Yangiano

En teoría de representación , un yangiano es un álgebra de Hopf de dimensión infinita , un tipo de grupo cuántico . Los yangianos aparecieron por primera vez en física en el trabajo de Ludwig Faddeev y su escuela a fines de la década de 1970 y principios de la de 1980 en relación con el método de dispersión inversa cuántica . El nombre yangiano fue introducido por Vladimir Drinfeld en 1985 en honor a CN Yang .

Inicialmente, se consideraron una herramienta conveniente para generar las soluciones de la ecuación cuántica de Yang-Baxter .

El centro del Yangian puede describirse mediante el determinante cuántico.

El Yangiano es una degeneración del álgebra cuántica de bucles (es decir, el álgebra cuántica afín en la que la carga central se desvanece). ^[1]

Descripción

Para cualquier álgebra de Lie semisimple de dimensión finita a , Drinfeld definió un álgebra de Hopf de dimensión infinita Y ( a ), llamada Yangiana de a . Esta álgebra de Hopf es una deformación del álgebra envolvente universal U ( a [ z ]) del álgebra de Lie de bucles polinómicos de a dado por generadores y relaciones explícitos. Las relaciones pueden codificarse por identidades que involucran una matriz R racional . Reemplazándola por una matriz R trigonométrica , se llega a los grupos cuánticos afines , definidos en el mismo artículo de Drinfeld.

En el caso del álgebra de Lie lineal general gl _N , el Yangiano admite una descripción más simple en términos de una única relación ternaria (o RTT ) en los generadores de matrices debido a Faddeev y coautores. El Yangiano Y( gl _N ) se define como el álgebra generada por elementos con 1 ≤ i , j ≤ N y p ≥ 0, sujeto a las relaciones ${\displaystyle t_{ij}^{(p)}}$

${\displaystyle [t_{ij}^{(p+1)},t_{kl}^{(q)}]-[t_{ij}^{(p)},t_{kl}^{(q+1)}]=-(t_{kj}^{(p)}t_{il}^{(q)}-t_{kj}^{(q)}t_{il}^{(p)}).}$

Definir , establecer ${\displaystyle t_{ij}^{(-1)}=\delta _{ij}}$

${\displaystyle T(z)=\sum _{p\geq -1}t_{ij}^{(p)}z^{-p+1}}$

e introduciendo la matriz R R ( z ) = I + z ⁻¹ P en C ^N C ^N , donde P es el operador que permuta los factores tensoriales, las relaciones anteriores se pueden escribir de forma más sencilla como la relación ternaria: ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle \displaystyle {R_{12}(z-w)T_{1}(z)T_{2}(w)=T_{2}(w)T_{1}(z)R_{12}(z-w).}}$

El Yangiano se convierte en un álgebra de Hopf con comultiplicación Δ, counit ε y antípoda s dada por

${\displaystyle (\Delta \otimes \mathrm {id} )T(z)=T_{12}(z)T_{13}(z),\,\,(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )T(z)=I,\,\,(s\otimes \mathrm {id} )T(z)=T(z)^{-1}.}$

En valores especiales del parámetro espectral , la matriz R degenera a una proyección de rango uno. Esto se puede utilizar para definir el determinante cuántico de , que genera el centro del Yangiano. ${\displaystyle (z-w)}$ ${\displaystyle T(z)}$

El Yangiano retorcido Y ⁻ ( gl _2N ), introducido por GI Olshansky, es el co-ideal generado por los coeficientes de

${\displaystyle \displaystyle {S(z)=T(z)\sigma T(-z),}}$

donde σ es la involución de gl _2N dada por

${\displaystyle \displaystyle {\sigma (E_{ij})=(-1)^{i+j}E_{2N-j+1,2N-i+1}.}}$

Aplicaciones

Teoría de la representación clásica

GI Olshansky e I. Cherednik descubrieron que el Yangiano de gl _N está estrechamente relacionado con las propiedades de ramificación de las representaciones finito-dimensionales irreducibles de las álgebras lineales generales. En particular, la construcción clásica de Gelfand-Tsetlin de una base en el espacio de tal representación tiene una interpretación natural en el lenguaje de los Yangianos, estudiados por M. Nazarov y V. Tarasov. Olshansky, Nazarov y Molev descubrieron posteriormente una generalización de esta teoría a otras álgebras de Lie clásicas , basadas en el Yangiano torcido.

Física

El Yangiano aparece como un grupo de simetría en diferentes modelos de la física. ^{[ ¿Por qué? ]}

Yangian aparece como un grupo de simetría de modelos unidimensionales exactamente solucionables, como las cadenas de espín , el modelo de Hubbard y en modelos de teoría cuántica de campos relativistas unidimensionales .

El fenómeno más famoso se da en la teoría supersimétrica planar de Yang-Mills en cuatro dimensiones, donde las estructuras yangianas aparecen en el nivel de simetrías de los operadores, ^{[2] [3]} y amplitud de dispersión como fue descubierto por Drummond, Henn y Plefka .

Teoría de la representación

Drinfeld parametrizó representaciones finito-dimensionales irreducibles de yangianas de una manera similar a la teoría de pesos más altos en la teoría de representación de álgebras de Lie semisimples. El papel del peso más alto lo desempeña un conjunto finito de polinomios de Drinfeld . Drinfeld también descubrió una generalización de la dualidad clásica de Schur-Weyl entre representaciones de grupos generales lineales y simétricos que involucra a la yangiana de sl _N y al álgebra de Hecke afín degenerada (álgebra de Hecke graduada de tipo A, en la terminología de George Lusztig ).

Las representaciones de los yangianos han sido ampliamente estudiadas, pero la teoría aún se encuentra en desarrollo activo.

Véase también

• Álgebra cuántica afín

Notas

1. Guay, N.; Ma, X. (3 de julio de 2012). "De las álgebras cuánticas de bucles a las yangianas". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 86 (3): 683–700. doi :10.1112/jlms/jds021. ISSN  0024-6107.
2. Beisert, N. (2007). La matriz S de AdS/CFT y la simetría yangiana. Preimpresión arXiv arXiv:0704.0400.
3. Spill, F. (2009). Teorías de N= 4 Super Yang-Mills y N= 6 Chern-Simons débilmente acopladas a partir de simetría yangiana u (2| 2). Journal of High Energy Physics, 2009(03), 014, https://arxiv.org/abs/0810.3897

Referencias

• Chari, Vyjayanthi ; Andrew Pressley (1994). Una guía para los grupos cuánticos . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . ISBN 0-521-55884-0.
• Drinfeld, Vladimir Gershonovich (1985). Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера[Álgebras de Hopf y la ecuación cuántica de Yang-Baxter]. Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso). 283 (5): 1060–1064.
• Drinfeld, VG (1987). "Una nueva realización de las yangianas y de las álgebras afines cuánticas". Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso). 296 (1): 13–17.Traducido en Matemáticas soviéticas - Doklady . 36 (2): 212–216. 1988.{{cite journal}}: CS1 maint: publicación periódica sin título ( enlace )
• Drinfeld, VG (1986). Вырожденные аффинные алгебры Гекке и янгианы [Álgebras de Hecke afines degeneradas y Yangianas]. Funktsional'nyi Analiz I Ego Prilozheniya (en ruso). 20 (1): 69–70. Señor  0831053. Zbl  0599.20049.Traducido en Drinfeld, VG (1986). "Álgebras de Hecke afines degeneradas y yangianas". Análisis funcional y sus aplicaciones . 20 (1): 58–60. doi :10.1007/BF01077318. S2CID  119659066.
• Molev, Alexander Ivanovich (2007). Yangianos y álgebras de Lie clásicas . Encuestas y monografías matemáticas. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-4374-1.
• Bernardo, Denis (1993). "Una introducción a las simetrías yangianas". Serie ASI de la OTAN . 310 (5): 39–52. arXiv : hep-th/9211133 . doi :10.1007/978-1-4899-1516-0_4. ISBN 978-1-4899-1518-4.
• MacKay, Niall (2005). "Introducción a la simetría yangiana en la teoría de campos integrables". Revista Internacional de Física Moderna A . 20 (30): 7189–7217. arXiv : hep-th/0409183 . Código Bibliográfico :2005IJMPA..20.7189M. doi :10.1142/s0217751x05022317. S2CID  10256766.
• Drummond, James; Henn, Johannes; Plefka, Jan (2009). "Simetría yangiana de amplitudes de dispersión en la teoría de Yang-Mills N = 4 super". Journal of High Energy Physics . 2009 (5): 046. arXiv : 0902.2987 . Bibcode :2009JHEP...05..046D. doi :10.1088/1126-6708/2009/05/046. S2CID  15627964.