Distribución normal compleja

Distribución estadística de variables aleatorias complejas

En teoría de probabilidad , la familia de distribuciones normales complejas , denotada o , caracteriza a las variables aleatorias complejas cuyas partes reales e imaginarias son conjuntamente normales . ^[1] La familia normal compleja tiene tres parámetros: el parámetro de ubicación μ , la matriz de covarianza y la matriz de relación . La normal compleja estándar es la distribución univariante con , , y . ${\displaystyle {\mathcal {CN}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \Gamma =1}$ ${\displaystyle C=0}$

Una subclase importante de la familia normal compleja se denomina normal compleja circularmente simétrica (central) y corresponde al caso de matriz de relación cero y media cero: y . ^[2] Este caso se utiliza ampliamente en el procesamiento de señales , donde a veces se lo denomina simplemente normal compleja en la literatura. ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle C=0}$

Definiciones

Variable aleatoria normal estándar compleja

La variable aleatoria normal compleja estándar o variable aleatoria gaussiana compleja estándar es una variable aleatoria compleja cuyas partes reales e imaginarias son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente con media cero y varianza . ^{[3] : p. 494  [4] : pp. 501} Formalmente, ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 1/2}$

donde denota que es una variable aleatoria normal compleja estándar. ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)}$ ${\displaystyle Z}$

Variable aleatoria normal compleja

Supóngase que y son variables aleatorias reales tales que es un vector aleatorio normal bidimensional . Entonces la variable aleatoria compleja se denomina variable aleatoria normal compleja o variable aleatoria gaussiana compleja . ^{[3] : p. 500} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,Y)^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle Z=X+iY}$

Vector aleatorio normal estándar complejo

Un vector aleatorio complejo n-dimensional es un vector aleatorio normal estándar complejo o un vector aleatorio gaussiano estándar complejo si sus componentes son independientes y todos ellos son variables aleatorias normales complejas estándar como se definió anteriormente. ^{[3] : p. 502  [4] : pp. 501} Es decir, un vector aleatorio normal complejo estándar se denota . ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})}$

Vector aleatorio normal complejo

Si y son vectores aleatorios en tales que es un vector aleatorio normal con componentes. Entonces decimos que el vector aleatorio complejo ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$ ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,}$

es un vector aleatorio normal complejo o un vector aleatorio gaussiano complejo .

Media, covarianza y relación

La distribución gaussiana compleja se puede describir con tres parámetros: ^[5]

${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],}$

donde denota la transpuesta matricial de , y denota la transpuesta conjugada . ^{[3] : pág. 504  [4] : págs. 500} ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }}$

Aquí el parámetro de ubicación es un vector complejo n-dimensional; la matriz de covarianza es hermítica y definida no negativa ; y, la matriz de relación o matriz de pseudo-covarianza es simétrica . El vector aleatorio normal complejo ahora puede denotarse como Además, las matrices y son tales que la matriz ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ $${\displaystyle \mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).}$$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C}$

es también definida no negativa donde denota el conjugado complejo de . ^[5] ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Relaciones entre matrices de covarianza

Como ocurre con cualquier vector aleatorio complejo, las matrices y pueden relacionarse con las matrices de covarianza de y mediante expresiones ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}}$

y a la inversa

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}}$

Función de densidad

La función de densidad de probabilidad para una distribución normal compleja se puede calcular como

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}({\overline {z}}-{\overline {\mu }})^{\intercal },&(z-\mu )^{\intercal }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{pmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{pmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{pmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}}$

donde y . ${\displaystyle R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}}$ ${\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-RC}$

Función característica

La función característica de la distribución normal compleja está dada por ^[5]

${\displaystyle \varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},}$

donde el argumento es un vector complejo n -dimensional. ${\displaystyle w}$

Propiedades

• Si es un vector n normal complejo , una matriz m×n y un vector m constante , entonces la transformada lineal se distribuirá también de forma compleja-normal: ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b}$

${\displaystyle Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })}$

• Si es un n -vector normal complejo , entonces ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

${\displaystyle 2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)}$

• Teorema del límite central . Si son variables aleatorias complejas independientes e idénticamente distribuidas, entonces ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{T}}$

${\displaystyle {\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),}$

donde y . ${\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]}$ ${\displaystyle C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]}$

• El módulo de una variable aleatoria normal compleja sigue una distribución de Hoyt . ^[6]

Caja central simétrica circular

Definición

Un vector aleatorio complejo se denomina circularmente simétrico si para cada determinista la distribución de es igual a la distribución de . ^{[4] : págs. 500–501} ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

Los vectores aleatorios complejos normales centrales que son circularmente simétricos son de particular interés porque están completamente especificados por la matriz de covarianza . ${\displaystyle \Gamma }$

La distribución normal compleja circularmente simétrica (central) corresponde al caso de media cero y matriz de relación cero, es decir y . ^{[3] : p. 507  [7]} Esto generalmente se denota ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle C=0}$

${\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )}$

Distribución de partes reales e imaginarias

Si es normal compleja circularmente simétrica (central), entonces el vector es normal multivariado con estructura de covarianza. ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}}$

dónde . ${\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]}$

Función de densidad de probabilidad

Para la matriz de covarianza no singular , su distribución también se puede simplificar como ^{[3] : p. 508} ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}}$.

Por lo tanto, si se desconocen la media distinta de cero y la matriz de covarianza , una función de verosimilitud logarítmica adecuada para un único vector de observación sería ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).}$

La distribución normal compleja estándar (definida en la ecuación 1 ) corresponde a la distribución de una variable aleatoria escalar con , y . Por lo tanto, la distribución normal compleja estándar tiene densidad ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle \Gamma =1}$

${\displaystyle f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.}$

Propiedades

La expresión anterior demuestra por qué el caso , se denomina “circularmente simétrico”. La función de densidad depende únicamente de la magnitud de , pero no de su argumento . Por lo tanto, la magnitud de una variable aleatoria normal compleja estándar tendrá la distribución de Rayleigh y la magnitud al cuadrado tendrá la distribución exponencial , mientras que el argumento se distribuirá uniformemente en . ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle |z|^{2}}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

Si son vectores aleatorios normales circulares complejos n -dimensionales independientes e idénticamente distribuidos con , entonces la norma aleatoria al cuadrado ${\displaystyle \left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}}$ ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}}$

tiene la distribución chi-cuadrado generalizada y la matriz aleatoria

${\displaystyle W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }}$

Tiene una distribución Wishart compleja con grados de libertad. Esta distribución se puede describir mediante la función de densidad ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}}$

donde , y es una matriz no definida negativa. ${\displaystyle k\geq n}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle n\times n}$

Véase también

• Distribución de razón normal compleja
• Estadísticas direccionales § Distribución de la media (forma polar)
• Distribución normal
• Distribución normal multivariada (una distribución normal compleja es una distribución normal bivariada)
• Distribución de chi-cuadrado generalizada
• Distribución de Wishart
• Variable aleatoria compleja

Referencias

1. Goodman, NR (1963). "Análisis estadístico basado en una determinada distribución gaussiana compleja multivariante (una introducción)". Anales de estadística matemática . 34 (1): 152–177. doi : 10.1214/aoms/1177704250 . JSTOR  2991290.
2. Capítulo de libro, Gallager.R, pág. 9.
3. Lapidoth, A. (2009). Una base para la comunicación digital . Cambridge University Press. ISBN 9780521193955.
4. Tse, David (2005). Fundamentos de la comunicación inalámbrica. Cambridge University Press. ISBN 9781139444668.
5. Picinbono, Bernard (1996). "Vectores aleatorios complejos de segundo orden y distribuciones normales". IEEE Transactions on Signal Processing . 44 (10): 2637–2640. Bibcode :1996ITSP...44.2637P. doi :10.1109/78.539051.
6. Daniel Wollschlaeger. "La distribución Hoyt (Documentación para el paquete R 'shotGroups' versión 0.6.2)".^{[ enlace muerto permanente ]}
7. Capítulo de libro, Gallager.R