modelo quiral

Modelo de mesones en el límite de quarks sin masa.

Proceso de dispersión de solitones para dos solitones en el modelo quiral integrable. La gráfica muestra la densidad de energía del sistema y los máximos representan los solitones. ^{[1] [2]}

En física nuclear , el modelo quiral , introducido por Feza Gürsey en 1960, es un modelo fenomenológico que describe interacciones efectivas de mesones en el límite quiral (donde las masas de los quarks llegan a cero), pero sin mencionar necesariamente los quarks en absoluto. Es un modelo sigma no lineal con el espacio homogéneo principal de un grupo de Lie como variedad objetivo . Cuando se introdujo originalmente el modelo, este grupo de Lie era SU( N ) , donde N es el número de sabores de quarks . La métrica de Riemann de la variedad objetivo viene dada por una constante positiva multiplicada por la forma Killing que actúa sobre la forma Maurer-Cartan de SU ( N ). ${\displaystyle G}$

La simetría global interna de este modelo es , las copias izquierda y derecha, respectivamente; donde la copia izquierda actúa como la acción izquierda sobre el espacio de destino y la copia derecha actúa como la acción derecha . Fenomenológicamente, la copia izquierda representa rotaciones de sabor entre los quarks zurdos, mientras que la copia derecha describe rotaciones entre los quarks diestros, mientras que estos, L y R, son completamente independientes entre sí. Las piezas axiales de estas simetrías se rompen espontáneamente de modo que los campos escalares correspondientes son los bosones de Nambu-Goldstone necesarios . ${\displaystyle G_{L}\times G_{R}}$

Posteriormente, el modelo se estudió en el caso bidimensional como un sistema integrable , en particular una teoría de campos integrables. Su integrabilidad fue demostrada por Faddeev y Reshetikhin en 1982 mediante el método de dispersión inversa cuántica . El modelo quiral principal bidimensional exhibe firmas de integrabilidad como una formulación de par Lax /curvatura cero, un número infinito de simetrías y una simetría de grupo cuántica subyacente (en este caso, simetría Yangiana ).

Este modelo admite solitones topológicos llamados skyrmions .

Las desviaciones de la simetría quiral exacta se tratan en la teoría de la perturbación quiral .

formulación matemática

En una variedad (considerada como el espacio-tiempo ) M y una elección de grupo de Lie compacto G , el contenido del campo es una función . Esto define un campo relacionado , un campo vectorial valorado (en realidad, un campo covector) que es la forma Maurer-Cartan . El modelo quiral principal está definido por la densidad lagrangiana. ${\displaystyle U:M\rightarrow G}$ ${\displaystyle j_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {\kappa }{2}}\mathrm {tr} (\partial _{\mu }U^{-1}\partial ^{\mu }U)=-{\frac {\kappa }{2}}\mathrm {tr} (j_{\mu }j^{\mu }),}$$

geométrico diferencialsecciónhaz principalfibrasespacio principal homogéneoMprincipal ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi :P\rightarrow M}$

Fenomenología

Un resumen del modelo original de 2 sabores.

Actualmente se considera que el modelo quiral de Gürsey (1960; véase también Gell-Mann y Lévy) es una teoría eficaz de QCD con dos quarks ligeros, u y d . El QCD Lagrangiano es aproximadamente invariante bajo rotaciones de sabor globales independientes de los campos de quarks izquierdo y derecho,

${\displaystyle {\begin{cases}q_{L}\mapsto q_{L}'=Lq_{L}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{L}\cdot {\tfrac {\boldsymbol {\tau }}{2}}\right)}q_{L}\\q_{R}\mapsto q_{R}'=Rq_{R}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{R}\cdot {\tfrac {\boldsymbol {\tau }}{2}}\right)}q_{R}\end{cases}}}$

donde τ denota las matrices de Pauli en el espacio de sabor y θ _L , θ _R son los ángulos de rotación correspondientes.

El grupo de simetría correspondiente es el grupo quiral, controlado por las seis corrientes conservadas. ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$

${\displaystyle L_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{L}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{L},\qquad R_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{R}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{R},}$

que puede expresarse igualmente en términos de las corrientes vectoriales y axiales

${\displaystyle V_{\mu }^{i}=L_{\mu }^{i}+R_{\mu }^{i},\qquad A_{\mu }^{i}=R_{\mu }^{i}-L_{\mu }^{i}.}$

Las cargas conservadas correspondientes generan el álgebra del grupo quiral,

${\displaystyle \left[Q_{I}^{i},Q_{I}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{I}^{k}\qquad \qquad \left[Q_{L}^{i},Q_{R}^{j}\right]=0,}$

con I=L,R , o, equivalentemente,

${\displaystyle \left[Q_{V}^{i},Q_{V}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{A}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{V}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{A}^{k}.}$

La aplicación de estas relaciones de conmutación a reacciones hadrónicas dominó los cálculos algebraicos actuales a principios de los años setenta del siglo pasado.

A nivel de hadrones, mesones pseudoescalares, el ámbito del modelo quiral, el grupo quiral se descompone espontáneamente en , por el vacío QCD . Es decir, se realiza de forma no lineal , en el modo Nambu-Goldstone : ¡Los Q _V aniquilan el vacío, pero los Q _A no! Esto se visualiza muy bien a través de un argumento geométrico basado en el hecho de que el álgebra de Lie es isomorfa a la de SO(4). El subgrupo ininterrumpido, realizado en el modo lineal Wigner-Weyl, es localmente isomorfo a SU (2) (V: isospin). ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{V}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)}$

Para construir una realización no lineal de SO(4), la representación que describe rotaciones de cuatro dimensiones de un vector

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}\pi _{1}\\\pi _{2}\\\pi _{3}\\\sigma \end{pmatrix}},}$

para una rotación infinitesimal parametrizada por seis ángulos

${\displaystyle \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3,}$

es dado por

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}{\stackrel {SO(4)}{\longrightarrow }}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\pi }}'}\\\sigma '\end{pmatrix}}=\left[\mathbf {1} _{4}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}V_{i}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}A_{i}\right]{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}V_{i}={\begin{pmatrix}0&-\theta _{3}^{V}&\theta _{2}^{V}&0\\\theta _{3}^{V}&0&-\theta _{1}^{V}&0\\-\theta _{2}^{V}&\theta _{1}^{V}&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\qquad \qquad \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}A_{i}={\begin{pmatrix}0&0&0&\theta _{1}^{A}\\0&0&0&\theta _{2}^{A}\\0&0&0&\theta _{3}^{A}\\-\theta _{1}^{A}&-\theta _{2}^{A}&-\theta _{3}^{A}&0\end{pmatrix}}.}$

Las cuatro cantidades reales ( π , σ ) definen el multiplete quiral no trivial más pequeño y representan el contenido de campo del modelo sigma lineal.

Para pasar de la realización lineal anterior de SO(4) a la no lineal, observamos que, de hecho, sólo tres de los cuatro componentes de ( π , σ ) son independientes con respecto a las rotaciones de cuatro dimensiones. Estos tres componentes independientes corresponden a coordenadas en una hiperesfera S ³ , donde π y σ están sujetos a la restricción

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}^{2}+\sigma ^{2}=F^{2},}$

con F a ( desintegración de piones ) constante de dimensión masa.

Utilizar esto para eliminar σ produce las siguientes propiedades de transformación de π bajo SO (4),

${\displaystyle {\begin{cases}\theta ^{V}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{V}\times {\boldsymbol {\pi }}\\\theta ^{A}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{A}{\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\end{cases}}\qquad {\boldsymbol {\theta }}^{V,A}\equiv \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3.}$

Los términos no lineales (desplazamiento de π ) en el lado derecho de la segunda ecuación subyacen a la realización no lineal de SO(4). El grupo quiral se realiza de forma no lineal en el triplete de piones, que, sin embargo, todavía se transforman linealmente bajo rotaciones de isospin parametrizadas a través de los ángulos . Por el contrario, representan los "desplazamientos" no lineales (ruptura espontánea). ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{V}\simeq {\text{SO}}(3)}$ ${\displaystyle \{{\boldsymbol {\theta }}_{V}\}.}$ ${\displaystyle \{{\boldsymbol {\theta }}_{A}\}}$

A través del mapa de espinor , estas rotaciones de cuatro dimensiones de ( π , σ ) también se pueden escribir convenientemente usando notación matricial 2×2 introduciendo la matriz unitaria.

${\displaystyle U={\frac {1}{F}}\left(\sigma \mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right),}$

y requiriendo que las propiedades de transformación de U bajo rotaciones quirales sean

${\displaystyle U\longrightarrow U'=LUR^{\dagger },}$

dónde ${\displaystyle \theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.}$

La transición a la realización no lineal sigue,

${\displaystyle U={\frac {1}{F}}\left({\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right),\qquad {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {F^{2}}{4}}\langle \partial _{\mu }U\partial ^{\mu }U^{\dagger }\rangle ,}$

donde denota la traza en el espacio de sabor. Este es un modelo sigma no lineal . ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$

Los términos que intervienen o no son independientes y pueden llevarse a esta forma mediante integración parcial. La constante F ² /4 se elige de tal manera que el lagrangiano coincida con el término libre habitual para campos escalares sin masa cuando se escribe en términos de piones, ${\displaystyle \textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U}$ ${\displaystyle \textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U^{\dagger }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot \partial ^{\mu }{\boldsymbol {\pi }}+{\frac {1}{2F^{2}}}\left(\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}\right)^{2}+{\mathcal {O}}(\pi ^{6}).}$

Parametrización alternativa

Una parametrización alternativa equivalente (Gürsey, 1960)

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}~{\frac {\sin(|\pi /F|)}{|\pi /F|}},}$

produce una expresión más simple para U ,

${\displaystyle U=\mathbf {1} \cos |\pi /F|+i{\widehat {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\sin |\pi /F|=e^{i~{\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}/F}.}$

Tenga en cuenta la transformada π reparametrizada en

${\displaystyle LUR^{\dagger }=\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2-i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)\exp(i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/F)\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2+i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)}$

entonces, manifiestamente idénticamente a lo anterior bajo isorotaciones, V ; y de manera similar a lo anterior, como

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\longrightarrow {\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F+\cdots ={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F(|\pi /F|\cot |\pi /F|)}$

bajo las simetrías rotas, A , los desplazamientos. Esta expresión más simple se generaliza fácilmente (Cronin, 1967) a N quarks ligeros, por lo que ${\displaystyle \textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.}$

Integrabilidad

Modelo quiral integrable

Introducido por Richard S. Ward , ^[3] el modelo quiral integrable o modelo de Ward se describe en términos de un campo matricial y viene dado por la ecuación diferencial parcial ${\displaystyle J:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow U(n)}$

$${\displaystyle \partial _{t}(J^{-1}J_{t})-\partial _{x}(J^{-1}J_{x})-\partial _{y}(J^{-1}J_{y})-[J^{-1}J_{t},J^{-1}J_{y}]=0.}$$

término de Wess-Zumino-Wittenecuaciones de Bogomolnyla firma de Lorentz

Se conocen muchas soluciones exactas. ^{[4] [5] [6]}

Modelo quiral principal bidimensional.

Aquí, la variedad subyacente se considera una superficie de Riemann , en particular el cilindro o plano , convencionalmente dadas coordenadas reales , donde en el cilindro hay una coordenada periódica. Para su aplicación a la teoría de cuerdas , este cilindro es la hoja del mundo barrida por la cuerda cerrada. ^[7] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau ,\sigma }$ ${\displaystyle \sigma \sim \sigma +2\pi }$

Simetrías globales

Las simetrías globales actúan como simetrías internas en el campo con valores de grupo como y . Las corrientes conservadas correspondientes del teorema de Noether son ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle \rho _{L}(g')g(x)=g'g(x)}$ ${\displaystyle \rho _{R}(g)g(x)=g(x)g'}$

$${\displaystyle L_{\alpha }=g^{-1}\partial _{\alpha }g,R_{\alpha }=\partial _{\alpha }gg^{-1}.}$$

ecuaciones de movimiento

$${\displaystyle \partial _{\alpha }L^{\alpha }=\partial _{\alpha }R^{\alpha }=0{\text{ or in coordinate-free form }}d*L=d*R=0.}$$

$${\displaystyle dL+{\frac {1}{2}}[L,L]=0{\text{ or in coordinates }}\partial _{\alpha }L_{\beta }-\partial _{\beta }L_{\alpha }+[L_{\alpha },L_{\beta }]=0,}$$

Formulación laxa

Considere la hoja del mundo en coordenadas de cono de luz . Los componentes de la matriz Lax apropiada son ${\displaystyle x^{\pm }=t\pm x}$

$${\displaystyle L_{\pm }(x^{+},x^{-};\lambda )={\frac {j_{\pm }}{1\mp \lambda }}.}$$

${\displaystyle L_{\pm }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle j=(j_{+},j_{-})}$

Ver también

• modelo sigma
• Quiralidad (física)

Referencias

1. Ward, RS (noviembre de 1995). "Dispersión no trivial de solitones localizados en un sistema integrable de dimensiones (2 + 1)". Letras de Física A. 208 (3): 203–208. arXiv : solv-int/9510004 . doi :10.1016/0375-9601(95)00782-X. S2CID  123153627.
2. Dunajski, Maciej (2010). Solitones, instantones y tornadores . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 159.ISBN​ 9780198570639.
3. Ward, RS (febrero de 1988). "Soluciones Soliton en un modelo quiral integrable en 2+1 dimensiones". Revista de Física Matemática . 29 (2): 386–389. doi : 10.1063/1.528078 .
4. Ioannidou, T.; Zakrzewski, WJ (mayo de 1998). "Soluciones del modelo quiral modificado en (2+1) dimensiones". Revista de Física Matemática . 39 (5): 2693–2701. arXiv : hep-th/9802122 . doi : 10.1063/1.532414. S2CID  119529600.
5. Ioannidou, T. (julio de 1996). "Soluciones de Soliton y dispersión no trivial en un modelo quiral integrable en (2+1) dimensiones". Revista de Física Matemática . 37 (7): 3422–3441. arXiv : hep-th/9604126 . doi : 10.1063/1.531573. S2CID  15300406.
6. Dai, B.; Terng, C.-L. (1 de enero de 2007). "Transformaciones de Bäcklund, solitones de Ward y uniones". Revista de Geometría Diferencial . 75 (1). arXiv : matemáticas/0405363 . doi :10.4310/jdg/1175266254. S2CID  53477757.
7. Driezen, Sibylle (2021). "Conferencias de Modave sobre integrabilidad clásica en teorías de campo $ 2d $". arXiv : 2112.14628 [hep-th].

• Gürsey, F. (1960). "Sobre las simetrías de interacciones fuertes y débiles". El nuevo cemento . 16 (2): 230–240. Código Bib : 1960NCim...16..230G. doi :10.1007/BF02860276. S2CID  122270607.
• Gürsey, Feza (1961). "Sobre la estructura y paridad de corrientes de interacción débiles". Anales de Física . Elsevier BV. 12 (1): 91-117. Código bibliográfico : 1961AnPhy..12...91G. doi :10.1016/0003-4916(61)90147-6. ISSN  0003-4916.
• Coleman, S.; Wess, J.; Zumino, B. (1969). "Estructura de los lagrangianos fenomenológicos. I". Revisión física . 177 (5): 2239. Código bibliográfico : 1969PhRv..177.2239C. doi : 10.1103/PhysRev.177.2239.; Callan, C.; Coleman, S.; Wess, J.; Zumino, B. (1969). "Estructura de los lagrangianos fenomenológicos. II". Revisión física . 177 (5): 2247. Código bibliográfico : 1969PhRv..177.2247C. doi : 10.1103/PhysRev.177.2247.
• Georgi, H. (1984, 2009). Interacciones débiles y teoría moderna de partículas (Libros de física de Dover) ISBN 0486469042 en línea. 
• Freír, diputado (2000). "Límite quiral del determinante fermiónico bidimensional en un campo magnético general". Revista de Física Matemática . 41 (4): 1691-1710. arXiv : hep-th/9911131 . Código bibliográfico : 2000JMP....41.1691F. doi : 10.1063/1.533204. S2CID  14302881.
• Gell-Mann, M.; Lévy, M. (1960), "La corriente del vector axial en la desintegración beta", Il Nuovo Cimento , Sociedad Italiana de Física, 16 (4): 705–726, Bibcode :1960NCim...16..705G, doi :10.1007/ BF02859738, ISSN  1827-6121, S2CID  122945049
• Cronin, Jeremías A. (25 de septiembre de 1967). "Modelo fenomenológico de interacciones fuertes y débiles en ChiralU (3) ⊗ U (3)". Revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 161 (5): 1483-1494. Código bibliográfico : 1967PhRv..161.1483C. doi : 10.1103/physrev.161.1483. ISSN  0031-899X.