Modelo cuántico de Heisenberg

Modelo estadístico en mecánica cuántica de materiales magnéticos.

El modelo cuántico de Heisenberg , desarrollado por Werner Heisenberg , es un modelo mecánico estadístico utilizado en el estudio de puntos críticos y transiciones de fase de sistemas magnéticos, en el que los espines de los sistemas magnéticos se tratan mecánicamente cuánticamente . Está relacionado con el modelo prototípico de Ising , donde en cada sitio de una red, un espín representa un dipolo magnético microscópico en el que el momento magnético es hacia arriba o hacia abajo. Excepto el acoplamiento entre momentos dipolares magnéticos, también existe una versión multipolar del modelo de Heisenberg llamada interacción de intercambio multipolar . ${\displaystyle \sigma _{i}\in \{\pm 1\}}$

Descripción general

Por razones de mecánica cuántica (ver interacción de intercambio o Magnetismo § Origen mecánico-cuántico del magnetismo ), el acoplamiento dominante entre dos dipolos puede hacer que los vecinos más cercanos tengan la energía más baja cuando están alineados . Bajo este supuesto (de modo que las interacciones magnéticas sólo ocurren entre dipolos adyacentes) y en una red periódica unidimensional, el hamiltoniano se puede escribir en la forma

${\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}\sigma _{j+1}-h\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}}$,

donde es la constante de acoplamiento y los dipolos están representados por vectores clásicos (o "espines") σ _j , sujetos a la condición de frontera periódica . El modelo de Heisenberg es un modelo más realista porque trata los espines mecánicamente cuánticamente, reemplazando el espín por un operador cuántico que actúa sobre el producto tensorial de dimensión . Para definirlo, recordemos las matrices spin-1/2 de Pauli. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \sigma _{N+1}=\sigma _{1}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}}$ ${\displaystyle 2^{N}}$

${\displaystyle \sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle \sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle \sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$,

y para y denotamos , donde está la matriz identidad. Dada una selección de constantes de acoplamiento de valor real y , el hamiltoniano viene dado por ${\displaystyle 1\leq j\leq N}$ ${\displaystyle a\in \{x,y,z\}}$ ${\displaystyle \sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle J_{x},J_{y},}$ ${\displaystyle J_{z}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N}(J_{x}\sigma _{j}^{x}\sigma _{j+1}^{x}+J_{y}\sigma _{j}^{y}\sigma _{j+1}^{y}+J_{z}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}+h\sigma _{j}^{z})}$

donde en el lado derecho indica el campo magnético externo , con condiciones de contorno periódicas . El objetivo es determinar el espectro del Hamiltoniano, a partir del cual se puede calcular la función de partición y estudiar la termodinámica del sistema. ${\displaystyle h}$

Es común nombrar el modelo dependiendo de los valores de , y : si , el modelo se llama modelo Heisenberg XYZ; en el caso de , se trata del modelo Heisenberg XXZ; Si , es el modelo Heisenberg XXX. El modelo de Heisenberg de espín 1/2 en una dimensión se puede resolver exactamente utilizando el método de Bethe ansatz . ^[1] En la formulación algebraica, estos están relacionados con álgebras cuánticas afines particulares y grupos cuánticos elípticos en los casos XXZ y XYZ respectivamente. ^[2] Otros enfoques lo hacen sin Bethe ansatz. ^[3] ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{x}\neq J_{y}\neq J_{z}}$ ${\displaystyle J=J_{x}=J_{y}\neq J_{z}=\Delta }$ ${\displaystyle J_{x}=J_{y}=J_{z}=J}$

modelo xxx

La física del modelo XXX de Heisenberg depende en gran medida del signo de la constante de acoplamiento y de la dimensión del espacio. Lo positivo es que el estado fundamental siempre es ferromagnético . En negativo, el estado fundamental es antiferromagnético en dos y tres dimensiones. ^[4] En una dimensión, la naturaleza de las correlaciones en el modelo antiferromagnético de Heisenberg depende del giro de los dipolos magnéticos. Si el giro es un número entero, entonces solo está presente un orden de corto alcance . Un sistema de espines semienteros exhibe un orden de rango casi largo. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$

Una versión simplificada del modelo de Heisenberg es el modelo de Ising unidimensional, donde el campo magnético transversal está en la dirección x y la interacción es solo en la dirección z :

${\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}-gJ\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{x}}$.

En g pequeño y grande , la degeneración del estado fundamental es diferente, lo que implica que debe haber una transición de fase cuántica en el medio. Se puede resolver exactamente para el punto crítico mediante el análisis de dualidad. ^[5] La transición de dualidad de las matrices de Pauli es y , donde y también son matrices de Pauli que obedecen al álgebra de matrices de Pauli. En condiciones de frontera periódicas, se puede demostrar que el hamiltoniano transformado tiene una forma muy similar: ${\textstyle \sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{x}=S_{i}^{z}S_{i+1}^{z}}$ ${\displaystyle S^{x}}$ ${\displaystyle S^{z}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-gJ\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{z}S_{j+1}^{z}-J\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{x}}$

pero para el término de interacción adjunto al espín. Suponiendo que solo hay un punto crítico, podemos concluir que la transición de fase ocurre en . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=1}$

Solución de Bethe ansatz

modelo XXX 1/2

Siguiendo el enfoque de Ludwig Faddeev  (1996), el espectro del hamiltoniano para el modelo XXX

$${\displaystyle H={\frac {1}{4}}\sum _{\alpha ,n}(\sigma _{n}^{\alpha }\sigma _{n+1}^{\alpha }-1)}$$

vector de Bethe ${\displaystyle B(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigotimes _{n=1}^{N}h_{n}}$ ${\displaystyle h_{n}\cong \mathbb {C} ^{2}}$

$${\displaystyle \Phi (\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{m})=B(\lambda _{1})\cdots B(\lambda _{m})v_{0}}$$

ecuación de Bethe ${\displaystyle v_{0}=\bigotimes _{n=1}^{N}|\uparrow \,\rangle }$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$

$${\displaystyle \left({\frac {\lambda _{k}+i/2}{\lambda _{k}-i/2}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{j}+i}{\lambda _{k}-\lambda _{j}-i}},}$$

${\displaystyle H}$ ${\displaystyle -\sum _{k}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\lambda _{k}^{2}+1/4}}}$

La familia , así como otras tres familias, provienen de una matriz de transferencia (a su vez definida usando una matriz Lax ), que actúa junto con un espacio auxiliar , y puede escribirse como una matriz de bloques con entradas en , ${\displaystyle B(\lambda )}$ ${\displaystyle T(\lambda )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle h_{a}\cong \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathrm {End} ({\mathcal {H}})}$

$${\displaystyle T(\lambda )={\begin{pmatrix}A(\lambda )&B(\lambda )\\C(\lambda )&D(\lambda )\end{pmatrix}},}$$

relaciones de conmutaciónecuación de Yang-Baxterfunción generadorapolinomio ${\displaystyle F(\lambda )=\mathrm {tr} _{a}(T(\lambda ))=A(\lambda )+D(\lambda )}$ ${\displaystyle [F(\lambda ),F(\mu )]=0}$ ${\displaystyle F(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle H}$

modelo xxx​

Para giros más altos, digamos spin , reemplácelo con la representación proveniente del álgebra de Lie del álgebra de Lie , de dimensión . El hamiltoniano _{del XXX} ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$ ${\displaystyle S^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 2s+1}$

$${\displaystyle H=\sum _{\alpha ,n}(S_{n}^{\alpha }S_{n+1}^{\alpha }-(S_{n}^{\alpha }S_{n+1}^{\alpha })^{2})}$$

$${\displaystyle \left({\frac {\lambda _{k}+is}{\lambda _{k}-is}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{j}+i}{\lambda _{k}-\lambda _{j}-i}}.}$$

modelo XXZ​

Para el giro y un parámetro para la deformación del modelo XXX, la BAE (ecuación de Bethe ansatz) es ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \left({\frac {\sinh(\lambda _{k}+is\gamma )}{\sinh(\lambda _{k}-is\gamma )}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\sinh(\lambda _{k}-\lambda _{j}+i\gamma )}{\sinh(\lambda _{k}-\lambda _{j}-i\gamma )}}.}$$

modelo de seis vérticesde anisotropía^{[6] [7][8]} ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \gamma =2\eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle T(\nu )}$

$${\displaystyle H_{XXZ_{1/2}}=-i\sin 2\eta {\frac {d}{d\nu }}\log T(\nu ){\Big |}_{\nu =-i\eta }-{\frac {1}{2}}\cos 2\eta 1^{\otimes N}.}$$

Aplicaciones

• Otro objeto importante es la entropía de entrelazamiento . Una forma de describirlo es subdividir el estado fundamental único en un bloque (varios giros secuenciales) y el entorno (el resto del estado fundamental). La entropía del bloque puede considerarse como entropía de entrelazamiento. A temperatura cero en la región crítica (límite termodinámico), escala logarítmicamente con el tamaño del bloque. A medida que aumenta la temperatura, la dependencia logarítmica cambia a una función lineal. ^[9] Para temperaturas elevadas, la dependencia lineal se deriva de la segunda ley de la termodinámica .
• El modelo de Heisenberg proporciona un ejemplo teórico importante y manejable para aplicar la renormalización de la matriz de densidad .
• El modelo de seis vértices se puede resolver utilizando el método algebraico Bethe ansatz para la cadena de espín de Heisenberg (Baxter 1982).
• El modelo de Hubbard medio lleno en el límite de interacciones repulsivas fuertes se puede mapear en un modelo de Heisenberg que representa la fuerza de la interacción de superintercambio . ${\displaystyle J<0}$
• Los límites del modelo a medida que el espaciado de la red se envía a cero (y se toman varios límites para las variables que aparecen en la teoría) describen teorías de campos integrables, tanto no relativistas, como la ecuación no lineal de Schrödinger , como relativistas, como el modelo sigma . el modelo sigma (que también es un modelo quiral principal ) y el modelo seno-Gordon . ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}}$
• Calcular ciertas funciones de correlación en el límite plano o grande de N = 4 teoría supersimétrica de Yang-Mills ^[10] ${\displaystyle N}$

simetría extendida

La integrabilidad está respaldada por la existencia de grandes álgebras de simetría para los diferentes modelos. Para el caso XXX este es el Yangiano , mientras que en el caso XXZ este es el grupo cuántico , la deformación q del álgebra de Lie afín de , como se explica en las notas de Faddeev (1996). ${\displaystyle Y({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle {\hat {{\mathfrak {sl}}_{q}(2)}}}$ ${\displaystyle {\hat {{\mathfrak {sl}}_{2}}}}$

Estos aparecen a través de la matriz de transferencia, y la condición de que los vectores Bethe se generen a partir de un estado que satisfaga corresponde a que las soluciones formen parte de una representación de mayor peso de las álgebras de simetría extendida. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C(\lambda )\cdot \Omega =0}$

Ver también

• Modelo clásico de Heisenberg
• DMRG del modelo Heisenberg
• Modelo de rotor cuántico
• modelo tJ
• Modelo J1 J2
• Modelo Majumdar-Ghosh
• modelo AKLT
• Interacción de intercambio multipolar

Referencias

• RJ Baxter, Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística , Londres, Academic Press, 1982
• Heisenberg, W. (1 de septiembre de 1928). "Zur Theorie des Ferromagnetismus" [Sobre la teoría del ferromagnetismo]. Zeitschrift für Physik (en alemán). 49 (9): 619–636. Código Bib : 1928ZPhy...49..619H. doi :10.1007/BF01328601. S2CID  122524239.
• Bethe, H. (1 de marzo de 1931). "Zur Theorie der Metalle" [Sobre la teoría de los metales]. Zeitschrift für Physik (en alemán). 71 (3): 205–226. Código bibliográfico : 1931ZPhy...71..205B. doi :10.1007/BF01341708. S2CID  124225487.

Notas

1. Bonechi, F; Celeghini, E; Giachetti, R; Sorace, E; Tarlini, M (7 de agosto de 1992). "Modelo Heisenberg XXZ y grupo cuántico Galilei". Revista de Física A: Matemática y General . 25 (15): L939–L943. arXiv : hep-th/9204054 . Código Bib : 1992JPhA...25L.939B. doi :10.1088/0305-4470/25/15/007. S2CID  119046025.
2. Faddeev, LD (26 de mayo de 1996). "Cómo funciona el algebraico Bethe Ansatz para un modelo integrable". arXiv : hep-th/9605187v1 .
3. Rojas, Onofre; Souza, SM de; Correa Silva, EV; Thomaz, MT (diciembre de 2001). "Termodinámica de los casos límite del modelo XXZ sin Bethe ansatz". Revista Brasileña de Física . 31 (4): 577–582. Código Bib : 2001BrJPh..31..577R. doi : 10.1590/s0103-97332001000400008 .
4. Tom Kennedy; Bruno Nachtergaele. "El modelo de Heisenberg: una bibliografía" . Consultado el 6 de junio de 2019 .
5. Pescador, Matthew PA (2004). "Dualidad en teorías de campos cuánticos de baja dimensión". Interacciones fuertes en dimensiones bajas . Física y Química de Materiales de Bajas Dimensiones. vol. 25. págs. 419–438. doi :10.1007/978-1-4020-3463-3_13. ISBN 978-1-4020-1798-8.
6. Lieb, Elliott H. (24 de abril de 1967). "Solución exacta del problema de la entropía del hielo bidimensional". Cartas de revisión física . 18 (17): 692–694. Código bibliográfico : 1967PhRvL..18..692L. doi : 10.1103/PhysRevLett.18.692.
7. Dorey, Patricio; Dunning, Clara; Tateo, Roberto (10 de agosto de 2007). "La correspondencia ODE/IM". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 40 (32): R205–R283. doi :10.1088/1751-8113/40/32/R01. ISSN  1751-8113. S2CID  14281617.
8. Baxter, Rodney J (1 de abril de 1972). "Cadena de Heisenberg anisotrópica unidimensional". Anales de Física . 70 (2): 323–337. Código bibliográfico : 1972AnPhy..70..323B. doi :10.1016/0003-4916(72)90270-9. ISSN  0003-4916.
9. Korepin, VE (5 de marzo de 2004). "Universalidad del escalamiento de entropía en modelos unidimensionales sin espacios". Cartas de revisión física . 92 (9): 096402. arXiv : cond-mat/0311056 . Código bibliográfico : 2004PhRvL..92i6402K. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.096402. PMID  15089496. S2CID  20620724.
10. Beisert, Niklas (1 de diciembre de 2004). "El operador de dilatación de la integrabilidad y la teoría de N = 4 super Yang-Mills". Informes de Física . 405 (1): 1–202. arXiv : hep-th/0407277 . Código Bib : 2004PhR...405....1B. doi :10.1016/j.physrep.2004.09.007. S2CID  118949332.