Transformada inversa de Laplace

Función matemática

En matemáticas , la transformada de Laplace inversa de una función es la función real continua por partes y restringida exponencialmente ^{[ aclaración necesaria ]} que tiene la propiedad: ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=F(s),}$

donde denota la transformada de Laplace . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Se puede demostrar que, si una función tiene la transformada de Laplace inversa , entonces está unívocamente determinada (considerando como iguales las funciones que difieren entre sí sólo en un conjunto de puntos que tienen la medida de Lebesgue cero). Este resultado fue demostrado por primera vez por Mathias Lerch en 1903 y se conoce como el teorema de Lerch. ^{[1] [2]} ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(t)}$

La transformada de Laplace y la transformada de Laplace inversa juntas tienen una serie de propiedades que las hacen útiles para analizar sistemas dinámicos lineales .

Fórmula inversa de Mellin

Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace , llamada fórmula inversa de Mellin , integral de Bromwich o integral de Fourier - Mellin , viene dada por la integral de línea :

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds}$

donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical en el plano complejo de manera que sea mayor que la parte real de todas las singularidades de y esté acotada en la línea, por ejemplo, si la trayectoria del contorno está en la región de convergencia . Si todas las singularidades están en el semiplano izquierdo, o es una función completa , entonces se puede establecer en cero y la fórmula integral inversa anterior se vuelve idéntica a la transformada de Fourier inversa . ${\displaystyle Re(s)=\gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \gamma }$

En la práctica, el cálculo de la integral compleja se puede realizar utilizando el teorema de residuo de Cauchy .

Fórmula de inversión de Post

La fórmula de inversión de Post para las transformadas de Laplace , llamada así en honor a Emil Post , ^[3] es una fórmula de apariencia simple pero generalmente poco práctica para evaluar una transformada de Laplace inversa.

El enunciado de la fórmula es el siguiente: Sea una función continua en el intervalo de orden exponencial, es decir ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \sup _{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}}<\infty }$

para algún número real . Entonces, para todo , la transformada de Laplace para existe y es infinitamente diferenciable con respecto a . Además, si es la transformada de Laplace de , entonces la transformada de Laplace inversa de está dada por ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle s>b}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle F(s)}$

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)=\lim _{k\to \infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left({\frac {k}{t}}\right)^{k+1}F^{(k)}\left({\frac {k}{t}}\right)}$

para , donde es la derivada -ésima de con respecto a . ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle F^{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle s}$

Como se puede ver en la fórmula, la necesidad de evaluar derivadas de órdenes arbitrariamente altos hace que esta fórmula sea poco práctica para la mayoría de los propósitos.

Con el advenimiento de las computadoras personales potentes, los principales esfuerzos para utilizar esta fórmula han surgido a partir de aproximaciones o análisis asintóticos de la transformada de Laplace inversa, utilizando la integral diferencial de Grunwald-Letnikov para evaluar las derivadas.

La inversión de Post ha despertado interés debido a la mejora en la ciencia computacional y al hecho de que no es necesario saber dónde están los polos de , lo que permite calcular el comportamiento asintótico para grandes usando transformadas de Mellin inversas para varias funciones aritméticas relacionadas con la hipótesis de Riemann . ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle x}$

Herramientas de software

• InverseLaplaceTransform realiza transformaciones inversas simbólicas en Mathematica
• La inversión numérica de la transformada de Laplace con precisión múltiple utilizando el dominio complejo en Mathematica proporciona soluciones numéricas ^[4]
• ilaplace Archivado el 3 de septiembre de 2014 en Wayback Machine realiza transformaciones inversas simbólicas en MATLAB
• Inversión numérica de transformadas de Laplace en Matlab
• Inversión numérica de transformadas de Laplace basada en funciones exponenciales matriciales concentradas en Matlab

Véase también

• Transformada de Fourier inversa
• Fórmula de suma de Poisson

Referencias

1. Cohen, AM (2007). "Fórmulas de inversión y resultados prácticos". Métodos numéricos para la inversión de la transformada de Laplace . Métodos numéricos y algoritmos. Vol. 5. págs. 23–44. doi :10.1007/978-0-387-68855-8_2. ISBN 978-0-387-28261-9.
2. Lerch, M. (1903). "Sobre un punto de la teoría de las funciones generadoras de Abel". Acta Matemática . 27 : 339–351. doi : 10.1007/BF02421315 . hdl : 10338.dmlcz/501554 .
3. Post, Emil L. (1930). "Diferenciación generalizada". Transacciones de la American Mathematical Society . 32 (4): 723–781. doi : 10.1090/S0002-9947-1930-1501560-X . ISSN  0002-9947.
4. Abate, J.; Valkó, PP (2004). "Inversión de la transformada de Laplace de precisión múltiple". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería . 60 (5): 979. Bibcode :2004IJNME..60..979A. doi :10.1002/nme.995. S2CID  119889438.

Lectura adicional

• Davies, BJ (2002), Transformadas integrales y sus aplicaciones (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95314-4
• Manzhirov, AV; Polyanin, Andrei D. (1998), Manual de ecuaciones integrales , Londres: CRC Press , ISBN 978-0-8493-2876-3
• Boas, Mary (1983), Métodos matemáticos en las ciencias físicas , John Wiley & Sons , pág. 662, ISBN 0-471-04409-1(p. 662 o busque en el índice "Integral de Bromwich", una buena explicación que muestra la conexión con la transformada de Fourier)
• Widder, DV (1946), La transformada de Laplace , Princeton University Press
• Inversión elemental de la transformada de Laplace. Bryan, Kurt. Consultado el 14 de junio de 2006.

Enlaces externos

• Tablas de transformadas integrales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.

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