Fracción continua de Gauss

En el análisis complejo , la fracción continua de Gauss es una clase particular de fracciones continuas derivadas de funciones hipergeométricas . Fue una de las primeras fracciones continuas analíticas conocidas en matemáticas y puede utilizarse para representar varias funciones elementales importantes , así como algunas de las funciones trascendentales más complicadas .

Historia

Lambert publicó varios ejemplos de fracciones continuas en esta forma en 1768, y tanto Euler como Lagrange investigaron construcciones similares, ^[1] pero fue Carl Friedrich Gauss quien utilizó el álgebra descrita en la siguiente sección para deducir la forma general de esta fracción continua, en 1813. ^[2]

Aunque Gauss dio la forma de esta fracción continua, no dio una prueba de sus propiedades de convergencia. Bernhard Riemann ^[3] y LW Thomé ^[4] obtuvieron resultados parciales, pero la palabra final sobre la región en la que converge esta fracción continua no la dio hasta 1901, Edward Burr Van Vleck . ^[5]

Derivación

Sea una secuencia de funciones analíticas tal que ${\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\dots }$

${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}\,z\,f_{i+1}}$

para todos , donde cada uno es una constante. ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle k_{i}}$

Entonces

${\displaystyle {\frac {f_{i-1}}{f_{i}}}=1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}},{\text{ and so }}{\frac {f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1}{1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}}}}}$

Configuración ${\displaystyle g_{i}=f_{i}/f_{i-1},}$

${\displaystyle g_{i}={\frac {1}{1+k_{i}zg_{i+1}}},}$

Entonces

${\displaystyle g_{1}={\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+k_{1}zg_{2}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+k_{2}zg_{3}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+k_{3}zg_{4}}}}}}}=\cdots .\ }$

Repetir esto hasta el infinito produce la expresión de fracción continua

${\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+{\cfrac {k_{3}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}$

En la fracción continua de Gauss, las funciones son funciones hipergeométricas de la forma , , y , y las ecuaciones surgen como identidades entre funciones donde los parámetros difieren en cantidades enteras. Estas identidades se pueden demostrar de varias maneras, por ejemplo, desarrollando la serie y comparando coeficientes, o tomando la derivada de varias maneras y eliminándola de las ecuaciones generadas. ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$ ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$

La serie0F1

El caso más simple implica

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(a;z)=1+{\frac {1}{a\,1!}}z+{\frac {1}{a(a+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {1}{a(a+1)(a+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .}$

Empezando por la identidad

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(a-1;z)-\,_{0}F_{1}(a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\,_{0}F_{1}(a+1;z),}$

podemos tomar

${\displaystyle f_{i}={}_{0}F_{1}(a+i;z),\,k_{i}={\tfrac {1}{(a+i)(a+i-1)}},}$

donación

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {1}{a(a+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+1)(a+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}$

o

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{a\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{a+{\cfrac {z}{(a+1)+{\cfrac {z}{(a+2)+{\cfrac {z}{(a+3)+{}\ddots }}}}}}}}.}$

Esta expansión converge a la función meromórfica definida por la relación de las dos series convergentes (siempre que, por supuesto, a no sea cero ni un entero negativo).

La serie1F1

El siguiente caso involucra

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=1+{\frac {a}{b\,1!}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}}z^{3}+\cdots }$

para lo cual las dos identidades

${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

se utilizan alternativamente.

Dejar

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}(a;b;z),}$

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),}$

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+2;z),}$

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+3;z),}$

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+4;z),}$

etc.

Esto da donde , produciendo ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$ ${\displaystyle k_{1}={\tfrac {a-b}{b(b+1)}},k_{2}={\tfrac {a+1}{(b+1)(b+2)}},k_{3}={\tfrac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}},k_{4}={\tfrac {a+2}{(b+3)(b+4)}}}$

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a-b}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

o

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {(a-b)z}{(b+1)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a+2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Similarmente

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

o

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {az}{(b+1)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a-b-2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Dado que , al establecer a en 0 y reemplazar b  + 1 con b en la primera fracción continua se obtiene un caso especial simplificado: ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(0;b;z)=1}$

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(1;b;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{b+{\cfrac {z}{(b+1)+{\cfrac {-bz}{(b+2)+{\cfrac {2z}{(b+3)+{\cfrac {-(b+1)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

La serie2F1

El caso final involucra

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .\,}$

Nuevamente se utilizan dos identidades alternativamente.

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z),}$

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z).}$

Se trata esencialmente de la misma identidad con a y b intercambiados.

Dejar

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z),}$

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+2;z),}$

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1;c+3;z),}$

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z),}$

etc.

Esto da como resultado donde , produciendo ^[6] ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$ ${\displaystyle k_{1}={\tfrac {(a-c)b}{c(c+1)}},k_{2}={\tfrac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}},k_{3}={\tfrac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},k_{4}={\tfrac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}}$

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

o

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{c{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{c+{\cfrac {(a-c)bz}{(c+1)+{\cfrac {(b-c-1)(a+1)z}{(c+2)+{\cfrac {(a-c-1)(b+1)z}{(c+3)+{\cfrac {(b-c-2)(a+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Dado que , al establecer a en 0 y reemplazar c  + 1 por c se obtiene un caso especial simplificado de la fracción continua: ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(0,b;c;z)=1}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(1,b;c;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{c+{\cfrac {(b-c)z}{(c+1)+{\cfrac {-c(b+1)z}{(c+2)+{\cfrac {2(b-c-1)z}{(c+3)+{\cfrac {-(c+1)(b+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

Propiedades de convergencia

En este apartado se excluyen los casos en que uno o más de los parámetros sean enteros negativos, ya que en estos casos o bien las series hipergeométricas están indefinidas o bien son polinomios por lo que la fracción continua termina. También se excluyen otras excepciones triviales.

En los casos y , las series convergen en todas partes, por lo que la fracción del lado izquierdo es una función meromórfica . Las fracciones continuas del lado derecho convergerán uniformemente en cualquier conjunto cerrado y acotado que no contenga polos de esta función. ^[7] ${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$

En el caso , el radio de convergencia de la serie es 1 y la fracción del lado izquierdo es una función meromórfica dentro de este círculo. Las fracciones continuas del lado derecho convergerán a la función en todos los puntos dentro de este círculo. ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$

Fuera del círculo, la fracción continua representa la continuación analítica de la función en el plano complejo con el eje real positivo, desde +1 hasta el punto en el infinito eliminado. En la mayoría de los casos, +1 es un punto de ramificación y la línea desde +1 hasta el infinito positivo es un corte de ramificación para esta función. La fracción continua converge a una función meromórfica en este dominio, y converge uniformemente en cualquier subconjunto cerrado y acotado de este dominio que no contenga ningún polo. ^[8]

Aplicaciones

La serie0F1

Tenemos

${\displaystyle \cosh(z)=\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}$

${\displaystyle \sinh(z)=z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}$

entonces

${\displaystyle \tanh(z)={\frac {z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}{\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}}={\cfrac {z/2}{{\tfrac {1}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {3}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {5}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {7}{2}}+{}\ddots }}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {z^{2}}{5+{\cfrac {z^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}.}$

Esta expansión particular se conoce como fracción continua de Lambert y se remonta a 1768. ^[9]

De ello se deduce fácilmente que

${\displaystyle \tan(z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{3-{\cfrac {z^{2}}{5-{\cfrac {z^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}.}$

La expansión de tanh se puede utilizar para demostrar que e ⁿ es irracional para cada entero n distinto de cero (lo que lamentablemente no es suficiente para demostrar que e es trascendental ). La expansión de tan fue utilizada tanto por Lambert como por Legendre para demostrar que π es irracional .

La función de Bessel se puede escribir ${\displaystyle J_{\nu }}$

${\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {({\tfrac {1}{2}}z)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\,_{0}F_{1}(\nu +1;-{\frac {z^{2}}{4}}),}$

De lo cual se sigue

${\displaystyle {\frac {J_{\nu }(z)}{J_{\nu -1}(z)}}={\cfrac {z}{2\nu -{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +1)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +2)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +3)-{}\ddots }}}}}}}}.}$

Estas fórmulas también son válidas para cada complejo z .

La serie1F1

Desde , ${\displaystyle e^{z}={}_{1}F_{1}(1;1;z)}$ ${\displaystyle 1/e^{z}=e^{-z}}$

${\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{1+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {-z}{3+{\cfrac {2z}{4+{\cfrac {-2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {-z}{2+{\cfrac {z}{3+{\cfrac {-2z}{4+{\cfrac {2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}.}$

Con cierta manipulación, esto se puede utilizar para demostrar la representación simple de fracción continua de e ,

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

La función de error erf ( z ), dada por

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt,}$

También se puede calcular en términos de la función hipergeométrica de Kummer:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}\,_{1}F_{1}(1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};z^{2}).}$

Aplicando la fracción continua de Gauss, se puede obtener una expansión útil válida para todo número complejo z : ^[10]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{{\frac {3}{2}}+{\cfrac {z^{2}}{{\frac {5}{2}}-{\cfrac {{\frac {3}{2}}z^{2}}{{\frac {7}{2}}+{\cfrac {2z^{2}}{{\frac {9}{2}}-{\cfrac {{\frac {5}{2}}z^{2}}{{\frac {11}{2}}+{\cfrac {3z^{2}}{{\frac {13}{2}}-{\cfrac {{\frac {7}{2}}z^{2}}{{\frac {15}{2}}+-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Se puede hacer un argumento similar para derivar expansiones de fracciones continuas para las integrales de Fresnel , para la función de Dawson y para la función gamma incompleta . Una versión más simple del argumento produce dos expansiones de fracciones continuas útiles de la función exponencial . ^[11]

La serie2F1

De

${\displaystyle (1-z)^{-b}={}_{1}F_{0}(b;;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z),}$

${\displaystyle (1-z)^{-b}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{1+{\cfrac {(b-1)z}{2+{\cfrac {-(b+1)z}{3+{\cfrac {2(b-2)z}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Se demuestra fácilmente ^[12] que la expansión de la serie de Taylor de arctan  z en un entorno de cero está dada por

${\displaystyle \arctan z=zF({\scriptstyle {\frac {1}{2}}},1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};-z^{2}).}$

La fracción continua de Gauss se puede aplicar a esta identidad, obteniendo la expansión

${\displaystyle \arctan z={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}},}$

que converge a la rama principal de la función tangente inversa en el plano complejo de corte, con el corte extendiéndose a lo largo del eje imaginario desde i hasta el punto en el infinito, y desde − i hasta el punto en el infinito. ^[13]

Esta fracción continua particular converge con bastante rapidez cuando z = 1, dando el valor π/4 con siete decimales en el noveno convergente. La serie correspondiente

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\pm \cdots }$

converge mucho más lentamente, y se necesitan más de un millón de términos para obtener una precisión de siete decimales. ^[14]

Se pueden utilizar variaciones de este argumento para producir expansiones de fracciones continuas para el logaritmo natural , la función arcoseno y la serie binomial generalizada .

Notas

1. Jones y Thron (1980) pág. 5
2. CF Gauss (1813), Werke, vol. 3 págs. 134–38.
3. B. Riemann (1863), "Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione continua infinita" en Werke . págs. 400–406. (Fragmento póstumo).
4. LW Thomé (1867), "Über die Kettenbruchentwicklung des Gauß'schen Quotienten ...", Jour. para matemáticas. vol. 67 págs. 299–309.
5. EB Van Vleck (1901), "Sobre la convergencia de la fracción continua de Gauss y otras fracciones continuas". Anales de Matemáticas , vol. 3 págs. 1–18.
6. Frank, E (1956). "Una nueva clase de desarrollos de fracciones continuas para las proporciones de funciones hipergeométricas". Trans. Am. Math. Soc . 81 (2): 453–476. JSTOR  1992927. MR  0076937.
7. Jones y Thron (1980) pág. 206
8. Muro, 1973 (pág. 339)
9. Muro (1973) pág. 349.
10. Jones y Trono (1980) p. 208.
11. Véase el ejemplo en el artículo Tabla de Padé para las expansiones de e ^z como fracciones continuas de Gauss.
12. PruebaWiki
13. Wall (1973) p. 343. Nótese que i y − i son puntos de ramificación para la función tangente inversa.
14. Jones y Trono (1980) p. 202.

Referencias

• Jones, William B.; Thron, WJ (1980). Fracciones continuas: teoría y aplicaciones . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. págs. 198-214. ISBN. 0-201-13510-8.
• Wall, HS (1973). Teoría analítica de fracciones continuas . Chelsea Publishing Company . Págs. 335–361. ISBN. 0-8284-0207-8.
  (Esta es una reimpresión del volumen publicado originalmente por D. Van Nostrand Company, Inc. , en 1948.)
• Weisstein, Eric W. "La fracción continua de Gauss". MathWorld .