Proceso de Ornstein-Uhlenbeck

Modelado de procesos estocásticos: caminata aleatoria con fricción

Cinco simulaciones con θ = 1, σ = 1 y μ = 0.

Una simulación 3D con θ = 1, σ = 3, μ = (0, 0, 0) y la posición inicial (10, 10, 10).

En matemáticas, el proceso Ornstein-Uhlenbeck es un proceso estocástico con aplicaciones en matemáticas financieras y ciencias físicas. Su aplicación original en física fue como modelo para la velocidad de una partícula browniana masiva bajo la influencia de la fricción. Recibe su nombre en honor a Leonard Ornstein y George Eugene Uhlenbeck .

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un proceso de Gauss-Markov estacionario , lo que significa que es un proceso gaussiano , un proceso de Markov y es homogéneo en el tiempo. De hecho, es el único proceso no trivial que satisface estas tres condiciones, hasta el punto de permitir transformaciones lineales de las variables espacio-temporales. ^[1] Con el tiempo, el proceso tiende a desviarse hacia su función media: un proceso de este tipo se denomina reversión a la media .

El proceso puede considerarse una modificación del paseo aleatorio en tiempo continuo , o proceso de Wiener , en el que las propiedades del proceso han cambiado de modo que existe una tendencia del paseo a retroceder hacia una ubicación central, con una mayor atracción cuando el proceso está más alejado del centro. El proceso de Ornstein-Uhlenbeck también puede considerarse como el análogo en tiempo continuo del proceso AR(1) en tiempo discreto .

Definición

Fórmula simplificada para el proceso Ornstein-Uhlenbeck del mural que se muestra a continuación.

Colectivo de artistas holandeses De Strakke Hand: mural de Leonard Ornstein, que muestra a Ornstein como cofundador de la Sociedad Holandesa de Física ( Netherlands Physical Society ) en su escritorio en 1921, e ilustra dos veces el paseo aleatorio de un borracho con una fórmula simplificada para el proceso Ornstein-Uhlenbeck. Oosterkade, Utrecht, Países Bajos, no lejos del laboratorio de Ornstein. Texto traducido: El profesor Ornstein investiga el movimiento aleatorio, 1930.

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck se define mediante la siguiente ecuación diferencial estocástica : ${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

donde y son parámetros y denota el proceso de Wiener . ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle \theta >0}$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle W_{t}}$

A veces se añade un término de deriva adicional:

${\displaystyle dx_{t}=\theta (\mu -x_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

donde es una constante. El proceso de Ornstein-Uhlenbeck a veces también se escribe como una ecuación de Langevin de la forma ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {dx_{t}}{dt}}=-\theta \,x_{t}+\sigma \,\eta (t)}$

donde , también conocido como ruido blanco , representa la supuesta derivada del proceso de Wiener. ^[5] Sin embargo, no existe porque el proceso de Wiener no es diferenciable en ninguna parte, ^[6] y por lo tanto la ecuación de Langevin solo tiene sentido si se interpreta en sentido distributivo. En las disciplinas de física e ingeniería, es una representación común para el proceso de Ornstein-Uhlenbeck y ecuaciones diferenciales estocásticas similares al asumir tácitamente que el término de ruido es una derivada de una interpolación diferenciable (por ejemplo, de Fourier) del proceso de Wiener. ${\displaystyle \eta (t)}$ ${\displaystyle dW_{t}/dt}$ ${\displaystyle dW_{t}/dt}$

Representación de la ecuación de Fokker-Planck

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck también se puede describir en términos de una función de densidad de probabilidad, , que especifica la probabilidad de encontrar el proceso en el estado en el tiempo . ^[5] Esta función satisface la ecuación de Fokker-Planck ${\displaystyle P(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}(xP)+D{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}}$

donde . Esta es una ecuación diferencial parcial parabólica lineal que se puede resolver mediante una variedad de técnicas. La probabilidad de transición, también conocida como función de Green , es una función gaussiana con media y varianza : ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2}$ ${\displaystyle P(x,t\mid x',t')}$ ${\displaystyle x'e^{-\theta (t-t')}}$ ${\displaystyle {\frac {D}{\theta }}\left(1-e^{-2\theta (t-t')}\right)}$

${\displaystyle P(x,t\mid x',t')={\sqrt {\frac {\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta (t-t')})}}}\exp \left[-{\frac {\theta }{2D}}{\frac {(x-x'e^{-\theta (t-t')})^{2}}{1-e^{-2\theta (t-t')}}}\right]}$

Esto da la probabilidad de que el estado ocurra en el momento dado el estado inicial en el momento . Equivalentemente, es la solución de la ecuación de Fokker-Planck con condición inicial . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle t'<t}$ ${\displaystyle P(x,t\mid x',t')}$ ${\displaystyle P(x,t')=\delta (x-x')}$

Propiedades matemáticas

Condicionada a un valor particular de , la media es ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } (x_{t}\mid x_{0})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})}$

y la covarianza es

${\displaystyle \operatorname {cov} (x_{s},x_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).}$

Para el proceso estacionario (no condicionado), la media de es , y la covarianza de y es . ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}e^{-\theta |t-s|}}$

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un ejemplo de un proceso gaussiano que tiene una varianza acotada y admite una distribución de probabilidad estacionaria , en contraste con el proceso de Wiener ; la diferencia entre los dos está en su término de "deriva". Para el proceso de Wiener, el término de deriva es constante, mientras que para el proceso de Ornstein-Uhlenbeck depende del valor actual del proceso: si el valor actual del proceso es menor que la media (a largo plazo), la deriva será positiva; si el valor actual del proceso es mayor que la media (a largo plazo), la deriva será negativa. En otras palabras, la media actúa como un nivel de equilibrio para el proceso. Esto le da al proceso su nombre informativo, "reversión a la media".

Propiedades de las rutas de muestra

Un proceso Ornstein-Uhlenbeck temporalmente homogéneo se puede representar como un proceso Wiener escalado y transformado en el tiempo :

${\displaystyle x_{t}={\frac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}e^{-\theta t}W_{e^{2\theta t}}}$

donde es el proceso estándar de Wiener. Esto es aproximadamente el Teorema 1.2 en Doob 1942. Equivalentemente, con el cambio de variable esto se convierte en ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle s=e^{2\theta t}}$

${\displaystyle W_{s}={\frac {\sqrt {2\theta }}{\sigma }}s^{1/2}x_{(\ln s)/(2\theta )},\qquad s>0}$

Con esta función, se pueden traducir las propiedades conocidas de en enunciados correspondientes para . Por ejemplo, la ley del logaritmo iterado para se convierte en ^[1] ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle \limsup _{t\to \infty }{\frac {x_{t}}{\sqrt {(\sigma ^{2}/\theta )\ln t}}}=1,\quad {\text{with probability 1.}}}$

Solución formal

La ecuación diferencial estocástica para se puede resolver formalmente mediante la variación de parámetros . ^[7] Escritura ${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle f(x_{t},t)=x_{t}e^{\theta t}\,}$

Nosotros conseguimos

${\displaystyle {\begin{aligned}df(x_{t},t)&=\theta \,x_{t}\,e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dx_{t}\\[6pt]&=e^{\theta t}\theta \,\mu \,dt+\sigma \,e^{\theta t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$

Integrando de a obtenemos ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle x_{t}e^{\theta t}=x_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \,\mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma \,e^{\theta s}\,dW_{s}\,}$

con lo cual vemos

${\displaystyle x_{t}=x_{0}\,e^{-\theta t}+\mu \,(1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}\,dW_{s}.\,}$

A partir de esta representación, se demuestra que el primer momento (es decir, la media) es

${\displaystyle \operatorname {E} (x_{t})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})\!\ }$

Suponiendo que es constante, la isometría de Itō se puede utilizar para calcular la función de covarianza mediante ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (x_{s},x_{t})&=\operatorname {E} [(x_{s}-\operatorname {E} [x_{s}])(x_{t}-\operatorname {E} [x_{t}])]\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta \min(s,t)}-1)\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).\end{aligned}}}$

Dado que la integral de Itô del integrando determinista se distribuye normalmente, se deduce que ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle x_{t}=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+{\tfrac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}W_{1-e^{-2\theta t}}}$

Ecuaciones de Kolmogorov

El generador infinitesimal del proceso es ^[8] Si dejamos , entonces la ecuación de valores propios se simplifica a: que es la ecuación definitoria de los polinomios de Hermite . Sus soluciones son , con , lo que implica que el tiempo medio de primer paso para que una partícula golpee un punto en el límite es del orden de . $${\displaystyle Lf=-\theta (x-\mu )f'+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}f''}$$ ${\displaystyle y=x{\sqrt {\frac {2\mu }{\sigma ^{2}}}}}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\phi -y{\frac {d}{dy}}\phi +{\frac {\lambda }{\mu }}\phi =0}$$ ${\displaystyle \phi (y)=He_{n}(y)}$ ${\displaystyle \lambda =n\mu }$ ${\displaystyle \mu ^{-1}}$

Simulación numérica

Al utilizar datos muestreados discretamente en intervalos de tiempo de ancho , los estimadores de máxima verosimilitud para los parámetros del proceso de Ornstein-Uhlenbeck son asintóticamente normales a sus valores verdaderos. ^[9] Más precisamente, ^{[ verificación fallida ]} ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\begin{pmatrix}{\widehat {\theta }}_{n}\\{\widehat {\mu }}_{n}\\{\widehat {\sigma }}_{n}^{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\theta \\\mu \\\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\right)\xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}\left({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {e^{2t\theta }-1}{t^{2}}}&0&{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}\\0&{\frac {\sigma ^{2}\left(e^{t\theta }+1\right)}{2\left(e^{t\theta }-1\right)\theta }}&0\\{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}&0&{\frac {\sigma ^{4}\left[\left(e^{2t\theta }-1\right)^{2}+2t^{2}\theta ^{2}\left(e^{2t\theta }+1\right)+4t\theta \left(e^{2t\theta }-1\right)\right]}{t^{2}\left(e^{2t\theta }-1\right)\theta ^{2}}}\end{pmatrix}}\right)}$$

Cuatro rutas de muestra de diferentes procesos OU con θ  = 1, σ  =  : azul : valor inicial a  = 10, μ  = 0 naranja : valor inicial a  = 0, μ  = 0 verde : valor inicial a  = −10, μ  = 0 rojo : valor inicial a  = 0, μ  = −10 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Para simular numéricamente un proceso OU con desviación estándar y tiempo de correlación , un método es aplicar la fórmula de diferencias finitas. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \tau =1/\Theta }$

$${\displaystyle x(t+dt)=x(t)-\Theta \,dt\,x(t)+\Sigma {\sqrt {2\,dt\,\Theta }}\nu _{i}}$$donde es un número aleatorio distribuido normalmente con media cero y varianza unitaria, muestreado independientemente en cada paso de tiempo . ^[10] ${\displaystyle \nu _{i}}$ ${\displaystyle dt}$

Interpretación del límite de escala

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck puede interpretarse como un límite de escala de un proceso discreto, de la misma manera que el movimiento browniano es un límite de escala de los paseos aleatorios . Consideremos una urna que contiene bolas azules y amarillas. En cada paso se elige una bola al azar y se reemplaza por una bola del color opuesto. Sea el número de bolas azules en la urna después de los pasos. Entonces converge en ley a un proceso de Ornstein-Uhlenbeck como tiende al infinito. Esto fue obtenido por Mark Kac . ^[11] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle n}$

Heurísticamente esto se puede obtener de la siguiente manera.

Sea , y obtendremos la ecuación diferencial estocástica en el límite. Primero deduzcamos Con esto, podemos calcular la media y la varianza de , que resulta ser y . Por lo tanto, en el límite, tenemos , con solución (asumiendo que la distribución es normal estándar) . ${\displaystyle X_{t}^{(n)}:={\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle \Delta t=1/n,\quad \Delta X_{t}^{(n)}=X_{t+\Delta t}^{(n)}-X_{t}^{(n)}.}$$ ${\displaystyle \Delta X_{t}^{(n)}}$ ${\displaystyle -2X_{t}^{(n)}\Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle dX_{t}=-2X_{t}\,dt+dW_{t}}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{t}=e^{-2t}W_{e^{4t}}}$

Aplicaciones

En física: relajación ruidosa

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un prototipo de un proceso de relajación ruidosa . Un ejemplo canónico es un resorte de Hooke ( oscilador armónico ) con constante de resorte cuya dinámica está sobreamortiguada con coeficiente de fricción . En presencia de fluctuaciones térmicas con la temperatura , la longitud del resorte fluctúa alrededor de la longitud de reposo del resorte ; su dinámica estocástica se describe mediante un proceso de Ornstein-Uhlenbeck con ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=k/\gamma ,\\\mu &=x_{0},\\\sigma &={\sqrt {2k_{B}T/\gamma }},\end{aligned}}}$

donde se deriva de la ecuación de Stokes-Einstein para la constante de difusión efectiva. ^{[12] [13]} Este modelo se ha utilizado para caracterizar el movimiento de una partícula browniana en una trampa óptica . ^{[13] [14]} ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2=k_{B}T/\gamma }$

En equilibrio, el resorte almacena una energía promedio de acuerdo con el teorema de equipartición . ^[15] ${\displaystyle \langle E\rangle =k\langle (x-x_{0})^{2}\rangle /2=k_{B}T/2}$

En matemáticas financieras

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck se utiliza en el modelo de Vasicek de la tasa de interés. ^[16] El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es uno de los varios enfoques utilizados para modelar (con modificaciones) las tasas de interés, los tipos de cambio de divisas y los precios de las materias primas de forma estocástica. El parámetro representa el valor de equilibrio o medio respaldado por los fundamentos ; el grado de volatilidad a su alrededor causado por los shocks y la velocidad a la que estos shocks se disipan y la variable vuelve a la media. Una aplicación del proceso es una estrategia comercial conocida como comercio de pares . ^{[17] [18] [19]} ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta }$

Marcello Minenna ha desarrollado una implementación adicional del proceso Ornstein-Uhlenbeck para modelar el rendimiento de las acciones bajo una dinámica de distribución lognormal . Este modelo tiene como objetivo determinar el intervalo de confianza para predecir los fenómenos de abuso de mercado . ^{[20] [21]}

En biología evolutiva

El proceso Ornstein-Uhlenbeck se ha propuesto como una mejora del modelo de movimiento browniano para modelar el cambio en los fenotipos de los organismos a lo largo del tiempo. ^[22] Un modelo de movimiento browniano implica que el fenotipo puede moverse sin límite, mientras que para la mayoría de los fenotipos la selección natural impone un costo por moverse demasiado en cualquier dirección. Un metaanálisis de 250 series temporales de fenotipos fósiles mostró que un modelo Ornstein-Uhlenbeck era el que mejor se ajustaba a 115 (46%) de las series temporales examinadas, lo que respalda la estasis como un patrón evolutivo común. ^[23] Dicho esto, existen ciertos desafíos para su uso: los mecanismos de selección de modelos a menudo están sesgados a favor de un proceso OU sin el apoyo suficiente, y la mala interpretación es fácil para el científico de datos desprevenido. ^[24]

Generalizaciones

Es posible definir un proceso Ornstein-Uhlenbeck impulsado por Lévy , en el que el proceso impulsor de fondo es un proceso de Lévy en lugar de un proceso de Wiener: ^{[25] [26]}

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dL_{t}}$

Aquí, el diferencial del proceso de Wiener ha sido reemplazado por el diferencial de un proceso de Lévy . ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle L_{t}}$

Además, en finanzas se utilizan procesos estocásticos donde la volatilidad aumenta para valores mayores de . En particular, el proceso CKLS (Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders) ^[27] con el término de volatilidad reemplazado por se puede resolver en forma cerrada para , así como para , que corresponde al proceso OU convencional. Otro caso especial es , que corresponde al modelo Cox–Ingersoll–Ross (modelo CIR). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \,x^{\gamma }\,dW_{t}}$ ${\displaystyle \gamma =1}$ ${\displaystyle \gamma =0}$ ${\displaystyle \gamma =1/2}$

Dimensiones superiores

Una versión multidimensional del proceso de Ornstein-Uhlenbeck, denotada por el vector N -dimensional , se puede definir a partir de ${\displaystyle \mathbf {x} _{t}}$

${\displaystyle d\mathbf {x} _{t}=-{\boldsymbol {\beta }}\,\mathbf {x} _{t}\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t}.}$

donde es un proceso de Wiener N -dimensional, y y son matrices N × N constantes . ^[28] La solución es ${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\mathbf {x} _{0}+\int _{0}^{t}e^{-{\boldsymbol {\beta }}(t-t')}{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t'}}$

y la media es

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {x} _{t})=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\operatorname {E} (\mathbf {x} _{0}).}$

Estas expresiones hacen uso de la matriz exponencial .

El proceso también se puede describir en términos de la función de densidad de probabilidad , que satisface la ecuación de Fokker-Planck ^[29]. ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\sum _{i,j}\beta _{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(x_{j}P)+\sum _{i,j}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}.}$

donde la matriz con componentes está definida por . En cuanto al caso 1d, el proceso es una transformación lineal de variables aleatorias gaussianas y, por lo tanto, debe ser gaussiano. Debido a esto, la probabilidad de transición es una gaussiana que se puede escribir explícitamente. Si las partes reales de los valores propios de son mayores que cero, existe además una solución estacionaria, dada por ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ ${\displaystyle D_{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}/2}$ ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x} ',t')}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )=(2\pi )^{-N/2}(\det {\boldsymbol {\omega }})^{-1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{T}{\boldsymbol {\omega }}^{-1}\mathbf {x} \right)}$

donde la matriz se determina a partir de la ecuación de Lyapunov . ^[5] ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\beta }}^{T}=2{\boldsymbol {D}}}$

Véase también

• Cálculo estocástico
• Proceso de Wiener
• Proceso gaussiano
• Finanzas matemáticas
• El modelo de Vasicek de tasas de interés
• Modelo de tasa corta
• Difusión
• Teorema de fluctuación-disipación
• Ecuación de Klein-Kramers

Notas

1. Doob 1942.
2. Karatzas y Shreve 1991, pág. 358.
3. Gard 1988, pág. 115.
4. Gardiner 1985.
5. Riesgos 1989.
6. Lawler 2006.
7. Gardiner 1985, pág. 106.
8. Holmes-Cerfon, Miranda (2022). "Conferencia 12: Métodos detallados de equilibrio y funciones propias" (PDF) .
9. Aït-Sahalia 2002, págs. 223-262.
10. Kloeden, Platen y Schurz 1994.
11. Iglehart 1968.
12. Nørrelykke y Flyvbjerg 2011.
13. Goerlich et al. 2021.
14. Li y otros. 2019.
15. Nelson 1967.
16. Björk 2009, págs. 375, 381.
17. Leung y Li 2016.
18. Ventajas del trading en pares: Neutralidad del mercado
19. Un marco Ornstein-Uhlenbeck para el trading por pares
20. "Detección del abuso del mercado". Revista Risk. 2 de noviembre de 2004.
21. "La detección del abuso de mercado en los mercados financieros: un enfoque cuantitativo". Consob – Comisión Nacional del Mercado de Valores de Italia.
22. Martins 1994, págs. 193-209.
23. Caza 2007.
24. Cornuault 2022.
25. Jespersen, Metzler y Fogedby 1999.
26. Fink y Klüppelberg 2011.
27. Chan y otros 1992.
28. Gardiner 1985, pág. 109.
29. Gardiner 1985, pág. 97.

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Enlaces externos

• Un conjunto de herramientas de procesos estocásticos para la gestión de riesgos, Damiano Brigo, Antonio Dalessandro, Matthias Neugebauer y Fares Triki
• Simulación y calibración del proceso Ornstein-Uhlenbeck, MA van den Berg
• Estimación de máxima verosimilitud de procesos de reversión a la media, Jose Carlos Garcia Franco
• "Aplicación web interactiva: procesos estocásticos utilizados en finanzas cuantitativas". Archivado desde el original el 20 de septiembre de 2015. Consultado el 3 de julio de 2015 .