Familia de distribuciones de probabilidad
En física matemática y en probabilidad y estadística , la distribución q gaussiana es una familia de distribuciones de probabilidad que incluye, como casos límite , la distribución uniforme y la distribución normal (gaussiana) . Fue introducida por Díaz y Teruel. [ aclaración necesaria Es un análogo q de la distribución gaussiana o normal .
La distribución es simétrica respecto del cero y está acotada, excepto en el caso límite de la distribución normal. La distribución uniforme límite se encuentra en el rango de -1 a +1.
Definición La densidad q gaussiana. Sea q un número real en el intervalo [0, 1). La función de densidad de probabilidad de la distribución q gaussiana está dada por
s q ( incógnita ) = { 0 si incógnita < − no 1 do ( q ) mi q 2 − q 2 incógnita 2 [ 2 ] q si − no ≤ incógnita ≤ no 0 si incógnita > no . {\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{si }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{si }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{si }}x>\nu .\end{cases}}} dónde
no = no ( q ) = 1 1 − q , {\displaystyle \nu =\nu (q)={\frac {1}{\sqrt {1-q}}},} do ( q ) = 2 ( 1 − q ) 1 / 2 ∑ metro = 0 ∞ ( − 1 ) metro q metro ( metro + 1 ) ( 1 − q 2 metro + 1 ) ( 1 − q 2 ) q 2 metro . {\displaystyle c(q)=2(1-q)^{1/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}q^{m(m+1)}}{(1-q^{2m+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{m}}}.} El q -análogo [ t ] q a {\estilo de visualización t}
[ a ] q = q a − 1 q − 1 . {\displaystyle [t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.} El análogo q de la función exponencial es la q-exponencial , E xq
mi q incógnita = ∑ yo = 0 ∞ q yo ( yo − 1 ) / 2 incógnita yo [ yo ] ! {\displaystyle E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j]!}}} donde el q -análogo del factorial es el q-factorial , [ n ] q
[ norte ] q ! = [ norte ] q [ norte − 1 ] q ⋯ [ 2 ] q {\displaystyle [n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [2]_{q}\,} para un entero n > 2 y [1] q q
La distribución q gaussiana acumulativa. La función de distribución acumulativa de la distribución q gaussiana está dada por
GRAMO q ( incógnita ) = { 0 si incógnita < − no 1 do ( q ) ∫ − no incógnita mi q 2 − q 2 a 2 / [ 2 ] d q a si − no ≤ incógnita ≤ no 1 si incógnita > no {\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{si }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{si }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{si }}x>\nu \end{cases}}} donde el símbolo de integración denota la integral de Jackson .
La función G q
GRAMO q ( incógnita ) = { 0 si incógnita < − no , 1 2 + 1 − q do ( q ) ∑ norte = 0 ∞ q norte ( norte + 1 ) ( q − 1 ) norte ( 1 − q 2 norte + 1 ) ( 1 − q 2 ) q 2 norte incógnita 2 norte + 1 si − no ≤ incógnita ≤ no 1 si incógnita > no {\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{si }}x<-\nu ,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1-q}{c(q)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n(n+1)}(q-1)^{n}}{(1-q^{2n+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{n}}}x^{2n+1}&{\text{si }}-\nu \leq x\leq \nu \\1&{\text{si}}\ x>\nu \end{cases}}} dónde
( a + b ) q norte = ∏ i = 0 norte − 1 ( a + q i b ) . {\displaystyle (a+b)_{q}^{n}=\prod _{i=0}^{n-1}(a+q^{i}b).}
Momentos Los momentos de la distribución q gaussiana están dados por
1 do ( q ) ∫ − no no mi q 2 − q 2 incógnita 2 / [ 2 ] incógnita 2 norte d q incógnita = [ 2 norte − 1 ] ! ! , {\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,} 1 do ( q ) ∫ − no no mi q 2 − q 2 incógnita 2 / [ 2 ] incógnita 2 norte + 1 d q incógnita = 0 , {\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,} donde el símbolo [2 n − 1]!! es el q -análogo del factorial doble dado por
[ 2 norte − 1 ] [ 2 norte − 3 ] ⋯ [ 1 ] = [ 2 norte − 1 ] ! ! . {\displaystyle [2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,}
Véase también
Referencias Díaz, R.; Pariguan, E. (2009). "Sobre la distribución q gaussiana". Revista de análisis matemático y aplicaciones 358 : 1–9. arXiv : 0807.1918 . doi :10.1016/j.jmaa.2009.04.046. S2CID 115175228. Díaz, R.; Teruel, C. (2005). "q,k-Funciones gamma y beta generalizadas" (PDF) . Journal of Nonlinear Mathematical Physics 12 (1): 118–134. arXiv : math/0405402 . Bibcode :2005JNMP...12..118D. doi :10.2991/jnmp.2005.12.1.10. S2CID 73643153. van Leeuwen, H.; Maassen, H. (1995). "Una deformación q de la distribución de Gauss" (PDF) . Revista de Física Matemática 36 (9): 4743. Bibcode :1995JMP....36.4743V. CiteSeerX 10.1.1.24.6957 . doi :10.1063/1.530917. hdl :2066/141604. S2CID 13934946. Exton, H. (1983), Funciones hipergeométricas q y aplicaciones , Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
![{\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{si }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{si }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{si }}x>\nu .\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4756d8f382ded295f41b2e35a5f6856e88ecbb)
![{\displaystyle [t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a356c0354e30a936e10d638ea378c74ead1b6b13)
![{\displaystyle E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j]!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271b1da4445a1cb1b891e9c3d30099e2e6e99662)
![{\displaystyle [n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [2]_{q}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533b3c41df579ee3f4d41dd6c153ba7e4db42183)
![{\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{si }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{si }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{si }}x>\nu \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2127f2fe582b05819f37838de70f0b976b4a75d6)
![{\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12db0a698d15e9955385a89a2bfd58d6a62a7be7)
![{\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1ba81409d3ee37e51e8b40c38bca8d81bedc4d)
![{\displaystyle [2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044891c4911617a29420b18e032d7fd9c9848714)