Fermi-Dirac estadísticas

Descripción estadística del comportamiento de los fermiones.

La estadística de Fermi-Dirac es un tipo de estadística cuántica que se aplica a la física de un sistema que consta de muchas partículas idénticas que no interactúan y que obedecen al principio de exclusión de Pauli . Un resultado es la distribución de partículas de Fermi-Dirac sobre estados de energía . Lleva el nombre de Enrico Fermi y Paul Dirac , cada uno de los cuales derivó la distribución de forma independiente en 1926. ^{[1] [2]} La estadística de Fermi-Dirac es parte del campo de la mecánica estadística y utiliza los principios de la mecánica cuántica .

La estadística de Fermi-Dirac se aplica a partículas idénticas e indistinguibles con espín semientero (1/2, 3/2, etc.), llamadas fermiones , en equilibrio termodinámico . Para el caso de interacción insignificante entre partículas, el sistema puede describirse en términos de estados de energía de una sola partícula . Un resultado es la distribución de partículas de Fermi-Dirac en estos estados donde no hay dos partículas que puedan ocupar el mismo estado, lo que tiene un efecto considerable en las propiedades del sistema. La estadística de Fermi-Dirac se aplica más comúnmente a los electrones , un tipo de fermión con espín 1/2 .

Una contraparte de la estadística de Fermi-Dirac es la estadística de Bose-Einstein , que se aplica a partículas idénticas e indistinguibles con espín entero (0, 1, 2, etc.) llamadas bosones . En física clásica, la estadística de Maxwell-Boltzmann se utiliza para describir partículas que son idénticas y se tratan como distinguibles. Tanto para las estadísticas de Bose-Einstein como para las de Maxwell-Boltzmann, más de una partícula puede ocupar el mismo estado, a diferencia de las estadísticas de Fermi-Dirac.

Comparación de la ocupación media del estado del suelo para tres estadísticas

Historia

Antes de la introducción de las estadísticas de Fermi-Dirac en 1926, comprender algunos aspectos del comportamiento de los electrones era difícil debido a fenómenos aparentemente contradictorios. Por ejemplo, la capacidad calorífica electrónica de un metal a temperatura ambiente parecía provenir de 100 veces menos electrones que los que había en la corriente eléctrica . ^[3] También era difícil entender por qué las corrientes de emisión generadas al aplicar campos eléctricos elevados a los metales a temperatura ambiente eran casi independientes de la temperatura.

La dificultad que encontró el modelo Drude , la teoría electrónica de los metales en aquel momento, se debió a considerar que los electrones eran (según la teoría estadística clásica) todos equivalentes. En otras palabras, se creía que cada electrón contribuía al calor específico en una cantidad del orden de la constante de Boltzmann  k _B . Este problema permaneció sin resolver hasta el desarrollo de las estadísticas de Fermi-Dirac.

La estadística de Fermi-Dirac fue publicada por primera vez en 1926 por Enrico Fermi ^[1] y Paul Dirac . ^[2] Según Max Born , Pascual Jordán desarrolló en 1925 la misma estadística, a la que llamó estadística de Pauli , pero no fue publicada oportunamente. ^{[4] [5] [6]} Según Dirac, fue estudiado por primera vez por Fermi, y Dirac lo llamó "estadísticas de Fermi" y las partículas correspondientes "fermiones". ^[7]

La estadística de Fermi-Dirac fue aplicada en 1926 por Ralph Fowler para describir el colapso de una estrella hasta convertirse en una enana blanca . ^[8] En 1927, Arnold Sommerfeld lo aplicó a los electrones de los metales y desarrolló el modelo de electrones libres , ^[9] y en 1928 Fowler y Lothar Nordheim lo aplicaron a la emisión de electrones de campo de los metales. ^[10] La estadística de Fermi-Dirac sigue siendo una parte importante de la física.

Distribución de Fermi-Dirac

Para un sistema de fermiones idénticos en equilibrio termodinámico, el número promedio de fermiones en un estado de partícula única i viene dado por la distribución de Fermi-Dirac (F-D) , ^{[11] [nb 1]}

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}},}$

donde k _B es la constante de Boltzmann , T es la temperatura absoluta , ε _i es la energía del estado de una sola partícula i y μ es el potencial químico total . La distribución está normalizada por la condición.

${\displaystyle \sum _{i}{\bar {n}}_{i}=N}$

que se puede utilizar para expresar que puede asumir un valor positivo o negativo. ^[12] ${\displaystyle \mu =\mu (T,N)}$ ${\displaystyle \mu }$

A temperatura absoluta cero, μ es igual a la energía de Fermi más la energía potencial por fermión, siempre que esté en una vecindad de densidad espectral positiva. En el caso de una brecha espectral, como en el caso de los electrones en un semiconductor, μ , el punto de simetría, generalmente se denomina nivel de Fermi o, para los electrones, potencial electroquímico , y estará ubicado en el medio de la brecha. ^{[13] [14]}

La distribución de Fermi-Dirac solo es válida si el número de fermiones en el sistema es lo suficientemente grande como para que agregar un fermión más al sistema tenga un efecto insignificante en μ . ^[15] Dado que la distribución de Fermi-Dirac se derivó utilizando el principio de exclusión de Pauli , que permite que como máximo un fermión ocupe cada estado posible, el resultado es que . ^{[nota 2]} ${\displaystyle 0<{\bar {n}}_{i}<1}$

• Distribución de Fermi-Dirac
• 
  Dependencia energética. Más gradual a mayor T. cuando . Lo que no se muestra es que disminuye para mayor T. ^[dieciséis] ${\displaystyle {\bar {n}}=0.5}$ ${\displaystyle \varepsilon =\mu }$ ${\displaystyle \mu }$
• 
  Dependencia de la temperatura para . ${\displaystyle \varepsilon >\mu }$

La varianza del número de partículas en el estado i se puede calcular a partir de la expresión anterior para , ^{[17] [18]} ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle V(n_{i})=k_{\rm {B}}T{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\bar {n}}_{i}={\bar {n}}_{i}(1-{\bar {n}}_{i}).}$

Distribución de partículas sobre la energía.

Función de Fermi con μ = 0,55 eV para varias temperaturas en el rango 50 K ≤ T ≤ 375 K ${\displaystyle F(\varepsilon )}$

A partir de la distribución de Fermi-Dirac de partículas sobre estados, se puede encontrar la distribución de partículas sobre energía. ^{[nb 3]} El número promedio de fermiones con energía se puede encontrar multiplicando la distribución de Fermi-Dirac por la degeneración (es decir, el número de estados con energía ), ^[19] ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}(\varepsilon _{i})&=g_{i}{\bar {n}}_{i}\\&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.\end{aligned}}}$

Cuando , es posible que , ya que existe más de un estado que puede ser ocupado por fermiones con la misma energía . ${\displaystyle g_{i}\geq 2}$ ${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon _{i})>1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

Cuando un cuasi continuo de energías tiene una densidad de estados asociada (es decir, el número de estados por unidad de rango de energía por unidad de volumen ^[20] ), el número promedio de fermiones por unidad de rango de energía por unidad de volumen es ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle g(\varepsilon )}$

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )=g(\varepsilon )F(\varepsilon ),}$

donde se llama función de Fermi y es la misma función que se utiliza para la distribución de Fermi-Dirac , ^[21] ${\displaystyle F(\varepsilon )}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle F(\varepsilon )={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}},}$

de modo que

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )={\frac {g(\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.}$

Regímenes cuánticos y clásicos.

La distribución de Fermi-Dirac se acerca a la distribución de Maxwell-Boltzmann en el límite de alta temperatura y baja densidad de partículas, sin necesidad de realizar suposiciones ad hoc:

• En el límite de baja densidad de partículas, por lo tanto o de manera equivalente . En ese caso, , que es el resultado de la estadística de Maxwell-Boltzmann. ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1\gg 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}\gg 1}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\approx {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}}}={\frac {N}{Z}}e^{-\varepsilon _{i}/k_{\rm {B}}T}}$
• En el límite de alta temperatura, las partículas se distribuyen en un amplio rango de valores de energía, por lo que la ocupación en cada estado (especialmente los de alta energía con ) es nuevamente muy pequeña . Esto nuevamente se reduce a las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. ${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$

El régimen clásico, donde las estadísticas de Maxwell-Boltzmann pueden usarse como una aproximación a las estadísticas de Fermi-Dirac, se encuentra considerando la situación que está lejos del límite impuesto por el principio de incertidumbre de Heisenberg para la posición y el momento de una partícula . Por ejemplo, en física de semiconductores, cuando la densidad de estados de la banda de conducción es mucho mayor que la concentración de dopaje, la brecha de energía entre la banda de conducción y el nivel de Fermi podría calcularse utilizando la estadística de Maxwell-Boltzmann. De lo contrario, si la concentración de dopaje no es despreciable en comparación con la densidad de los estados de la banda de conducción, se debe utilizar la distribución de Fermi-Dirac para un cálculo preciso. Entonces se puede demostrar que prevalece la situación clásica cuando la concentración de partículas corresponde a una separación promedio entre partículas que es mucho mayor que la longitud de onda promedio de De Broglie de las partículas: ^[22] ${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

${\displaystyle {\bar {R}}\gg {\bar {\lambda }}\approx {\frac {h}{\sqrt {3mk_{\rm {B}}T}}},}$

donde h es la constante de Planck y m es la masa de una partícula .

Para el caso de electrones de conducción en un metal típico a T = 300  K (es decir, aproximadamente a temperatura ambiente), el sistema está lejos del régimen clásico porque . Esto se debe a la pequeña masa del electrón y a la alta concentración (es decir, pequeña ) de electrones de conducción en el metal. Por tanto, se necesita la estadística de Fermi-Dirac para los electrones de conducción en un metal típico. ^[22] ${\displaystyle {\bar {R}}\approx {\bar {\lambda }}/25}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$

Otro ejemplo de un sistema que no está en el régimen clásico es el sistema que consta de los electrones de una estrella que ha colapsado hasta convertirse en una enana blanca. Aunque la temperatura de la enana blanca es alta (normalmente T =10 000  K en su superficie ^[23] ), su alta concentración de electrones y la pequeña masa de cada electrón impiden el uso de una aproximación clásica, y nuevamente se requiere la estadística de Fermi-Dirac. ^[8]

Derivaciones

Gran conjunto canónico

La distribución de Fermi-Dirac, que se aplica sólo a un sistema cuántico de fermiones que no interactúan, se deriva fácilmente del gran conjunto canónico . ^[24] En este conjunto, el sistema es capaz de intercambiar energía e intercambiar partículas con un depósito (temperatura T y potencial químico μ fijado por el depósito).

Debido a la calidad de no interacción, cada nivel de partícula individual disponible (con nivel de energía ϵ ) forma un sistema termodinámico separado en contacto con el depósito. En otras palabras, cada nivel de una sola partícula es un pequeño y gran conjunto canónico separado. Según el principio de exclusión de Pauli, sólo hay dos microestados posibles para el nivel de una sola partícula: ninguna partícula (energía E = 0) o una partícula (energía E = ε ). Por lo tanto, la función de partición resultante para ese nivel de una sola partícula tiene solo dos términos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\exp {\big (}0(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}+\exp {\big (}1(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}\\&=1+\exp {\big (}(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )},\end{aligned}}}$

y el número promedio de partículas para ese subestado a nivel de partícula única está dado por

${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\rm {B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp {\big (}(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T{\big )}+1}}.}$

Este resultado se aplica para cada nivel de partícula individual y, por lo tanto, proporciona la distribución de Fermi-Dirac para todo el estado del sistema. ^[24]

También se puede derivar la variación en el número de partículas (debido a fluctuaciones térmicas ) (el número de partículas tiene una distribución de Bernoulli simple ):

${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }=k_{\rm {B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}=\langle N\rangle {\big (}1-\langle N\rangle {\big )}.}$

Esta cantidad es importante en fenómenos de transporte como las relaciones de Mott para la conductividad eléctrica y el coeficiente termoeléctrico para un gas de electrones, ^[25] donde la capacidad de un nivel de energía para contribuir a los fenómenos de transporte es proporcional a . ${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }}$

conjunto canónico

También es posible derivar estadísticas de Fermi-Dirac en el conjunto canónico . Considere un sistema de muchas partículas compuesto por N fermiones idénticos que tienen una interacción mutua insignificante y están en equilibrio térmico. ^[15] Dado que la interacción entre los fermiones es insignificante, la energía de un estado del sistema de muchas partículas se puede expresar como una suma de energías de una sola partícula, ${\displaystyle E_{R}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle E_{R}=\sum _{r}n_{r}\varepsilon _{r}}$

donde se llama número de ocupación y es el número de partículas en el estado de partícula única con energía . La suma es sobre todos los estados posibles de una sola partícula . ${\displaystyle n_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle r}$

La probabilidad de que el sistema de muchas partículas esté en el estado está dada por la distribución canónica normalizada , ^[26] ${\displaystyle R}$

${\displaystyle P_{R}={\frac {e^{-\beta E_{R}}}{\displaystyle \sum _{R'}e^{-\beta E_{R'}}}}}$

donde , e se llama factor de Boltzmann y la suma se realiza sobre todos los estados posibles del sistema de muchas partículas. El valor medio de un número de ocupación es ^[26] ${\displaystyle \beta =1/k_{\rm {B}}T}$ ^{${\displaystyle \scriptstyle -\beta E_{R}}$} ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle n_{i}\;}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\ =\ \sum _{R}n_{i}\ P_{R}}$

Tenga en cuenta que el estado del sistema de muchas partículas puede especificarse mediante la ocupación de partículas de los estados de una sola partícula, es decir, especificando que ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n_{1},\,n_{2},\,\ldots \;,}$

${\displaystyle P_{R}=P_{n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{{n_{1}}',{n_{2}}',\ldots }e^{-\beta ({n_{1}}'\varepsilon _{1}+{n_{2}}'\varepsilon _{2}+\cdots )}}}}$

y la ecuación para se convierte ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\bar {n}}_{i}&=\sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ P_{n_{1},n_{2},\dots }\\\\&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}}\\\end{alignedat}}}$

donde la suma es sobre todas las combinaciones de valores que obedecen al principio de exclusión de Pauli, y = 0 o 1 para cada uno . Además, cada combinación de valores de satisface la restricción de que el número total de partículas es , ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$ ${\displaystyle n_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{r}n_{r}=N.}$

Reordenando las sumatorias,

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\quad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\qquad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}}}$

donde el signo de suma indica que la suma no ha terminado y está sujeta a la restricción de que el número total de partículas asociadas con la suma sea . Tenga en cuenta que todavía depende de la restricción, ya que en un caso y se evalúa con mientras que en el otro caso y se evalúa con  Para simplificar la notación e indicar claramente que todavía depende de través  , defina ${\displaystyle ^{(i)}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}=N-n_{i}}$ ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}=0}$ ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$ ${\displaystyle N_{i}=N,}$ ${\displaystyle n_{i}=1}$ ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$ ${\displaystyle N_{i}=N-1.}$ ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle N-n_{i}}$

${\displaystyle Z_{i}(N-n_{i})\equiv \ \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\ldots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}\;}$

de modo que la expresión anterior para pueda reescribirse y evaluarse en términos de , ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle Z_{i}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\bar {n}}_{i}\ &={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\ \ Z_{i}(N-n_{i})}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\qquad Z_{i}(N-n_{i})}}\\[8pt]&=\ {\frac {\quad 0\quad \;+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}}\\[6pt]&=\ {\frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)]\;e^{\beta \varepsilon _{i}}+1}}\quad .\end{alignedat}}}$

Se utilizará la siguiente aproximación ^[27] para encontrar una expresión que sustituya a . ${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\ln Z_{i}(N-1)&\simeq \ln Z_{i}(N)-{\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\\&=\ln Z_{i}(N)-\alpha _{i}\;\end{alignedat}}}$

dónde ${\displaystyle \alpha _{i}\equiv {\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\ .}$

Si el número de partículas es lo suficientemente grande como para que el cambio en el potencial químico sea muy pequeño cuando se agrega una partícula al sistema, entonces ^[28]   Tomando la base e antilog ^[29] de ambos lados, sustituyendo y reorganizando, ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu \;}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\simeq -\mu /k_{\rm {B}}T\ .}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\,}$

${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-\mu /k_{\rm {B}}T}.}$

Sustituyendo lo anterior en la ecuación para y usando una definición previa de para sustituir , se obtiene la distribución de Fermi-Dirac. ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle \beta \;}$ ${\displaystyle 1/k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle \beta \;}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}=\ {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}}$

Al igual que la distribución de Maxwell-Boltzmann y la distribución de Bose-Einstein, la distribución de Fermi-Dirac también se puede derivar mediante el método de valores medios de Darwin-Fowler . ^[30]

Conjunto microcanónico

Se puede lograr un resultado analizando directamente las multiplicidades del sistema y utilizando multiplicadores de Lagrange . ^[31]

Supongamos que tenemos varios niveles de energía, etiquetados por el índice i , cada nivel tiene energía ε _i   y contiene un total de n _i   partículas. Supongamos que cada nivel contiene g _i   subniveles distintos, todos los cuales tienen la misma energía y son distinguibles. Por ejemplo, dos partículas pueden tener momentos diferentes (es decir, sus momentos pueden estar en direcciones diferentes), en cuyo caso se distinguen entre sí, pero aun así pueden tener la misma energía. El valor de g _i   asociado con el nivel i se llama "degeneración" de ese nivel de energía. El principio de exclusión de Pauli establece que sólo un fermión puede ocupar dicho subnivel.

El número de formas de distribuir n _i partículas indistinguibles entre los g _i subniveles de un nivel de energía, con un máximo de una partícula por subnivel, viene dado por el coeficiente binomial , utilizando su interpretación combinatoria.

${\displaystyle w(n_{i},g_{i})={\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}\ .}$

Por ejemplo, distribuir dos partículas en tres subniveles dará números de población de 110, 101 o 011 para un total de tres formas, lo que equivale a 3!/(2!1!).

El número de formas en que se puede realizar un conjunto de números de ocupación n _{i es el producto de las formas en que se puede completar cada nivel de energía individual:}

${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$

Siguiendo el mismo procedimiento utilizado para derivar la estadística de Maxwell-Boltzmann , deseamos encontrar el conjunto de n _i para el cual W se maximiza, sujeto a la restricción de que haya un número fijo de partículas y una energía fija. Restringimos nuestra solución usando multiplicadores de Lagrange formando la función:

${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right).}$

Usando la aproximación de Stirling para los factoriales, tomando la derivada con respecto a n _i , estableciendo el resultado en cero y resolviendo para n _i se obtienen los números de población de Fermi-Dirac:

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}+1}}.}$

Mediante un proceso similar al descrito en el artículo de estadística de Maxwell-Boltzmann , se puede demostrar termodinámicamente que y , de modo que finalmente, la probabilidad de que un estado esté ocupado es: ${\textstyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}$ ${\textstyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\rm {B}}T}}}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.}$

Ver también

• Gran conjunto canónico
• principio de exclusión de Pauli
• Integral completa de Fermi-Dirac
• nivel de fermi
• gas fermi
• Maxwell-Boltzmann estadísticas
• Estadísticas de Bose-Einstein
• Paraestadística
• Función logística

Notas

1. La Distribución FD es un tipo de función matemática llamada función logística o función sigmoidea .
2. Tenga en cuenta que también es la probabilidad de que el estado esté ocupado, ya que no más de un fermión puede ocupar el mismo estado al mismo tiempo y . ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0<{\bar {n}}_{i}<1}$
3. Estas distribuciones de energías, en lugar de estados, a veces también se denominan distribución de Fermi-Dirac, pero esa terminología no se utilizará en este artículo.

Referencias

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Otras lecturas

• Reif, F. (1965). Fundamentos de Física Estadística y Térmica . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-051800-1.
• Blakemore, JS (2002). Estadísticas de semiconductores. Dover. ISBN 978-0-486-49502-6.
• Kittel, Charles (1971). Introducción a la Física del Estado Sólido (4ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-14286-7. OCLC  300039591.