En mecánica cuántica , el principio de exclusión de Pauli establece que dos o más partículas idénticas con espines semienteros (es decir, fermiones ) no pueden ocupar simultáneamente el mismo estado cuántico dentro de un sistema que obedezca las leyes de la mecánica cuántica . Este principio fue formulado por el físico austriaco Wolfgang Pauli en 1925 para los electrones , y posteriormente se extendió a todos los fermiones con su teorema de estadística de espín de 1940.
En el caso de los electrones en los átomos, el principio de exclusión se puede enunciar de la siguiente manera: en un átomo polielectrónico es imposible que dos electrones cualesquiera tengan los mismos dos valores de sus cuatro números cuánticos , que son: n , el número cuántico principal ; ℓ , el número cuántico azimutal ; m ℓ , el número cuántico magnético ; y m s , el número cuántico de espín . Por ejemplo, si dos electrones residen en el mismo orbital , entonces sus valores de n , ℓ y m ℓ son iguales. En ese caso, los dos valores del par m s (giro) deben ser diferentes. Dado que los dos únicos valores posibles para la proyección de espín m s son +1/2 y −1/2, se deduce que un electrón debe tener m s = +1/2 y un m s = -1/2.
Las partículas con espín entero ( bosones ) no están sujetas al principio de exclusión de Pauli. Cualquier número de bosones idénticos puede ocupar el mismo estado cuántico, como los fotones producidos por un láser o los átomos que se encuentran en un condensado de Bose-Einstein .
Una afirmación más rigurosa es: bajo el intercambio de dos partículas idénticas, la función de onda total (muchas partículas) es antisimétrica para los fermiones y simétrica para los bosones. Esto significa que si se intercambian las coordenadas espaciales y de espín de dos partículas idénticas, entonces la función de onda total cambia de signo para los fermiones, pero no cambia de signo para los bosones.
Entonces, si hipotéticamente dos fermiones estuvieran en el mismo estado (por ejemplo, en el mismo átomo en el mismo orbital con el mismo espín), entonces intercambiarlos no cambiaría nada y la función de onda total no cambiaría. Sin embargo, la única forma en que una función de onda total puede cambiar de signo (requerido para los fermiones) y permanecer sin cambios es que dicha función debe ser cero en todas partes, lo que significa que tal estado no puede existir. Este razonamiento no se aplica a los bosones porque el signo no cambia.
El principio de exclusión de Pauli describe el comportamiento de todos los fermiones (partículas con espín semientero ), mientras que los bosones (partículas con espín entero) están sujetos a otros principios. Los fermiones incluyen partículas elementales como quarks , electrones y neutrinos . Además, los bariones como los protones y los neutrones ( partículas subatómicas compuestas de tres quarks) y algunos átomos (como el helio-3 ) son fermiones y, por lo tanto, también se describen mediante el principio de exclusión de Pauli. Los átomos pueden tener un espín general diferente, lo que determina si son fermiones o bosones: por ejemplo, el helio-3 tiene espín 1/2 y, por lo tanto, es un fermión, mientras que el helio-4 tiene espín 0 y es un bosón. [2] : 123-125 El principio de exclusión de Pauli sustenta muchas propiedades de la materia cotidiana, desde su estabilidad a gran escala hasta el comportamiento químico de los átomos .
El giro semientero significa que el valor del momento angular intrínseco de los fermiones es ( constante de Planck reducida ) multiplicado por un semientero (1/2, 3/2, 5/2, etc.). En la teoría de la mecánica cuántica , los fermiones se describen mediante estados antisimétricos . Por el contrario, las partículas con espín entero (bosones) tienen funciones de onda simétricas y pueden compartir los mismos estados cuánticos. Los bosones incluyen el fotón , los pares de Cooper que son responsables de la superconductividad y los bosones W y Z. Los fermiones toman su nombre de la distribución estadística de Fermi-Dirac , a la que obedecen, y los bosones toman el suyo de la distribución de Bose-Einstein .
A principios del siglo XX se hizo evidente que los átomos y las moléculas con un número par de electrones son más estables químicamente que aquellos con un número impar de electrones. En el artículo de 1916 "El átomo y la molécula" de Gilbert N. Lewis , por ejemplo, el tercero de sus seis postulados del comportamiento químico establece que el átomo tiende a retener un número par de electrones en cualquier capa dada, y especialmente a retener ocho electrones, que supuso que normalmente estaban dispuestos simétricamente en las ocho esquinas de un cubo . [3] En 1919, el químico Irving Langmuir sugirió que la tabla periódica podría explicarse si los electrones de un átomo estuvieran conectados o agrupados de alguna manera. Se pensaba que los grupos de electrones ocupaban un conjunto de capas electrónicas alrededor del núcleo. [4] En 1922, Niels Bohr actualizó su modelo del átomo suponiendo que cierto número de electrones (por ejemplo 2, 8 y 18) correspondían a "capas cerradas" estables. [5] : 203
Pauli buscó una explicación para estas cifras, que al principio eran sólo empíricas . Al mismo tiempo intentaba explicar los resultados experimentales del efecto Zeeman en espectroscopia atómica y ferromagnetismo . Encontró una pista esencial en un artículo de 1924 de Edmund C. Stoner , que señalaba que, para un valor dado del número cuántico principal ( n ), el número de niveles de energía de un solo electrón en los espectros del metal alcalino en un exterior El campo magnético, donde se separan todos los niveles de energía degenerados , es igual al número de electrones en la capa cerrada de los gases nobles para el mismo valor de n . Esto llevó a Pauli a darse cuenta de que el complicado número de electrones en capas cerradas se puede reducir a la simple regla de un electrón por estado si los estados de los electrones se definen utilizando cuatro números cuánticos. Para ello introdujo un nuevo número cuántico de dos valores, identificado por Samuel Goudsmit y George Uhlenbeck como espín del electrón . [6] [7]
En su conferencia Nobel, Pauli aclaró la importancia de la simetría de estados cuánticos para el principio de exclusión: [8]
Entre las diferentes clases de simetría, las más importantes (que además para dos partículas son las únicas) son la clase simétrica , en la que la función de onda no cambia su valor cuando se permutan las coordenadas espaciales y de espín de dos partículas, y la clase antisimétrica , en la que para tal permutación la función de onda cambia de signo...[La clase antisimétrica es] la formulación mecánica de ondas correcta y general del principio de exclusión.
El principio de exclusión de Pauli con una función de onda de muchas partículas de un solo valor equivale a exigir que la función de onda sea antisimétrica con respecto al intercambio . Si y abarcan los vectores base del espacio de Hilbert que describen un sistema de una partícula, entonces el producto tensorial produce los vectores base del espacio de Hilbert que describen un sistema de dos de esas partículas. Cualquier estado de dos partículas se puede representar como una superposición (es decir, suma) de estos vectores básicos:
donde cada A ( x , y ) es un coeficiente escalar (complejo). La antisimetría bajo intercambio significa que A ( x , y ) = − A ( y , x ) . Esto implica A ( x , y ) = 0 cuando x = y , que es la exclusión de Pauli. Es cierto en cualquier base, ya que los cambios locales de base mantienen antisimétricas las matrices antisimétricas.
Por el contrario, si las cantidades diagonales A ( x , x ) son cero en cada base , entonces el componente de la función de onda
es necesariamente antisimétrico. Para demostrarlo, considere el elemento de la matriz.
Esto es cero, porque las dos partículas tienen probabilidad cero de estar ambas en el estado de superposición . Pero esto es igual a
El primer y último término son elementos diagonales y son cero, y la suma total es igual a cero. Entonces los elementos de la matriz de función de onda obedecen:
o
Para un sistema con n > 2 partículas, los estados básicos de múltiples partículas se convierten en n productos tensoriales de estados básicos de una partícula, y los coeficientes de la función de onda se identifican mediante n estados de una partícula. La condición de antisimetría establece que los coeficientes deben cambiar de signo siempre que se intercambien dos estados cualesquiera: para cualquiera . El principio de exclusión es la consecuencia de que, si hay alguna, entonces Esto muestra que ninguna de las n partículas puede estar en el mismo estado.
Según el teorema de la estadística de espín , las partículas con espín entero ocupan estados cuánticos simétricos y las partículas con espín semientero ocupan estados antisimétricos; Además, los principios de la mecánica cuántica sólo permiten valores de espín enteros o semienteros. En la teoría cuántica de campos relativista , el principio de Pauli se deriva de la aplicación de un operador de rotación en tiempo imaginario a partículas de espín semientero.
En una dimensión, los bosones, al igual que los fermiones, pueden obedecer el principio de exclusión. Un gas Bose unidimensional con interacciones repulsivas en función delta de fuerza infinita es equivalente a un gas de fermiones libres. La razón de esto es que, en una dimensión, el intercambio de partículas requiere que pasen unas a través de otras; para una repulsión infinitamente fuerte esto no puede suceder. Este modelo se describe mediante una ecuación cuántica de Schrödinger no lineal . En el espacio de momento, el principio de exclusión es válido también para la repulsión finita en un gas de Bose con interacciones de función delta, [9] así como para espines interactivos y el modelo de Hubbard en una dimensión, y para otros modelos que Bethe ansatz puede resolver . El estado fundamental en modelos que Bethe ansatz puede resolver es una esfera de Fermi .
El principio de exclusión de Pauli ayuda a explicar una amplia variedad de fenómenos físicos. Una consecuencia particularmente importante del principio es la elaborada estructura de capas electrónicas de los átomos y la forma en que los átomos comparten electrones, lo que explica la variedad de elementos químicos y sus combinaciones químicas. Un átomo eléctricamente neutro contiene electrones unidos en número igual a los protones en el núcleo . Los electrones, al ser fermiones, no pueden ocupar el mismo estado cuántico que otros electrones, por lo que los electrones tienen que "apilarse" dentro de un átomo, es decir, tener diferentes espines mientras se encuentran en el mismo orbital del electrón, como se describe a continuación.
Un ejemplo es el átomo neutro de helio (He), que tiene dos electrones unidos, los cuales pueden ocupar los estados de menor energía ( 1s ) adquiriendo espín opuesto; como el espín es parte del estado cuántico del electrón, los dos electrones se encuentran en estados cuánticos diferentes y no violan el principio de Pauli. Sin embargo, el giro sólo puede tomar dos valores diferentes ( valores propios ). En un átomo de litio (Li), con tres electrones unidos, el tercer electrón no puede residir en un estado 1s y, en su lugar, debe ocupar un estado de mayor energía. El estado más bajo disponible es 2s , de modo que el estado fundamental de Li es 1s 2 2s . De manera similar, elementos cada vez más grandes deben tener capas de energía cada vez mayor. Las propiedades químicas de un elemento dependen en gran medida de la cantidad de electrones en la capa más externa; Los átomos con diferente número de capas electrónicas ocupadas pero el mismo número de electrones en la capa más externa tienen propiedades similares, lo que da origen a la tabla periódica de los elementos . [10] : 214–218
Para probar el principio de exclusión de Pauli para el átomo de helio, Gordon Drake [11] realizó cálculos muy precisos para estados hipotéticos del átomo de He que lo violan, los llamados estados parónicos . Posteriormente, K. Deilamian et al. [12] utilizaron un espectrómetro de haz atómico para buscar el estado parónico 1s2s 1 S 0 calculado por Drake. La búsqueda no tuvo éxito y mostró que el peso estadístico de este estado parónico tiene un límite superior de5 × 10-6 . (El principio de exclusión implica un peso de cero).
En los conductores y semiconductores hay un gran número de orbitales moleculares que forman efectivamente una estructura de bandas continuas de niveles de energía . En los conductores fuertes ( metales ), los electrones están tan degenerados que ni siquiera pueden contribuir mucho a la capacidad térmica de un metal. [13] : 133–147 Muchas propiedades mecánicas, eléctricas, magnéticas, ópticas y químicas de los sólidos son consecuencia directa de la exclusión de Pauli.
La estabilidad de cada estado electrónico en un átomo se describe en la teoría cuántica del átomo, que muestra que el acercamiento cercano de un electrón al núcleo necesariamente aumenta la energía cinética del electrón, una aplicación del principio de incertidumbre de Heisenberg. [14] Sin embargo, la estabilidad de sistemas grandes con muchos electrones y muchos nucleones es una cuestión diferente y requiere el principio de exclusión de Pauli. [15]
Se ha demostrado que el principio de exclusión de Pauli es responsable del hecho de que la materia a granel ordinaria sea estable y ocupe volumen. Esta sugerencia fue hecha por primera vez en 1931 por Paul Ehrenfest , quien señaló que los electrones de cada átomo no pueden caer todos en el orbital de menor energía y deben ocupar capas sucesivamente más grandes. Por lo tanto, los átomos ocupan un volumen y no pueden estar demasiado juntos. [dieciséis]
La primera prueba rigurosa la proporcionaron en 1967 Freeman Dyson y Andrew Lenard (de), quienes consideraron el equilibrio de las fuerzas atractivas (electrón-nuclear) y repulsivas (electrón-electrón y nuclear-nuclear) y demostraron que la materia ordinaria colapsaría y ocuparía un volumen mucho más pequeño sin el principio de Pauli. [17] [18] Elliott H. Lieb y Walter Thirring encontraron más tarde una prueba mucho más simple en 1975. Proporcionaron un límite inferior para la energía cuántica en términos del modelo de Thomas-Fermi , que es estable debido a un teorema de Cajero . La prueba utilizó un límite inferior de la energía cinética que ahora se llama desigualdad de Lieb-Thirring .
La consecuencia del principio de Pauli aquí es que los electrones del mismo espín se mantienen separados mediante una interacción de intercambio repulsivo , que es un efecto de corto alcance, que actúa simultáneamente con la fuerza electrostática o de Coulomb de largo alcance . Este efecto es en parte responsable de la observación cotidiana en el mundo macroscópico de que dos objetos sólidos no pueden estar en el mismo lugar al mismo tiempo.
Dyson y Lenard no consideraron las fuerzas magnéticas o gravitacionales extremas que ocurren en algunos objetos astronómicos . En 1995, Elliott Lieb y sus colaboradores demostraron que el principio de Pauli todavía conduce a la estabilidad en campos magnéticos intensos como en las estrellas de neutrones , aunque a una densidad mucho mayor que en la materia ordinaria. [19] Es una consecuencia de la relatividad general que, en campos gravitacionales suficientemente intensos, la materia colapsa para formar un agujero negro .
La astronomía ofrece una demostración espectacular del efecto del principio de Pauli, en forma de enanas blancas y estrellas de neutrones . En ambos cuerpos, la estructura atómica se ve alterada por una presión extrema, pero las estrellas se mantienen en equilibrio hidrostático por la presión de degeneración , también conocida como presión de Fermi. Esta forma exótica de materia se conoce como materia degenerada . La inmensa fuerza gravitacional de la masa de una estrella normalmente se mantiene en equilibrio mediante la presión térmica causada por el calor producido en la fusión termonuclear en el núcleo de la estrella. En las enanas blancas, que no sufren fusión nuclear, la presión de degeneración de electrones proporciona una fuerza opuesta a la gravedad . En las estrellas de neutrones , sometidas a fuerzas gravitacionales aún más fuertes, los electrones se han fusionado con los protones para formar neutrones. Los neutrones son capaces de producir una presión de degeneración aún mayor, la presión de degeneración de neutrones , aunque en un rango más corto. Esto puede estabilizar las estrellas de neutrones para que no colapsen más, pero con un tamaño más pequeño y una densidad más alta que una enana blanca. Las estrellas de neutrones son los objetos más "rígidos" que se conocen; su módulo de Young (o más exactamente, módulo de masa ) es 20 órdenes de magnitud mayor que el del diamante . Sin embargo, incluso esta enorme rigidez puede ser superada por el campo gravitacional de una estrella de neutrones con una masa que excede el límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff , lo que lleva a la formación de un agujero negro . [20] : 286–287
