bethe ansatz

En física , Bethe ansatz es un ansatz para encontrar las funciones de onda exactas de ciertos modelos cuánticos de muchos cuerpos , más comúnmente para modelos reticulares unidimensionales. Fue utilizado por primera vez por Hans Bethe en 1931 para encontrar los valores propios y vectores propios exactos del modelo isotrópico antiferromagnético unidimensional (XXX) de Heisenberg . ^[1]

Desde entonces, el método se ha extendido a otras cadenas de espín y modelos de celosía estadísticos .

"Los problemas de Bethe ansatz" eran uno de los temas que aparecían en la sección "Para aprender" de la pizarra de Richard Feynman en el momento de su muerte. ^[2]

Discusión

En el marco de la mecánica cuántica de muchos cuerpos , los modelos que pueden resolverse mediante Bethe ansatz se pueden contrastar con los modelos de fermiones libres . Se puede decir que la dinámica de un modelo libre es reducible en un solo cuerpo: la función de onda de muchos cuerpos para los fermiones ( bosones ) es el producto antisimetrizado (simetrizado) de las funciones de onda de un cuerpo. Los modelos que Bethe ansatz puede resolver no son gratuitos: el sector de dos cuerpos tiene una matriz de dispersión no trivial , que en general depende de los momentos.

Por otro lado, la dinámica de los modelos que puede resolver Bethe ansatz es reducible en dos cuerpos: la matriz de dispersión de muchos cuerpos es un producto de matrices de dispersión de dos cuerpos. Las colisiones de muchos cuerpos ocurren como una secuencia de colisiones de dos cuerpos y la función de onda de muchos cuerpos se puede representar de una forma que contenga sólo elementos de funciones de onda de dos cuerpos. La matriz de dispersión de muchos cuerpos es igual al producto de las matrices de dispersión por pares.

La forma genérica de Bethe ansatz (coordenada) para una función de onda de muchos cuerpos es

${\displaystyle \Psi _{M}(j_{1},\cdots ,j_{M})=\prod _{M\geq a>b\geq 1}{\text{sgn}}(j_{a}-j_{b})\sum _{P\in {\mathfrak {S}}_{M}}(-1)^{[P]}\exp \left(i\sum _{a=1}^{M}k_{P_{a}}j_{a}+{\frac {i}{2}}\sum _{M\geq a>b\geq 1}\mathrm {sgn} (j_{a}-j_{b})\phi (k_{P_{a}},k_{P_{b}})\right)}$

en el cual es el número de partículas, su posición, es el conjunto de todas las permutaciones de los números enteros , es la paridad de la permutación que toma valores positivos o negativos, es el (cuasi) momento de la -ésima partícula, es el función de cambio de fase de dispersión y es la función de signo . Esta forma es universal (al menos para sistemas no anidados), y las funciones de impulso y dispersión dependen del modelo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j_{a},a=1,\cdots M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{M}}$ ${\displaystyle 1,\cdots ,M}$ ${\displaystyle (-1)^{[P]}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathrm {sgn} }$

La ecuación de Yang-Baxter garantiza la coherencia de la construcción. El principio de exclusión de Pauli es válido para modelos que pueden resolverse mediante Bethe ansatz, incluso para modelos de bosones que interactúan .

El estado fundamental es una esfera de Fermi . Las condiciones de contorno periódicas conducen a las ecuaciones de Bethe ansatz o simplemente a las ecuaciones de Bethe. En forma logarítmica las ecuaciones de Bethe ansatz pueden generarse mediante la acción de Yang . El cuadrado de la norma de la función de onda de Bethe es igual al determinante del hessiano de la acción de Yang. ^[3]

Una generalización sustancial es el método de dispersión inversa cuántica , o Bethe ansatz algebraico, que proporciona un ansatz para el álgebra de operadores subyacente que "ha permitido resolver una amplia clase de ecuaciones de evolución no lineales". ^[4]

Las soluciones exactas del llamado modelo sd (por PB Wiegmann ^[5] en 1980 e independientemente por N. Andrei, ^[6] también en 1980) y del modelo de Anderson (por PB Wiegmann ^[7] en 1981, y por N Kawakami y A. Okiji ^[8] en 1981) también se basan en Bethe ansatz. Existen generalizaciones multicanal de estos dos modelos que también son susceptibles de soluciones exactas (por N. Andrei y C. Destri ^[9] y por CJ Bolech y N. Andrei ^[10] ). Recientemente se realizaron experimentalmente varios modelos solucionables por Bethe ansatz en estados sólidos y redes ópticas. Jean-Sébastien Caux y Alexei Tsvelik desempeñaron un papel importante en la descripción teórica de estos experimentos . ^{[ cita necesaria ]}

Terminología

Hay muchos métodos similares que reciben el nombre de Bethe ansatz.

• Bethe algebraica ansatz. ^[11] El método de dispersión cuántica inversa es el método de solución algebraico de Bethe ansatz, y los dos son prácticamente sinónimos.
• Analítica Beth ansatz
• Coordenada Bethe ansatz ( Hans Bethe  1931)
• Bethe funcional ansatz ^{[12] [13]}
• Bethe ansatz anidada
• Bethe ansatz termodinámica (CN Yang y CP Yang 1969)

Ejemplos

Cadena antiferromagnética de Heisenberg

La cadena antiferromagnética de Heisenberg está definida por el hamiltoniano (asumiendo condiciones de contorno periódicas)

${\displaystyle H=J\sum _{j=1}^{N}\mathbf {S} _{j}\cdot \mathbf {S} _{j+1},\qquad \mathbf {S} _{j+N}\equiv \mathbf {S} _{j}.}$

Este modelo se puede resolver utilizando la (coordenada) Bethe ansatz. La función de desplazamiento de fase de dispersión es , con la cual el momento ha sido convenientemente reparametrizado en términos de la rapidez. Las condiciones de frontera (aquí periódicas) imponen las ecuaciones de Bethe. ${\displaystyle \phi (k_{a}(\lambda _{a}),k_{b}(\lambda _{b}))=\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})}$ ${\displaystyle \theta _{n}(\lambda )\equiv 2\arctan {\frac {2\lambda }{n}}}$ ${\displaystyle k(\lambda )=\pi -2\arctan 2\lambda }$ ${\displaystyle \lambda .}$

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda _{a}+i/2}{\lambda _{a}-i/2}}\right]^{N}=\prod _{b\neq a}^{M}{\frac {\lambda _{a}-\lambda _{b}+i}{\lambda _{a}-\lambda _{b}-i}},\qquad a=1,...,M}$

o más convenientemente en forma logarítmica

${\displaystyle \theta _{1}(\lambda _{a})-{\frac {1}{N}}\sum _{b=1}^{M}\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})=2\pi {\frac {I_{a}}{N}}}$

donde los números cuánticos son distintos, enteros medio impares para los pares y enteros para los impares (con mod definido ). ${\displaystyle I_{j}}$ ${\displaystyle N-M}$ ${\displaystyle N-M}$ ${\displaystyle I_{j}}$ ${\displaystyle (N)}$

Aplicabilidad

Los siguientes sistemas se pueden resolver usando Bethe ansatz

• Modelo de impurezas de Anderson
• modelo gaudín
• Cadena de giro Heisenberg XXX y XXZ para giro arbitrario ${\displaystyle s}$
• modelo hubbard
• modelo kondo
• Modelo de Lieb-Liniger
• Modelo de seis vértices y modelo de ocho vértices (a través de la cadena de espín de Heisenberg)

Cronología

• 1928: Werner Heisenberg publica su modelo . ^[14]
• 1930: Felix Bloch propone un ansatz demasiado simplificado que calcula erróneamente el número de soluciones de la ecuación de Schrödinger para la cadena de Heisenberg. ^[15]
• 1931: Hans Bethe propone el ansatz correcto y demuestra cuidadosamente que produce el número correcto de funciones propias. ^[1]
• 1938: Lamek Hulthén  [Delaware] obtiene la energía exacta del estado fundamental del modelo de Heisenberg. ^[dieciséis]
• 1958: Raymond Lee Orbach utiliza Bethe ansatz para resolver el modelo de Heisenberg con interacciones anisotrópicas. ^[17]
• 1962: J. des Cloizeaux y JJ Pearson obtienen el espectro correcto del antiferroimán de Heisenberg (relación de dispersión de espín), ^[18] mostrando que difiere de las predicciones de la teoría de onda de espín de Anderson ^[19] (el prefactor constante es diferente).
• 1963: Elliott H. Lieb y Werner Liniger proporcionan la solución exacta del gas Bose que interactúa con función δ 1d ^[20] (ahora conocido como modelo de Lieb-Liniger ). Lieb estudia el espectro y define dos tipos básicos de excitaciones. ^[21]
• 1964: Robert B. Griffiths obtiene la curva de magnetización del modelo de Heisenberg a temperatura cero. ^[22]
• 1966: CN Yang y CP Yang prueban rigurosamente que el estado fundamental de la cadena de Heisenberg está dado por Bethe ansatz. ^[23] Estudian propiedades y aplicaciones en ^[24] y. ^[25]
• 1967: CN Yang generaliza la solución de Lieb y Liniger de la función δ que interactúa con el gas de Bose a una simetría de permutación arbitraria de la función de onda, dando origen al Bethe ansatz anidado. ^[26]
• 1968: Elliott H. Lieb y FY Wu resuelven el modelo 1d de Hubbard. ^[27]
• 1969: CN Yang y CP Yang obtienen la termodinámica del modelo de Lieb-Liniger, ^[28] proporcionando la base de la termodinámica Bethe ansatz (TBA).

Referencias

1. Bethe, H. (marzo de 1931). "Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette". Zeitschrift für Physik . 71 (3–4): 205–226. doi :10.1007/BF01341708. S2CID  124225487.
2. "La pizarra de Richard Feynman en el momento de su muerte | Archivos de Caltech". digital.archives.caltech.edu . Consultado el 29 de julio de 2023 .
3. Korepin, Vladimir E. (1982). "Cálculo de normas de funciones de onda de Bethe". Comunicaciones en Física Matemática . 86 (3): 391–418. Código bibliográfico : 1982CMaPh..86..391K. doi :10.1007/BF01212176. ISSN  0010-3616. S2CID  122250890.
4. Korepin, VE; Bogoliubov, Nuevo México; Izergin, AG (6 de marzo de 1997). Método de dispersión inversa cuántica y funciones de correlación. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521586467.
5. Wiegmann, PB (1980). "Solución exacta del modelo de intercambio sd en T = 0" (PDF) . Cartas JETP . 31 (7): 364. Archivado desde el original (PDF) el 17 de mayo de 2019 . Consultado el 17 de mayo de 2019 .
6. Andrei, N. (1980). "Diagonalización del Kondo Hamiltoniano". Cartas de revisión física . 45 (5): 379–382. Código bibliográfico : 1980PhRvL..45..379A. doi :10.1103/PhysRevLett.45.379. ISSN  0031-9007.
7. Wiegmann, PB (1980). "Hacia una solución exacta del modelo de Anderson". Letras de Física A. 80 (2–3): 163–167. Código bibliográfico : 1980PhLA...80..163W. doi :10.1016/0375-9601(80)90212-1. ISSN  0375-9601.
8. Kawakami, Norio; Okiji, Ayao (1981). "Expresión exacta de la energía del estado fundamental para el modelo simétrico de Anderson". Letras de Física A. 86 (9): 483–486. Código bibliográfico : 1981PhLA...86..483K. doi :10.1016/0375-9601(81)90663-0. ISSN  0375-9601.
9. Andrés, N.; Destri, C. (1984). "Solución del problema del Kondo multicanal". Cartas de revisión física . 52 (5): 364–367. Código bibliográfico : 1984PhRvL..52..364A. doi :10.1103/PhysRevLett.52.364. ISSN  0031-9007.
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enlaces externos

• Introducción a Bethe Ansatz