El modelo Majumdar-Ghosh es un modelo cuántico de espín de Heisenberg unidimensional en el que la interacción de intercambio antiferromagnético del vecino más cercano es dos veces más fuerte que la interacción del vecino más cercano. Es un caso especial del modelo más general , con . El modelo recibe su nombre de los físicos indios Chanchal Kumar Majumdar y Dipan Ghosh . [1]
El modelo de Majumdar-Ghosh es notable porque sus estados fundamentales (estados cuánticos de menor energía) se pueden encontrar con exactitud y escribir de forma simple, lo que lo convierte en un punto de partida útil para comprender modelos y fases de espín más complejos.
El modelo de Majumdar-Ghosh se define mediante el siguiente hamiltoniano :
donde el vector S es un operador de espín cuántico con número cuántico S = 1/2.
En la literatura se pueden adoptar otras convenciones para los coeficientes, pero el hecho más importante es que la relación entre los acoplamientos del primer vecino y del segundo vecino es de 2 a 1. Como resultado de esta relación, es posible expresar el hamiltoniano (desplazado por una constante general) de forma equivalente en la forma
La cantidad sumada no es otra que el operador cuadrático de Casimir para la representación del álgebra de espín en los tres sitios consecutivos , que a su vez se puede descomponer en una suma directa de las representaciones de espín 1/2 y 3/2. Tiene los valores propios para el subespacio de espín 1/2 y para el subespacio de espín 3/2.
Se ha demostrado que el modelo de Majumdar-Ghosh tiene dos estados de energía mínima, o estados fundamentales, es decir, los estados en los que pares de espines vecinos forman configuraciones singlete . La función de onda para cada estado fundamental es un producto de estos pares singlete. Esto explica por qué debe haber al menos dos estados fundamentales con la misma energía, ya que uno puede obtenerse del otro simplemente desplazando o trasladando el sistema en un espaciamiento reticular. Además, se ha demostrado que estos (y sus combinaciones lineales) son los únicos estados fundamentales.
El modelo de Majumdar-Ghosh es uno de los pocos modelos de espín cuántico realistas que pueden resolverse con exactitud. Además, sus estados fundamentales son ejemplos simples de lo que se conoce como sólidos de enlace de valencia (VBS). Por lo tanto, el modelo de Majumdar-Ghosh está relacionado con otro modelo de espín famoso, el modelo AKLT , cuyo estado fundamental es el único sólido de enlace de valencia unidimensional de espín uno (S=1).
El modelo de Majumdar-Ghosh es también un ejemplo útil del teorema de Lieb-Schultz-Mattis , que establece, en líneas generales, que un sistema de espín infinito, unidimensional y de número entero impar no debe tener espacio (o brecha) de energía entre sus estados fundamental y excitado o bien debe tener más de un estado fundamental. El modelo de Majumdar-Ghosh tiene una brecha y cae dentro del segundo caso.
La isotropía del modelo en realidad no es importante por el hecho de que tiene un estado fundamental exactamente dimerizado. Por ejemplo, también tiene el mismo estado fundamental exactamente dimerizado mencionado anteriormente para todos los reales .
