Modelo de dispersión exponencial

Conjunto de distribuciones de probabilidad

En probabilidad y estadística , la clase de modelos de dispersión exponencial ( EDM ), también llamada familia de dispersión exponencial ( EDF ), es un conjunto de distribuciones de probabilidad que representa una generalización de la familia exponencial natural . ^{[1] [2] [3]} Los modelos de dispersión exponencial juegan un papel importante en la teoría estadística , en particular en los modelos lineales generalizados porque tienen una estructura especial que permite hacer deducciones sobre la inferencia estadística apropiada .

Definición

Caso univariado

Hay dos versiones para formular un modelo de dispersión exponencial.

Modelo de dispersión exponencial aditiva

En el caso univariado, una variable aleatoria de valor real pertenece al modelo de dispersión exponencial aditiva con parámetro canónico y parámetro de índice , , si su función de densidad de probabilidad se puede escribir como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X\sim \mathrm {ED} ^{*}(\theta ,\lambda )}$

${\displaystyle f_{X}(x\mid \theta ,\lambda )=h^{*}(\lambda ,x)\exp \left(\theta x-\lambda A(\theta )\right)\,\!.}$

Modelo de dispersión exponencial reproductiva

La distribución de la variable aleatoria transformada se denomina modelo de dispersión exponencial reproductiva , y viene dada por ${\displaystyle Y={\frac {X}{\lambda }}}$ ${\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle f_{Y}(y\mid \mu ,\sigma ^{2})=h(\sigma ^{2},y)\exp \left({\frac {\theta y-A(\theta )}{\sigma ^{2}}}\right)\,\!,}$

con y , lo que implica . La terminología modelo de dispersión se deriva de interpretar como parámetro de dispersión . Para un parámetro fijo , es una familia exponencial natural . ${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{\lambda }}}$ ${\displaystyle \mu =A'(\theta )}$ ${\displaystyle \theta =(A')^{-1}(\mu )}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$

Caso multivariado

En el caso multivariado, la variable aleatoria n -dimensional tiene una función de densidad de probabilidad de la siguiente forma ^[1] ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} |{\boldsymbol {\theta }},\lambda )=h(\lambda ,\mathbf {x} )\exp \left(\lambda ({\boldsymbol {\theta }}^{\top }\mathbf {x} -A({\boldsymbol {\theta }}))\right)\,\!,}$

donde el parámetro tiene la misma dimensión que . ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Propiedades

Función generadora de cumulantes

La función generadora de cumulante de está dada por ${\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle K(t;\mu ,\sigma ^{2})=\log \operatorname {E} [e^{tY}]={\frac {A(\theta +\sigma ^{2}t)-A(\theta )}{\sigma ^{2}}}\,\!,}$

con ${\displaystyle \theta =(A')^{-1}(\mu )}$

Media y varianza

La media y la varianza de se dan por ${\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle \operatorname {E} [Y]=\mu =A'(\theta )\,,\quad \operatorname {Var} [Y]=\sigma ^{2}A''(\theta )=\sigma ^{2}V(\mu )\,\!,}$

con función de varianza unitaria . ${\displaystyle V(\mu )=A''((A')^{-1}(\mu ))}$

Reproductivo

Si son iid con , es decir, misma media y diferentes pesos , la media ponderada es nuevamente una con ${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$ ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{w_{i}}}\right)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {ED} }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}Y_{i}}{w_{\bullet }}}\sim \mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{w_{\bullet }}}\right)\,\!,}$

con . Por lo tanto se llaman reproductivos . ${\displaystyle w_{\bullet }=\sum _{i=1}^{n}w_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$

Desviación unitaria

La función de densidad de probabilidad de un también se puede expresar en términos de la desviación unitaria como ${\displaystyle \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle d(y,\mu )}$

${\displaystyle f_{Y}(y\mid \mu ,\sigma ^{2})={\tilde {h}}(\sigma ^{2},y)\exp \left(-{\frac {d(y,\mu )}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\!,}$

donde la desviación unitaria toma la forma especial o en términos de la función de desviación unitaria como . ${\displaystyle d(y,\mu )=yf(\mu )+g(\mu )+h(y)}$ ${\displaystyle d(y,\mu )=2\int _{\mu }^{y}\!{\frac {y-t}{V(t)}}\,dt}$

Ejemplos

Muchas distribuciones de probabilidad muy comunes pertenecen a la clase de EDM, entre ellas se encuentran: distribución normal , distribución binomial , distribución de Poisson , distribución binomial negativa , distribución gamma , distribución gaussiana inversa y distribución Tweedie .

Referencias

1. Jørgensen, B. (1987). Modelos de dispersión exponencial (con discusión). Journal of the Royal Statistical Society , Serie B, 49 (2), 127–162.
2. Jørgensen, B. (1992). La teoría de los modelos de dispersión exponencial y el análisis de la desviación. Monografias de matemática, no. 51.
3. Marriott, P. (2005) "Mezclas locales y modelos de dispersión exponencial" pdf