Estadísticas de Bose-Einstein

Descripción del comportamiento de los bosones.

En estadística cuántica , la estadística de Bose-Einstein ( estadística B-E ) describe una de las dos formas posibles en las que un conjunto de partículas idénticas que no interactúan puede ocupar un conjunto de estados de energía discretos disponibles en el equilibrio termodinámico . La agregación de partículas en el mismo estado, que es una característica de las partículas que obedecen a la estadística de Bose-Einstein, explica el flujo cohesivo de la luz láser y el deslizamiento sin fricción del helio superfluido . La teoría de este comportamiento fue desarrollada (1924-25) por Satyendra Nath Bose , quien reconoció que de esta manera se puede distribuir una colección de partículas idénticas e indistinguibles. Posteriormente, la idea fue adoptada y ampliada por Albert Einstein en colaboración con Bose.

Las estadísticas de Bose-Einstein se aplican sólo a partículas que no siguen las restricciones del principio de exclusión de Pauli . Las partículas que siguen la estadística de Bose-Einstein se denominan bosones , y tienen valores enteros de espín . Por el contrario, las partículas que siguen la estadística de Fermi-Dirac se denominan fermiones y tienen espines semienteros .

Comparación de la ocupación media del estado del suelo para tres estadísticas

Distribución de Bose-Einstein

A bajas temperaturas, los bosones se comportan de manera diferente a los fermiones (que obedecen a la estadística de Fermi-Dirac ) de manera que un número ilimitado de ellos pueden "condensarse" en el mismo estado energético. Esta propiedad aparentemente inusual también da lugar al estado especial de la materia: el condensado de Bose-Einstein . Las estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein se aplican cuando los efectos cuánticos son importantes y las partículas son " indistinguibles ". Los efectos cuánticos aparecen si la concentración de partículas satisface

$${\displaystyle {\frac {N}{V}}\geq n_{q},}$$

donde N es el número de partículas, V es el volumen y n _q es la concentración cuántica , para la cual la distancia entre partículas es igual a la longitud de onda térmica de De Broglie , de modo que las funciones de onda de las partículas apenas se superponen.

La estadística de Fermi-Dirac se aplica a los fermiones (partículas que obedecen al principio de exclusión de Pauli ), y la estadística de Bose-Einstein se aplica a los bosones . Como la concentración cuántica depende de la temperatura, la mayoría de los sistemas a altas temperaturas obedecen al límite clásico (Maxwell-Boltzmann), a menos que también tengan una densidad muy alta, como en el caso de una enana blanca . Tanto Fermi-Dirac como Bose-Einstein se convierten en estadísticas de Maxwell-Boltzmann a alta temperatura o baja concentración.

La estadística de Bose-Einstein fue introducida para fotones en 1924 por Bose y Einstein la generalizó a átomos en 1924-25.

El número esperado de partículas en un estado energético i para las estadísticas de Bose-Einstein es:

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}}$

con ε _i > μ y donde n _i es el número de ocupación (el número de partículas) en el estado i , es la degeneración del nivel de energía i , ε _i es la energía del i -ésimo estado, μ es el potencial químico (cero para un gas fotónico ), k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta . ${\displaystyle g_{i}}$

La varianza de esta distribución se calcula directamente a partir de la expresión anterior para el número promedio. ^[1] ${\displaystyle V(n)}$

$${\displaystyle V(n)=kT{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\bar {n}}_{i}=\langle n\rangle (1+\langle n\rangle )={\bar {n}}+{\bar {n}}^{2}}$$

A modo de comparación, el número promedio de fermiones con energía dada por la distribución de energía de partículas de Fermi-Dirac tiene una forma similar: ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}(\varepsilon _{i})={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$$

Como se mencionó anteriormente, tanto la distribución de Bose-Einstein como la distribución de Fermi-Dirac se aproximan a la distribución de Maxwell-Boltzmann en el límite de alta temperatura y baja densidad de partículas, sin necesidad de realizar suposiciones ad hoc:

• En el límite de baja densidad de partículas, por lo tanto o de manera equivalente . En ese caso, , que es el resultado de la estadística de Maxwell-Boltzmann. ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1}}\ll 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1\gg 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\gg 1}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\approx {\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}}={\frac {1}{Z}}e^{-(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}$
• En el límite de alta temperatura, las partículas se distribuyen en un amplio rango de valores de energía, por lo que la ocupación en cada estado (especialmente los de alta energía con ) es nuevamente muy pequeña . Esto nuevamente se reduce a las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. ${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{\text{B}}T}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1}}\ll 1}$

Además de reducirse a la distribución de Maxwell-Boltzmann en el límite de alta y baja densidad, las estadísticas de Bose-Einstein también se reducen a la distribución de la ley de Rayleigh-Jeans para estados de baja energía con , a saber ${\displaystyle T}$
${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \ll k_{\text{B}}T}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}\\&\approx {\frac {g_{i}}{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}={\frac {g_{i}k_{\text{B}}T}{\varepsilon _{i}-\mu }}.\end{aligned}}}$$

Historia

Władysław Natanson concluyó en 1911 que la ley de Planck requiere la indistinguibilidad de las "unidades de energía", aunque no enmarcó esto en términos de los cuantos de luz de Einstein. ^{[2] [3]}

Mientras presentaba una conferencia en la Universidad de Dhaka (en lo que entonces era la India británica y ahora es Bangladesh ) sobre la teoría de la radiación y la catástrofe ultravioleta , Satyendra Nath Bose pretendía mostrar a sus estudiantes que la teoría contemporánea era inadecuada, porque predecía resultados. no de acuerdo con los resultados experimentales. Durante esta conferencia, Bose cometió un error al aplicar la teoría, lo que inesperadamente dio una predicción que coincidía con el experimento. El error fue un simple error, similar a argumentar que al lanzar dos monedas al aire se producirán dos caras un tercio de las veces, que parecería obviamente incorrecto para cualquiera con conocimientos básicos de estadística (sorprendentemente, este error se parecía al famoso error cometido por d 'Alembert conocido por su artículo Croix ou Pile ^{[4] [5]} ). Sin embargo, los resultados que predijo coincidieron con los del experimento y Bose se dio cuenta de que, después de todo, tal vez no fuera un error. Por primera vez, adoptó la posición de que la distribución de Maxwell-Boltzmann no sería cierta para todas las partículas microscópicas en todas las escalas. Así, estudió la probabilidad de encontrar partículas en varios estados en el espacio de fases, donde cada estado es una pequeña porción que tiene un volumen de fase de h ³ , y la posición y el momento de las partículas no se mantienen particularmente separados sino que se consideran como una variable.

Bose adaptó esta conferencia en un breve artículo llamado "La ley de Planck y la hipótesis de los cuantos de luz" ^{[6] [7]} y lo envió a la Revista Filosófica . Sin embargo, el informe del árbitro fue negativo y el artículo fue rechazado. Impávido, envió el manuscrito a Albert Einstein solicitando su publicación en el Zeitschrift für Physik . Einstein aceptó de inmediato, tradujo personalmente el artículo del inglés al alemán (Bose había traducido anteriormente el artículo de Einstein sobre la teoría general de la relatividad del alemán al inglés) y se encargó de que fuera publicado. La teoría de Bose ganó respeto cuando Einstein envió su propio artículo en apoyo de la de Bose a Zeitschrift für Physik , pidiendo que se publicaran juntos. El artículo salió a la luz en 1924. ^[8]

La razón por la que Bose produjo resultados precisos fue que, dado que los fotones son indistinguibles entre sí, no se pueden tratar dos fotones que tengan números cuánticos iguales (por ejemplo, polarización y vector de momento) como si fueran dos fotones distintos e identificables. Bose originalmente tenía un factor de 2 para los posibles estados de espín, pero Einstein lo cambió a polarización. ^[9] Por analogía, si en un universo alternativo las monedas se comportaran como fotones y otros bosones, la probabilidad de producir dos caras sería de hecho un tercio, al igual que la probabilidad de obtener una cara y una cola que equivalgan a uno. la mitad para las monedas convencionales (clásicas, distinguibles). El "error" de Bose conduce a lo que ahora se llama estadística de Bose-Einstein.

Bose y Einstein extendieron la idea a los átomos y esto llevó a la predicción de la existencia de un fenómeno que se conoció como condensado de Bose-Einstein, una densa colección de bosones (que son partículas con espín entero, que llevan el nombre de Bose), que se demostró que existen por experimento en 1995.

Derivación

Derivación del conjunto microcanónico

En el conjunto microcanónico , se considera un sistema con energía, volumen y número de partículas fijos. Tomemos un sistema compuesto por bosones idénticos, de los cuales tienen energía y se distribuyen en niveles o estados con la misma energía , es decir, es la degeneración asociada a la energía de la energía total . El cálculo del número de disposiciones de partículas distribuidas entre estados es un problema de combinatoria . Dado que aquí las partículas son indistinguibles en el contexto de la mecánica cuántica, la cantidad de formas para organizar las partículas en cajas (para el nivel de energía enésimo) sería (ver imagen): ${\textstyle N=\sum _{i}n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\textstyle E=\sum _{i}n_{i}\varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle i}$

La imagen representa una posible distribución de partículas bosónicas en diferentes cajas. Las particiones de las cajas (verdes) se pueden mover para cambiar el tamaño de las cajas y, como resultado, la cantidad de bosones que cada caja puede contener.

$${\displaystyle w_{i,{\text{BE}}}={\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}=C_{n_{i}}^{n_{i}+g_{i}-1},}$$

¿Dónde está la k combinación de un conjunto con m elementos? El número total de disposiciones en un conjunto de bosones es simplemente el producto de los coeficientes binomiales anteriores en todos los niveles de energía, es decir ${\displaystyle C_{k}^{m}}$ ${\displaystyle C_{n_{i}}^{n_{i}+g_{i}-1}}$

$${\displaystyle W_{\text{BE}}=\prod _{i}w_{i,{\text{BE}}}=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{(g_{i}-1)!n_{i}!}},}$$

El número máximo de arreglos que determinan el número de ocupación correspondiente se obtiene maximizando la entropía , o equivalentemente, estableciendo y teniendo en cuenta las condiciones subsidiarias (como multiplicadores de Lagrange ). ^[10] El resultado para , es la distribución de Bose-Einstein. ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} (\ln W_{\text{BE}})=0}$ ${\textstyle N=\sum n_{i},E=\sum _{i}n_{i}\varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$ ${\displaystyle g_{i}\gg 1}$ ${\displaystyle n_{i}/g_{i}=O(1)}$

Derivación del gran conjunto canónico

La distribución de Bose-Einstein, que se aplica sólo a un sistema cuántico de bosones que no interactúan, se deriva naturalmente del gran conjunto canónico sin ninguna aproximación. ^[11] En este conjunto, el sistema es capaz de intercambiar energía y partículas con un depósito (temperatura T y potencial químico µ fijado por el depósito).

Debido a la calidad de no interacción, cada nivel de partícula individual disponible (con nivel de energía ϵ ) forma un sistema termodinámico separado en contacto con el depósito. Es decir, el número de partículas dentro del sistema general que ocupan un estado de partícula único dado forman un subconjunto que también es un gran conjunto canónico; por lo tanto, puede analizarse mediante la construcción de una gran función de partición .

Cada estado de una sola partícula tiene una energía fija . Como el subconjunto asociado con un estado de partícula única varía únicamente según el número de partículas, está claro que la energía total del subconjunto también es directamente proporcional al número de partículas en el estado de partícula única; donde está el número de partículas, la energía total del subconjunto será entonces . Comenzando con la expresión estándar para una función de gran partición y reemplazándola por , la función de gran partición toma la forma ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\varepsilon }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N\varepsilon }$

$${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{N}\exp((N\mu -N\varepsilon )/k_{\text{B}}T)=\sum _{N}\exp(N(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)}$$

Esta fórmula se aplica tanto a los sistemas fermiónicos como a los sistemas bosónicos. La estadística de Fermi-Dirac surge al considerar el efecto del principio de exclusión de Pauli : mientras que el número de fermiones que ocupan el mismo estado de partícula única sólo puede ser 1 o 0, el número de bosones que ocupan un estado de partícula única puede ser cualquier número entero. Por tanto, la gran función de partición de bosones puede considerarse una serie geométrica y evaluarse como tal:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\sum _{N=0}^{\infty }\exp(N(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)=\sum _{N=0}^{\infty }[\exp((\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)]^{N}\\&={\frac {1}{1-\exp((\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)}}.\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que la serie geométrica es convergente sólo si , incluido el caso en el que . Esto implica que el potencial químico del gas Bose debe ser negativo, es decir, , mientras que al gas Fermi se le permite tomar valores tanto positivos como negativos para el potencial químico. ^[12] ${\displaystyle e^{(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T}<1}$ ${\displaystyle \epsilon =0}$ ${\displaystyle \mu <0}$

El número promedio de partículas para ese subestado de una sola partícula está dado por

$${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\text{B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)-1}}}$$

^{[13] [14]}

La varianza en el número de partículas, , es: ${\textstyle \sigma _{N}^{2}=\langle N^{2}\rangle -\langle N\rangle ^{2}}$

$${\displaystyle \sigma _{N}^{2}=k_{\text{B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}={\frac {\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)}{(\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)-1)^{2}}}=\langle N\rangle (1+\langle N\rangle ).}$$

Como resultado, para los estados muy ocupados, la desviación estándar del número de partículas de un nivel de energía es muy grande, ligeramente mayor que el número de partículas en sí: . Esta gran incertidumbre se debe al hecho de que la distribución de probabilidad del número de bosones en un nivel de energía determinado es una distribución geométrica ; De manera algo contraria a la intuición, el valor más probable para N es siempre 0. (En contraste, las partículas clásicas tienen en cambio una distribución de Poisson en el número de partículas para un estado dado, con una incertidumbre mucho menor de , y con el valor de N más probable cerca de . ) ${\displaystyle \sigma _{N}\approx \langle N\rangle }$ ${\textstyle \sigma _{N,{\rm {classical}}}={\sqrt {\langle N\rangle }}}$ ${\displaystyle \langle N\rangle }$

Derivación en el enfoque canónico.

También es posible derivar estadísticas aproximadas de Bose-Einstein en el conjunto canónico . Estas derivaciones son largas y sólo producen los resultados anteriores en el límite asintótico de una gran cantidad de partículas. La razón es que el número total de bosones está fijo en el conjunto canónico. La distribución de Bose-Einstein en este caso se puede derivar como en la mayoría de los textos mediante maximización, pero la mejor derivación matemática es mediante el método de valores medios de Darwin-Fowler , como lo enfatiza Dingle. ^[15] Véase también Müller-Kirsten. ^[10] Sin embargo, las fluctuaciones del estado fundamental en la región condensada son marcadamente diferentes en los conjuntos canónicos y grancanónicos. ^[dieciséis]

Derivación

Supongamos que tenemos varios niveles de energía, etiquetados por índice , cada nivel tiene energía y contiene un total de partículas. Supongamos que cada nivel contiene subniveles distintos, todos los cuales tienen la misma energía y son distinguibles. Por ejemplo, dos partículas pueden tener momentos diferentes, en cuyo caso se pueden distinguir entre sí, pero aun así pueden tener la misma energía. El valor de asociado con el nivel se llama "degeneración" de ese nivel de energía. Cualquier número de bosones puede ocupar el mismo subnivel. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Sea el número de formas de distribuir partículas entre los subniveles de un nivel de energía. Por lo tanto, sólo hay una forma de distribuir partículas con un subnivel . Es fácil ver que existen formas de distribuir partículas en dos subniveles que escribiremos como: ${\displaystyle w(n,g)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w(n,1)=1}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle w(n,2)={\frac {(n+1)!}{n!1!}}.}$$

Pensándolo un poco (ver Notas a continuación) se puede ver que el número de formas de distribuir partículas en tres subniveles es ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle w(n,3)=w(n,2)+w(n-1,2)+\cdots +w(1,2)+w(0,2)}$$

de modo que

$${\displaystyle w(n,3)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,2)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n-k+1)!}{(n-k)!1!}}={\frac {(n+2)!}{n!2!}}}$$

donde hemos utilizado el siguiente teorema que involucra coeficientes binomiales :

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(k+a)!}{k!a!}}={\frac {(n+a+1)!}{n!(a+1)!}}.}$$

Continuando con este proceso, podemos ver que es solo un coeficiente binomial (ver notas a continuación) ${\displaystyle w(n,g)}$

$${\displaystyle w(n,g)={\frac {(n+g-1)!}{n!(g-1)!}}.}$$

Por ejemplo, los números de población de dos partículas en tres subniveles son 200, 110, 101, 020, 011 o 002 para un total de seis, lo que equivale a 4!/(2!2!). El número de formas en que se puede realizar un conjunto de números de ocupación es el producto de las formas en que se puede completar cada nivel de energía individual: ${\displaystyle n_{i}}$

$${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}\approx \prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i})!}{n_{i}!(g_{i})!}}}$$

donde la aproximación supone que . ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$

Siguiendo el mismo procedimiento utilizado para derivar las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , deseamos encontrar el conjunto de para el cual W se maximiza, sujeto a la restricción de que haya un número total fijo de partículas y una energía total fija. Los máximos de y ocurren en el mismo valor de y, dado que es más fácil de lograr matemáticamente, maximizaremos la última función. Restringimos nuestra solución usando multiplicadores de Lagrange formando la función: ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \ln(W)}$ ${\displaystyle n_{i}}$

$${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha (N-\sum n_{i})+\beta (E-\sum n_{i}\varepsilon _{i})}$$

Usando la aproximación y usando la aproximación de Stirling para los factoriales se obtiene ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$ ${\displaystyle \left(x!\approx x^{x}\,e^{-x}\,{\sqrt {2\pi x}}\right)}$

$${\displaystyle f(n_{i})=\sum _{i}(n_{i}+g_{i})\ln(n_{i}+g_{i})-n_{i}\ln(n_{i})+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right)+K.}$$

Donde K es la suma de varios términos que no son funciones de . Al tomar la derivada con respecto a , establecer el resultado en cero y resolver para , se obtienen los números de población de Bose-Einstein: ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$

$${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}-1}}.}$$

Mediante un proceso similar al descrito en el artículo de estadística de Maxwell-Boltzmann , se puede ver que:

$${\displaystyle d\ln W=\alpha \,dN+\beta \,dE}$$

lo cual, usando la famosa relación de Boltzmann se convierte en una declaración de la segunda ley de la termodinámica a volumen constante, y se deduce que y donde S es la entropía , es el potencial químico , k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura , de modo que finalmente: ${\displaystyle S=k_{\text{B}}\,\ln W}$ ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$ ${\displaystyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\text{B}}T}}}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}.}$$

Tenga en cuenta que la fórmula anterior a veces se escribe:

$${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}/z-1}},}$$

¿Dónde está la actividad absoluta , como señaló McQuarrie? ^[17] ${\displaystyle z=\exp(\mu /k_{\text{B}}T)}$

Tenga en cuenta también que cuando el número de partículas no se conserva, eliminar la restricción de conservación del número de partículas equivale a establecer el potencial químico en cero. Este será el caso de fotones y partículas masivas en equilibrio mutuo y la distribución resultante será la distribución de Planck . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu }$

Notas

Una forma mucho más sencilla de pensar en la función de distribución de Bose-Einstein es considerar que n partículas se denotan por bolas idénticas y g capas están marcadas por particiones de líneas g-1. Está claro que las permutaciones de estas n bolas y g − 1 particiones darán diferentes formas de organizar los bosones en diferentes niveles de energía. Digamos que, para 3 (=  n ) partículas y 3 (=  g ) capas, por lo tanto ( g − 1) = 2 , la disposición podría ser |●●|● , o ||●●● , o |●|●● , etc. Por lo tanto, el número de permutaciones distintas de n + ( g − 1) objetos que tienen n elementos idénticos y ( g  − 1) elementos idénticos será:

$${\displaystyle {\frac {(g-1+n)!}{(g-1)!n!}}}$$

Consulte la imagen para obtener una representación visual de una de esas distribuciones de n partículas en g cajas que se pueden representar como g − 1 particiones.

La imagen representa una posible distribución de partículas bosónicas en diferentes cajas. Las particiones de las cajas (verdes) se pueden mover para cambiar el tamaño de las cajas y, como resultado, la cantidad de bosones que cada caja puede contener.

O

El propósito de estas notas es aclarar algunos aspectos de la derivación de la distribución de Bose-Einstein para principiantes. La enumeración de casos (o formas) en la distribución de Bose-Einstein puede reformularse de la siguiente manera. Considere un juego de lanzamiento de dados en el que hay dados, y cada dado toma valores del conjunto , para . Las restricciones del juego son que el valor de un dado , denotado por , tiene que ser mayor o igual al valor del dado , denotado por , en el lanzamiento anterior, es decir, . Por tanto, una secuencia válida de lanzamientos de dados puede describirse mediante una n -tupla , tal que . Denotemos el conjunto de estas n -tuplas válidas: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,g\}}$ ${\displaystyle g\geq 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle (i-1)}$ ${\displaystyle m_{i-1}}$ ${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}$ ${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$ ${\displaystyle S(n,g)}$

Entonces la cantidad (definida anteriormente como el número de formas de distribuir partículas entre los subniveles de un nivel de energía) es la cardinalidad de , es decir, el número de elementos (o n -tuplas válidas) en . Así, el problema de encontrar una expresión para se convierte en el problema de contar los elementos en . ${\displaystyle w(n,g)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle w(n,g)}$ ${\displaystyle S(n,g)}$

Ejemplo n = 4, g = 3:

$${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1113)} _{(a)},\underbrace {(1122),(1123),(1133)} _{(b)},\underbrace {(1222),(1223),(1233),(1333)} _{(c)},\underbrace {(2222),(2223),(2233),(2333),(3333)} _{(d)}\right\}}$$

$${\displaystyle w(4,3)=15}$$

(hay elementos en ) ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle S(4,3)}$

El subconjunto se obtiene fijando todos los índices en , excepto el último índice, que se incrementa desde hasta . El subconjunto se obtiene fijando e incrementando de a . Debido a la restricción de los índices en , el índice debe tomar valores automáticamente en . La construcción de subconjuntos y sigue de la misma manera. ${\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g=3}$ ${\displaystyle (b)}$ ${\displaystyle m_{1}=m_{2}=1}$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle g=3}$ ${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$ ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle m_{4}}$ ${\displaystyle \left\{2,3\right\}}$ ${\displaystyle (c)}$ ${\displaystyle (d)}$

Cada elemento de puede considerarse como un conjunto múltiple de cardinalidades ; los elementos de dicho conjunto múltiple se toman del conjunto de cardinalidad , y el número de dichos conjuntos múltiples es el coeficiente del conjunto múltiple ${\displaystyle S(4,3)}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$ ${\displaystyle g=3}$

$${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}3\\4\end{matrix}}\right\rangle ={3+4-1 \choose 3-1}={3+4-1 \choose 4}={\frac {6!}{4!2!}}=15}$$

De manera más general, cada elemento de es un conjunto múltiple de cardinalidad (número de dados) con elementos tomados del conjunto de cardinalidad (número de valores posibles de cada dado), y el número de dichos conjuntos múltiples, es decir, es el coeficiente del conjunto múltiple ${\displaystyle S(n,g)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\{1,\dots ,g\right\}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w(n,g)}$

que es exactamente la misma que la fórmula para , derivada anteriormente con la ayuda de un teorema que involucra coeficientes binomiales, a saber ${\displaystyle w(n,g)}$

Para entender la descomposición.

o por ejemplo, y ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle g=3}$

$${\displaystyle w(4,3)=w(4,2)+w(3,2)+w(2,2)+w(1,2)+w(0,2),}$$

reorganicemos los elementos de la siguiente manera ${\displaystyle S(4,3)}$

$${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)} _{(\alpha )},\underbrace {(111{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(112{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(122{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(222{\color {Red}{\underset {=}{3}}})} _{(\beta )},\underbrace {(11{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(12{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(22{\color {Red}{\underset {==}{33}}})} _{(\gamma )},\underbrace {(1{\color {Red}{\underset {===}{333}}}),(2{\color {Red}{\underset {===}{333}}})} _{(\delta )}\underbrace {({\color {Red}{\underset {====}{3333}}})} _{(\omega )}\right\}.}$$

Claramente, el subconjunto de es igual al conjunto ${\displaystyle (\alpha )}$ ${\displaystyle S(4,3)}$

$${\displaystyle S(4,2)=\left\{(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)\right\}.}$$

Eliminando el índice (mostrado en rojo con doble subrayado ) en el subconjunto de , se obtiene el conjunto ${\displaystyle m_{4}=3}$ ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle S(4,3)}$

$${\displaystyle S(3,2)=\left\{(111),(112),(122),(222)\right\}.}$$

En otras palabras, existe una correspondencia uno a uno entre el subconjunto de y el conjunto . Nosotros escribimos ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle S(4,3)}$ ${\displaystyle S(3,2)}$

$${\displaystyle (\beta )\longleftrightarrow S(3,2).}$$

Del mismo modo, es fácil ver que

$${\displaystyle (\gamma )\longleftrightarrow S(2,2)=\left\{(11),(12),(22)\right\}}$$

$${\displaystyle (\delta )\longleftrightarrow S(1,2)=\left\{(1),(2)\right\}}$$

$${\displaystyle (\omega )\longleftrightarrow S(0,2)=\{\}=\varnothing .}$$

Así podemos escribir

$${\displaystyle S(4,3)=\bigcup _{k=0}^{4}S(4-k,2)}$$

o más en general,

y desde los sets

$${\displaystyle S(i,g-1),{\text{ for }}i=0,\dots ,n}$$

no se cruzan, por lo tanto tenemos

con la convención que

Continuando el proceso llegamos a la siguiente fórmula

$${\displaystyle w(n,g)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}w(n-k_{1}-k_{2},g-2)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}\cdots \sum _{k_{g}=0}^{n-\sum _{j=1}^{g-1}k_{j}}w(n-\sum _{i=1}^{g}k_{i},0).}$$

Usando la convención (7) ₂ anterior, obtenemos la fórmula

teniendo en cuenta que para y siendo constantes, tenemos ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

Luego se puede verificar que (8) y (2) dan el mismo resultado para , , , etc. ${\displaystyle w(4,3)}$ ${\displaystyle w(3,3)}$ ${\displaystyle w(3,2)}$

Aplicaciones interdisciplinarias

Considerada como una distribución de probabilidad pura , la distribución de Bose-Einstein ha encontrado aplicación en otros campos:

• En los últimos años, la estadística de Bose-Einstein también se ha utilizado como método de ponderación de términos en la recuperación de información . El método forma parte de una colección de modelos DFR ("Divergencia de la aleatoriedad"), ^[18] la noción básica es que las estadísticas de Bose-Einstein pueden ser un indicador útil en los casos en que un término particular y un documento particular tienen una relación significativa que no habría ocurrido por pura casualidad. El código fuente para implementar este modelo está disponible en el proyecto Terrier de la Universidad de Glasgow.
• La evolución de muchos sistemas complejos, incluida la World Wide Web , las redes empresariales y de citas, está codificada en la red dinámica que describe las interacciones entre los componentes del sistema. A pesar de su naturaleza irreversible y de desequilibrio, estas redes siguen las estadísticas de Bose y pueden sufrir condensación de Bose-Einstein. Abordar las propiedades dinámicas de estos sistemas de desequilibrio dentro del marco de los gases cuánticos de equilibrio predice que los fenómenos de "ventaja del primero en moverse", "en forma y hacerse rico" (FGR) y "el ganador se lo lleva todo" observados en los sistemas competitivos son fases termodinámicamente distintas de las redes en evolución subyacentes. ^[19]

Ver también

• Correlaciones de Bose-Einstein
• Condensado de Bose-Einstein
• gas bosé
• Einstein sólido
• bosón de Higgs
• Paraestadística
• Ley de Planck de la radiación del cuerpo negro
• Superconductividad
• Fermi-Dirac estadísticas
• Maxwell-Boltzmann estadísticas

Notas

1. Pearsall, Thomas (2020). Fotónica cuántica, 2ª edición. Textos de Graduado en Física. Saltador. doi :10.1007/978-3-030-47325-9. ISBN 978-3-030-47324-2.
2. Jammer, Max (1966). El desarrollo conceptual de la mecánica cuántica . McGraw-Hill. pag. 51.ISBN​ 0-88318-617-9.
3. Pasan, Oliver; Grebe-Ellis, Johannes (1 de mayo de 2017). "La ley de radiación de Planck, el cuanto de luz y la prehistoria de la indistinguibilidad en la enseñanza de la mecánica cuántica". Revista Europea de Física . 38 (3): 035404. arXiv : 1703.05635 . Código Bib : 2017EJPh...38c5404P. doi :10.1088/1361-6404/aa6134. ISSN  0143-0807. S2CID  119091804.
4. d'Alembert, Jean (1754). "Cruz o pila". L'Encyclopédie (en francés). 4 .
5. d'Alembert, Jean (1754). "Cruz o pila" (PDF) . Universidad Javier . Traducido por Richard J. Pulskamp . Consultado el 14 de enero de 2019 .
6. Ver pág. 14, nota 3, de la tesis: Michelangeli, Alessandro (octubre de 2007). Condensación de Bose-Einstein: análisis de problemas y resultados rigurosos (PDF) (Ph.D.). Escuela Internacional de Estudios Avanzados . Archivado (PDF) desde el original el 3 de noviembre de 2018 . Consultado el 14 de febrero de 2019 .
7. Bose (2 de julio de 1924). «La ley de Planck y la hipótesis de los cuantos de luz» (PostScript) . Universidad de Oldenburgo . Consultado el 30 de noviembre de 2016 .
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9. Ghose, Partha (2023). "La historia de Bose, el giro de los fotones y la indistinguibilidad". arXiv : 2308.01909 [física.hist-ph].
10. HJW Müller-Kirsten, Conceptos básicos de física estadística , 2ª ed., World Scientific (2013), ISBN 978-981-4449-53-3 . 
11. Srivastava, RK; Ashok, J. (2005). "Capítulo 7". Mecánica estadística . Nueva Delhi : PHI Learning Pvt. Limitado. ISBN limitado 9788120327825.
12. Landau, LD, Lifšic, EM, Lifshitz, EM y Pitaevskii, LP (1980). Física estadística (Vol. 5). Prensa de Pérgamo.
13. "Capítulo 6". Mecánica estadística . PHI Aprendizaje Pvt. Limitado. Enero de 2005. ISBN 9788120327825.
14. La distribución BE también se puede derivar de la teoría del campo térmico.
15. RB Dingle, Expansiones asintóticas: su derivación e interpretación , Academic Press (1973), págs.
16. Ziff RM; Kac, M.; Uhlenbeck, GE (1977). "El gas ideal de Bose-Einstein, revisado". Informes de física 32 : 169–248.
17. Ver McQuarrie en citas
18. Amati, G.; CJ Van Rijsbergen (2002). "Modelos probabilísticos de recuperación de información basados ​​en la medición de la divergencia de la aleatoriedad" ACM TOIS 20 (4):357–389.
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Referencias

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