystyle {\text{4. commutativity:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}y=y{\stackrel {\kappa }{\otimes }}x}$

La división κ está dada por . ${\displaystyle {\stackrel {\kappa }{\oslash }}}$ ${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\oslash }}y=x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}{\overline {y}}}$

La κ-suma y el κ-producto obedecen la ley distributiva: . ${\displaystyle {\stackrel {\kappa }{\oplus }}}$ ${\displaystyle {\stackrel {\kappa }{\otimes }}}$ ${\displaystyle z{\stackrel {\kappa }{\otimes }}(x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y)=(z{\stackrel {\kappa }{\otimes }}x){\stackrel {\kappa }{\oplus }}(z{\stackrel {\kappa }{\otimes }}y)}$

La propiedad fundamental surge como un caso especial de la expresión más general que aparece a continuación: ${\displaystyle \ln _{\kappa }(1/x)=-\ln _{\kappa }(x)}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x\,y)=\ln _{\kappa }(x){\stackrel {\kappa }{\oplus }}\ln _{\kappa }(y)}$

Además, las funciones κ y el producto κ presentan las siguientes relaciones:

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x){\stackrel {\kappa }{\otimes }}\exp _{\kappa }(y)=\exp _{\kappa }(x\,+\,y)}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x\,{\stackrel {\kappa }{\otimes }}\,y)=\ln _{\kappa }(x)+\ln _{\kappa }(y)}$

Cálculo κ

κ-Diferencial

El diferencial de Kaniadakis (o κ-diferencial) de se define por: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} _{\kappa }x={\frac {\mathrm {d} \,x}{\displaystyle {\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}}}$.

Entonces, la derivada κ de una función está relacionada con la derivada de Leibniz a través de: ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} _{\kappa }x}}=\gamma _{\kappa }(x){\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}}$,

donde es el factor de Lorentz. La derivada ordinaria es un caso particular de κ-derivada en el límite clásico . ${\displaystyle \gamma _{\kappa }(x)={\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} _{\kappa }x}}}$ ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

κ-integral

La integral de Kaniadakis (o κ-integral) es el operador inverso de la κ-derivada definida mediante

${\displaystyle \int \mathrm {d} _{\kappa }x\,\,f(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \,x}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}\,\,f(x)}$,

que recupera la integral ordinaria en el límite clásico . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

κ-Trigonometría

Trigonometría cíclica κ

[haga clic en la figura] Gráfico de las funciones κ-seno y κ-coseno para (curva negra) y (curva azul). ${\displaystyle \kappa =0}$ ${\displaystyle \kappa =0.1}$

La trigonometría cíclica de Kaniadakis (o trigonometría κ-cíclica) se basa en las funciones κ-cíclica seno (o κ-seno) y κ-cíclica coseno (o κ-coseno) definidas por:

${\displaystyle \sin _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(ix)-\exp _{\kappa }(-ix)}{2i}}}$,

${\displaystyle \cos _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(ix)+\exp _{\kappa }(-ix)}{2}}}$,

donde la fórmula de Euler κ-generalizada es

${\displaystyle \exp _{\kappa }(\pm ix)=\cos _{\kappa }(x)\pm i\sin _{\kappa }(x)}$.:

La trigonometría κ-cíclica conserva expresiones fundamentales de la trigonometría cíclica ordinaria, que es un caso especial en el límite κ → 0, como:

${\displaystyle \cos _{\kappa }^{2}(x)+\sin _{\kappa }^{2}(x)=1}$

${\displaystyle \sin _{\kappa }(x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y)=\sin _{\kappa }(x)\cos _{\kappa }(y)+\cos _{\kappa }(x)\sin _{\kappa }(y)}$.

Las funciones tangente κ-cíclica y cotangente κ-cíclica se dan por:

${\displaystyle \tan _{\kappa }(x)={\frac {\sin _{\kappa }(x)}{\cos _{\kappa }(x)}}}$

${\displaystyle \cot _{\kappa }(x)={\frac {\cos _{\kappa }(x)}{\sin _{\kappa }(x)}}}$.

Las funciones trigonométricas cíclicas κ se convierten en la función trigonométrica ordinaria en el límite clásico . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

Función cíclica inversa κ

Las funciones cíclicas inversas de Kaniadakis (o funciones cíclicas κ-inversas) están asociadas al κ-logaritmo:

${\displaystyle {\rm {arcsin}}_{\kappa }(x)=-i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {1-x^{2}}}+ix\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arccos}}_{\kappa }(x)=-i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {x^{2}-1}}+x\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arctan}}_{\kappa }(x)=i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {1-ix}{1+ix}}}\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arccot}}_{\kappa }(x)=i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {ix+1}{ix-1}}}\right)}$.

Trigonometría hiperbólica κ

La trigonometría hiperbólica de Kaniadakis (o trigonometría κ-hiperbólica) se basa en el seno κ-hiperbólico y el coseno κ-hiperbólico dados por:

${\displaystyle \sinh _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(x)-\exp _{\kappa }(-x)}{2}}}$,

${\displaystyle \cosh _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(x)+\exp _{\kappa }(-x)}{2}}}$,

donde la fórmula κ-Euler es

${\displaystyle \exp _{\kappa }(\pm x)=\cosh _{\kappa }(x)\pm \sinh _{\kappa }(x)}$.

Las funciones tangente κ-hiperbólica y cotangente κ-hiperbólica se dan por:

${\displaystyle \tanh _{\kappa }(x)={\frac {\sinh _{\kappa }(x)}{\cosh _{\kappa }(x)}}}$

${\displaystyle \coth _{\kappa }(x)={\frac {\cosh _{\kappa }(x)}{\sinh _{\kappa }(x)}}}$.

Las funciones trigonométricas hiperbólicas κ se convierten en las funciones trigonométricas hiperbólicas ordinarias en el límite clásico . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

A partir de la fórmula κ-Euler y de la propiedad, la expresión fundamental de la trigonometría κ-hiperbólica se da como sigue: ${\displaystyle \exp _{\kappa }(-x)\exp _{\kappa }(x)=1}$

${\displaystyle \cosh _{\kappa }^{2}(x)-\sinh _{\kappa }^{2}(x)=1}$

Función hiperbólica inversa κ

Las funciones hiperbólicas inversas de Kaniadakis (o funciones hiperbólicas κ-inversas) están asociadas al κ-logaritmo:

${\displaystyle {\rm {arcsinh}}_{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {1+x^{2}}}+x\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arccosh}}_{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {x^{2}-1}}+x\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arctanh}}_{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arccoth}}_{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}$,

en la que son válidas las siguientes relaciones:

${\displaystyle {\rm {arcsinh}}_{\kappa }(x)={\rm {sign}}(x){\rm {arccosh}}_{\kappa }\left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arcsinh}}_{\kappa }(x)={\rm {arctanh}}_{\kappa }\left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arcsinh}}_{\kappa }(x)={\rm {arccoth}}_{\kappa }\left({\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{x}}\right)}$.

Las funciones trigonométricas κ-cíclicas y κ-hiperbólicas están conectadas por las siguientes relaciones:

${\displaystyle {\rm {sin}}_{\kappa }(x)=-i{\rm {sinh}}_{\kappa }(ix)}$,

${\displaystyle {\rm {cos}}_{\kappa }(x)={\rm {cosh}}_{\kappa }(ix)}$,

${\displaystyle {\rm {tan}}_{\kappa }(x)=-i{\rm {tanh}}_{\kappa }(ix)}$,

${\displaystyle {\rm {cot}}_{\kappa }(x)=i{\rm {coth}}_{\kappa }(ix)}$,

${\displaystyle {\rm {arcsin}}_{\kappa }(x)=-i\,{\rm {arcsinh}}_{\kappa }(ix)}$,

${\displaystyle {\rm {arccos}}_{\kappa }(x)\neq -i\,{\rm {arccosh}}_{\kappa }(ix)}$,

${\displaystyle {\rm {arctan}}_{\kappa }(x)=-i\,{\rm {arctanh}}_{\kappa }(ix)}$,

${\displaystyle {\rm {arccot}}_{\kappa }(x)=i\,{\rm {arccoth}}_{\kappa }(ix)}$.

Entropía de Kaniadakis

La estadística de Kaniadakis se basa en la κ-entropía de Kaniadakis, que se define mediante:

${\displaystyle S_{\kappa }{\big (}p{\big )}=-\sum _{i}p_{i}\ln _{\kappa }{\big (}p_{i}{\big )}=\sum _{i}p_{i}\ln _{\kappa }{\bigg (}{\frac {1}{p_{i}}}{\bigg )}}$

donde es una función de distribución de probabilidad definida para una variable aleatoria , y es el índice entrópico. ${\displaystyle p=\{p_{i}=p(x_{i});x\in \mathbb {R} ;i=1,2,...,N;\sum _{i}p_{i}=1\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\leq |\kappa |<1}$

La κ-entropía de Kaniadakis es termodinámicamente y Lesche estable ^{[19] [20]} y obedece a los axiomas de Shannon-Khinchin de continuidad, maximalidad, aditividad generalizada y expansibilidad.

Distribuciones de Kaniadakis

Una distribución de Kaniadakis (o distribución κ ) es una distribución de probabilidad derivada de la maximización de la entropía de Kaniadakis bajo restricciones apropiadas. En este sentido, surgen varias distribuciones de probabilidad para analizar una amplia variedad de fenomenología asociada con distribuciones estadísticas experimentales de cola de ley de potencia.

Distribución exponencial κ

Distribución κ-gaussiana

Distribución κ-Gamma

Distribución de κ-Weibull

Distribución κ-Logística

Transformada integral de Kaniadakis

Transformada κ-Laplace

La transformada de Kaniadakis Laplace (o transformada κ-Laplace) es una transformada integral κ-deformada de la transformada de Laplace ordinaria . La transformada κ-Laplace convierte una función de una variable real en una nueva función en el dominio de frecuencias complejas, representada por la variable compleja . Esta transformada κ-integral se define como: ^[21] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F_{\kappa }(s)}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle F_{\kappa }(s)={\cal {L}}_{\kappa }\{f(t)\}(s)=\int _{\,0}^{\infty }\!f(t)\,[\exp _{\kappa }(-t)]^{s}\,dt}$

La transformada κ-Laplace inversa viene dada por:

${\displaystyle f(t)={\cal {L}}_{\kappa }^{-1}\{F_{\kappa }(s)\}(t)={{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\!F_{\kappa }(s)\,{\frac {[\exp _{\kappa }(t)]^{s}}{\sqrt {1+\kappa ^{2}t^{2}}}}\,ds}}$

La transformada de Laplace ordinaria y su transformada inversa se recuperan como . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

Propiedades

Sean dos funciones y , y sus respectivas transformadas κ-Laplace y , la siguiente tabla presenta las principales propiedades de la transformada κ-Laplace: ^[21] ${\displaystyle f(t)={\cal {L}}_{\kappa }^{-1}\{F_{\kappa }(s)\}(t)}$ ${\displaystyle g(t)={\cal {L}}_{\kappa }^{-1}\{G_{\kappa }(s)\}(t)}$ ${\displaystyle F_{\kappa }(s)}$ ${\displaystyle G_{\kappa }(s)}$

Las transformadas κ-Laplace presentadas en la última tabla se reducen a las transformadas de Laplace ordinarias correspondientes en el límite clásico . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

Transformada de Fourier κ

La transformada de Fourier de Kaniadakis (o transformada κ-Fourier) es una transformada integral κ-deformada de la transformada de Fourier ordinaria , que es consistente con el κ-álgebra y el κ-cálculo. La transformada κ-Fourier se define como: ^[22]

${\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )={1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}\int \limits _{-\infty }\limits ^{+\infty }f(x)\,\exp _{\kappa }(-x\otimes _{\kappa }\omega )^{i}\,d_{\kappa }x}$

que puede reescribirse como

${\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )={1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}\int \limits _{-\infty }\limits ^{+\infty }f(x)\,{\exp(-i\,x_{\{\kappa \}}\,\omega _{\{\kappa \}}) \over {\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}\,dx}$

donde y . La transformada κ-Fourier impone un comportamiento log-periódico asintóticamente deformando los parámetros y además de un factor de amortiguamiento, a saber . ${\displaystyle x_{\{\kappa \}}={\frac {1}{\kappa }}\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa \,x)}$ ${\displaystyle \omega _{\{\kappa \}}={\frac {1}{\kappa }}\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa \,\omega )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}$

Parte real (panel superior) e imaginaria (panel inferior) del núcleo para valores típicos y . ${\displaystyle h_{\kappa }(x,\omega )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \omega =1}$

El núcleo de la transformada κ-Fourier viene dado por:

${\displaystyle h_{\kappa }(x,\omega )={\frac {\exp(-i\,x_{\{\kappa \}}\,\omega _{\{\kappa \}})}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}}$

La transformada κ-Fourier inversa se define como: ^[22]

${\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[{\hat {f}}(\omega )](x)={1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}\int \limits _{-\infty }\limits ^{+\infty }{\hat {f}}(\omega )\,\exp _{\kappa }(\omega \otimes _{\kappa }x)^{i}\,d_{\kappa }\omega }$

Sea , la siguiente tabla muestra las transformadas κ-Fourier de varias funciones notables: ^[22] ${\displaystyle u_{\kappa }(x)={\frac {1}{\kappa }}\cosh {\Big (}\kappa \ln(x){\Big )}}$

La versión deformada κ de la transformada de Fourier conserva las propiedades principales de la transformada de Fourier ordinaria, como se resume en la siguiente tabla.

Las propiedades de la transformada κ-Fourier presentadas en la última tabla se reducen a las transformadas de Fourier ordinarias correspondientes en el límite clásico . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

Véase también

• Giorgio Kaniadakis
• Distribución de Kaniadakis
• Distribución exponencial κ de Kaniadakis
• Distribución κ-Gaussiana de Kaniadakis
• Distribución Kaniadakis κ-Gamma
• Distribución de Kaniadakis κ-Weibull
• Distribución κ-Logística de Kaniadakis
• Distribución de Kaniadakis κ-Erlang

Referencias

•  Este artículo incorpora texto disponible bajo la licencia CC BY 3.0.

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2. Kaniadakis, G. (2002). "Mecánica estadística en el contexto de la relatividad especial". Physical Review E . 66 (5): 056125. arXiv : cond-mat/0210467 . Bibcode :2002PhRvE..66e6125K. doi :10.1103/PhysRevE.66.056125. ISSN  1063-651X. PMID  12513574. S2CID  45635888.
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Enlaces externos

• Página de Google Scholar de Giorgio Kaniadakis
• Estadísticas de Kaniadakis en arXiv.org