El tablero de Galton , también conocido como caja de Galton o quincunx o máquina de frijoles , es un dispositivo inventado por Francis Galton [1] para demostrar el teorema del límite central , en particular que con un tamaño de muestra suficiente la distribución binomial se aproxima a una distribución normal . Entre sus aplicaciones, permitió comprender la regresión a la media o "reversión a la mediocridad".
El tablero Galton consta de un tablero vertical con hileras de clavijas intercaladas. Las cuentas se dejan caer desde la parte superior y, cuando el dispositivo está nivelado, rebotan hacia la izquierda o hacia la derecha cuando golpean las clavijas. Finalmente, se recogen en contenedores en la parte inferior, donde la altura de las columnas de cuentas acumuladas en los contenedores se aproxima a una curva de campana . La superposición del triángulo de Pascal en los pines muestra la cantidad de caminos diferentes que se pueden tomar para llegar a cada contenedor. [2]
Se pueden ver modelos funcionales a gran escala de este dispositivo creado por Charles y Ray Eames en las exposiciones Mathematica: A World of Numbers... and Beyond, expuestas permanentemente en el Museo de Ciencias de Boston , el Salón de Ciencias de Nueva York o el Museo Henry Ford . [3] La máquina del Museo Ford se exhibió en el Pabellón IBM durante la Feria Mundial de Nueva York de 1964-65 , y luego apareció en el Pacific Science Center en Seattle. [4] [5] Otra versión a gran escala se muestra en el vestíbulo de Index Fund Advisors en Irvine, California . [6]
Se pueden construir tableros para otras distribuciones cambiando la forma de los pines o desviándolos hacia una dirección, e incluso son posibles tableros bimodales. [7] Un tablero para la distribución log-normal (común en muchos procesos naturales , particularmente biológicos), que utiliza triángulos isósceles de diferentes anchos para 'multiplicar' la distancia que recorre la cuenta en lugar de pasos de tamaños fijos que 'sumarían', fue construido por Jacobus Kapteyn mientras estudiaba y popularizaba las estadísticas del log-normal para ayudar a visualizarlo y demostrar su plausibilidad. [8] A partir de 1963, se conservó en la Universidad de Groningen . [9] También hay una máquina logarítmica normal mejorada que utiliza triángulos sesgados cuyos lados derechos son más largos, evitando así desplazar la mediana de las cuentas hacia la izquierda. [10]
Si una cuenta rebota hacia la derecha k veces en su camino hacia abajo (y hacia la izquierda en las clavijas restantes), termina en el k ésimo contenedor contando desde la izquierda. Denotando el número de filas de clavijas en un tablero de Galton por n , el número de caminos al k ésimo contenedor en la parte inferior viene dado por el coeficiente binomial . Tenga en cuenta que el contenedor más a la izquierda es el contenedor 0 , al lado está el contenedor 1 , etc. y el más alejado a la derecha es el contenedor n , lo que hace que el número total de contenedores sea igual a n+1 (cada fila no necesita tener más clavijas que el número que identifica la fila en sí, por ejemplo, la primera fila tiene 1 clavija, la segunda 2 clavijas, hasta la n -ésima fila que tiene n clavijas que corresponden a los n+1 contenedores). Si la probabilidad de rebotar correctamente en una clavija es p (que equivale a 0,5 en una máquina de nivel imparcial), la probabilidad de que la pelota termine en el k ésimo contenedor es igual a . Esta es la función de masa de probabilidad de una distribución binomial . El número de filas corresponde al tamaño de una distribución binomial en número de intentos, mientras que la probabilidad p de cada pin es la p del binomio .
Según el teorema del límite central (más específicamente, el teorema de Moivre-Laplace ), la distribución binomial se aproxima a la distribución normal siempre que el número de filas y el número de bolas sean grandes. Variar las filas dará como resultado diferentes desviaciones estándar o anchos de la curva en forma de campana o la distribución normal en los contenedores.
Otra interpretación más precisa desde el punto de vista físico es la dada por la Entropía : dado que la energía que transporta cada cuenta que cae es finita, incluso si en cualquier punta sus colisiones son caóticas porque la derivada no está definida (no hay manera de calcular previamente determinar de qué lado va a caer), la media y la varianza de cada frijol están restringidas a ser finitas (nunca saldrán de la caja), por lo que la forma gaussiana surge porque es la distribución de probabilidad de entropía máxima para un proceso continuo. con media y varianza definidas. Por lo tanto, el aumento de la distribución normal podría interpretarse como que toda la información posible transportada por cada frijol relacionada con el camino que ha recorrido ya se ha perdido por completo debido a sus colisiones cuesta abajo.
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Francis Galton escribió en 1889 su libro Herencia natural :
Orden en Caos Aparente: No conozco nada tan apto para impresionar la imaginación como la maravillosa forma de orden cósmico expresada por la Ley de Frecuencia del Error. La ley habría sido personificada y divinizada por los griegos si la hubieran conocido. Reina con serenidad y con total modestia en medio de la confusión más salvaje. Cuanto más grande es la turba y mayor la aparente anarquía, más perfecto es su dominio. Es la ley suprema de la Sinrazón. Siempre que se toma en mano una gran muestra de elementos caóticos y se ordenan según su magnitud, se demuestra que una forma insospechada y bellísima de regularidad ha estado latente desde el principio. [1] : 66
Se han desarrollado varios juegos utilizando la idea de que los bolos cambien la ruta de las bolas u otros objetos:
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