Distribución normal dividida

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución normal dividida , también conocida como distribución normal de dos partes, resulta de unir en la moda las mitades correspondientes de dos distribuciones normales con la misma moda pero diferentes varianzas . Johnson et al. ^[1] afirman que esta distribución fue introducida por Gibbons y Mylroie ^[2] y por John. ^[3] Pero estos son dos de varios redescubrimientos independientes de la Zweiseitige Gauss'sche Gesetz introducida en la Kollektivmasslehre (1897) ^[4] publicada póstumamente por Gustav Theodor Fechner (1801-1887), véase Wallis (2014). ^[5] Otro redescubrimiento ha aparecido más recientemente en una revista financiera. ^[6]

Definición

La distribución normal dividida surge de la fusión de dos mitades opuestas de dos funciones de densidad de probabilidad (PDF) de distribuciones normales en su modo común .

La PDF de la distribución normal dividida está dada por ^[1]

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma _{1},\sigma _{2})=A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}\right)\quad {\text{if }}x<\mu }$

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma _{1},\sigma _{2})=A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right)\quad {\text{otherwise}}}$

dónde

${\displaystyle \quad A={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{1}+\sigma _{2})^{-1}.}$

Discusión

La distribución normal dividida resulta de la fusión de dos mitades de distribuciones normales. En un caso general, las distribuciones normales "principales" pueden tener varianzas diferentes, lo que implica que la función de densidad de probabilidad unida no sería continua . Para garantizar que la función de densidad de probabilidad resultante se integre en 1, se utiliza la constante de normalización A.

En un caso especial cuando la distribución normal dividida se reduce a una distribución normal con varianza . ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{*}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{*}^{2}}$

Cuando σ ₂ ≠σ ₁ la constante A es diferente de la constante de distribución normal. Sin embargo, cuando las constantes son iguales. ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{*}^{2}}$

El signo de su tercer momento central está determinado por la diferencia (σ ₂ -σ ₁ ). Si esta diferencia es positiva, la distribución está sesgada hacia la derecha y si es negativa, hacia la izquierda.

^{Johnson et al. [1]} y Julio ^[7] analizaron otras propiedades de la densidad normal dividida.

Formulaciones alternativas

La formulación discutida anteriormente se origina de John. ^[3] La literatura ofrece dos parametrizaciones alternativas matemáticamente equivalentes. Britton, Fisher y Whitley ^[8] ofrecen una parametrización en términos de moda, dispersión y asimetría normalizada, denotada con . El parámetro μ es la moda y tiene equivalente a la moda en la formulación de John. El parámetro σ ² >0 informa sobre la dispersión (escala) y no debe confundirse con la varianza. El tercer parámetro, γ ∈ (-1,1), es la asimetría normalizada. ${\displaystyle {\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\gamma )}$

La segunda parametrización alternativa se utiliza en la comunicación del Banco de Inglaterra y se escribe en términos de moda, dispersión y asimetría no normalizada y se denota con . En esta formulación, el parámetro μ es la moda y es idéntico al de la formulación de John ^[3] y Britton, Fisher y Whitley ^[8] . El parámetro σ ² informa sobre la dispersión (escala) y es el mismo que en la formulación de Britton, Fisher y Whitley. El parámetro ξ es igual a la diferencia entre la media y la moda de la distribución y puede considerarse como una medida no normalizada de asimetría. ${\displaystyle {\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\xi )}$

Las tres parametrizaciones son matemáticamente equivalentes, es decir, existe una relación estricta entre los parámetros y es posible pasar de una parametrización a otra. Se cumplen las siguientes relaciones: ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\sigma _{1}^{2}(1+\gamma )=\sigma _{2}^{2}(1-\gamma )\\\gamma &={\frac {\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}+\sigma _{1}^{2}}}\\\xi &={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\\\gamma &=\operatorname {sgn} (\xi ){\sqrt {1-\left({\frac {{\sqrt {1+2\beta }}-1}{\beta }}\right)^{2}}},\quad {\text{where}}\quad \beta ={\frac {\pi \xi ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Extensiones multivariadas

La generalización multivariada de la distribución normal dividida fue propuesta por Villani y Larsson ^[10] . Ellos suponen que cada uno de los componentes principales tiene una distribución normal dividida univariante con un conjunto diferente de parámetros μ, σ ₂ y σ ₁ .

Estimación de parámetros

John ^[3] propone estimar los parámetros utilizando el método de máxima verosimilitud . Muestra que la función de verosimilitud puede expresarse en una forma intensiva, en la que los parámetros de escala σ ₁ y σ ₂ son una función del parámetro de localización μ. La verosimilitud en su forma intensiva es:

${\displaystyle L(\mu )=-\left[\sum _{x_{i}:x_{i}<\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{1/3}-\left[\sum _{x_{i}:x_{i}>\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{1/3}}$

y debe maximizarse numéricamente con respecto a un único parámetro μ solamente.

Dado el estimador de máxima verosimilitud los demás parámetros toman valores: ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}^{2}={\frac {-L(\mu )}{N}}\left[\sum _{x_{i}:x_{i}<\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{2/3},}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{2}^{2}={\frac {-L(\mu )}{N}}\left[\sum _{x_{i}:x_{i}>\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{2/3},}$

donde N es el número de observaciones.

Villani y Larsson ^[10] proponen utilizar el método de máxima verosimilitud o la estimación bayesiana y proporcionan algunos resultados analíticos para los casos univariados y multivariados.

Aplicaciones

La distribución normal dividida se ha utilizado principalmente en econometría y series temporales. Un área de aplicación destacable es la construcción del gráfico de abanico , una representación de la distribución de las previsiones de inflación informadas por los bancos centrales que aplican objetivos de inflación en todo el mundo. ^{[7] [11]}

Referencias

1. Johnson, NL, Kotz, S. y Balakrishnan, N. (1994). Distribuciones univariadas continuas, volumen 1. John Wiley & Sons. pág. 173. ISBN 978-0-471-58495-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Gibbons, JF; Mylroie, S. (1973). "Estimación de perfiles de impurezas en objetivos amorfos con implantes iónicos utilizando distribuciones semigaussianas unidas". Applied Physics Letters . 22 (11): 568–569. Código Bibliográfico :1973ApPhL..22..568G. doi :10.1063/1.1654511.
3. John, S. (1982). "La familia de distribuciones normales de dos piezas y tres parámetros y su ajuste". Communications in Statistics - Theory and Methods . 11 (8): 879–885. doi :10.1080/03610928208828279.
4. Fechner, GT (ed. Lipps, GF) (1897). Kollectivmasslehre . Engelmann, Leipzig.
5. Wallis, KF (2014). La distribución normal, binormal o doble gaussiana de dos piezas: su origen y redescubrimientos. Statistical Science , vol. 29, núm. 1, pp.106-112. doi:10.1214/13-STS417.
6. de Roon, F. y Karehnke, P. (2016). Una distribución sesgada simple con aplicaciones de fijación de precios de activos. Review of Finance , 2016, 1-29.
7. Juan Manuel Julio (2007). El gráfico de abanico: los detalles técnicos de la nueva implementación. Banco de la República . Consultado el 11 de septiembre de 2010 , enlace directo {{cite conference}}: Enlace externo en |postscript=( ayuda )CS1 maint: postscript (link)
8. Britton, E.; P. Fisher; Whitley, J. (1998). "Las proyecciones del informe de inflación: comprensión del gráfico de abanico". Boletín trimestral . Febrero de 1998: 30–37.
9. Banerjee, N.; A. Das (2011). Gráfico de abanico: metodología y su aplicación a la previsión de la inflación en la India . Serie de documentos de trabajo del Banco de la Reserva de la India.
10. Villani, Mattias; Rolf Larsson (2006). "La distribución normal dividida multivariante y el análisis asimétrico de componentes principales". Comunicaciones en estadística - Teoría y métodos . 35 (6): 1123–1140. CiteSeerX 10.1.1.533.4095 . doi :10.1080/03610920600672252. ISSN  0361-0926. S2CID  124959166. 
11. Banco de Inglaterra, Informe sobre inflación Archivado el 13 de agosto de 2010 en Wayback Machine.