Generador infinitesimal (procesos estocásticos)

En matemáticas , específicamente en análisis estocástico , el generador infinitesimal de un proceso de Feller (es decir, un proceso de Markov de tiempo continuo que satisface ciertas condiciones de regularidad) es un operador multiplicador de Fourier ^[1] que codifica una gran cantidad de información sobre el proceso.

El generador se utiliza en ecuaciones de evolución como la ecuación hacia atrás de Kolmogorov , que describe la evolución de las estadísticas del proceso; su adjunto L 2 hermitiano se utiliza en ecuaciones de evolución como la ecuación de Fokker-Planck , también conocida como ecuación directa de Kolmogorov, que describe la evolución de las funciones de densidad de probabilidad del proceso.

La ecuación directa de Kolmogorov en la notación es justa , donde es la función de densidad de probabilidad y es el adjunto del generador infinitesimal del proceso estocástico subyacente. La ecuación de Klein-Kramers es un caso especial de esto. ${\displaystyle \partial _{t}\rho ={\mathcal {A}}^{*}\rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$

Definición

Caso general

Para un proceso de Feller con semigrupo de Feller y espacio de estados definimos el generador ^[1] por ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle T=(T_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (A,D(A))}$

$${\displaystyle D(A)=\left\{f\in C_{0}(E):\lim _{t\downarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}}{\text{ exists as uniform limit}}\right\},}$$

$${\displaystyle Af=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}},~~{\text{ for any }}f\in D(A).}$$

funciones de prueba^[1] ${\displaystyle C_{0}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle T_{t}f(x)=\mathbb {E} ^{x}f(X_{t})=\mathbb {E} (f(X_{t})|X_{0}=x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle D(A)}$

$${\displaystyle Af(x)=-c(x)f(x)+l(x)\cdot \nabla f(x)+{\frac {1}{2}}{\text{div}}Q(x)\nabla f(x)+\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus {\{0\}}}\left(f(x+y)-f(x)-\nabla f(x)\cdot y\chi (|y|)\right)N(x,dy),}$$

triplete de Lévy ${\displaystyle c(x)\geq 0}$ ${\displaystyle (l(x),Q(x),N(x,\cdot ))}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

Procesos de Levy

El generador del semigrupo de Lévy es de la forma

$${\displaystyle Af(x)=l\cdot \nabla f(x)+{\frac {1}{2}}{\text{div}}Q\nabla f(x)+\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus {\{0\}}}\left(f(x+y)-f(x)-\nabla f(x)\cdot y\chi (|y|)\right)\nu (dy)}$$

${\displaystyle l\in \mathbb {R} ^{d},Q\in \mathbb {R} ^{d\times d}}$ ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}\min(|y|^{2},1)\nu (dy)<\infty }$$

${\displaystyle 0\leq 1-\chi (s)\leq \kappa \min(s,1)}$ ${\displaystyle \kappa >0}$ ${\displaystyle s\chi (s)}$

$${\displaystyle \psi (\xi )=\psi (0)-il\cdot \xi +{\frac {1}{2}}\xi \cdot Q\xi +\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}(1-e^{iy\cdot \xi }+i\xi \cdot y\chi (|y|))\nu (dy)}$$

${\displaystyle \psi (0)\geq 0}$

$${\displaystyle Af(x)=-\int e^{ix\cdot \xi }\psi (\xi ){\hat {f}}(\xi )d\xi }$$

${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle -\psi }$

Ecuaciones diferenciales estocásticas impulsadas por procesos de Lévy

Sea un proceso de Lévy con símbolo (ver arriba). Sea localmente Lipschitz y acotado. La solución del SDE existe para cada condición inicial determinista y produce un proceso de Feller con símbolo ${\textstyle L}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle dX_{t}=\Phi (X_{t-})dL_{t}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle q(x,\xi )=\psi (\Phi ^{\top }(x)\xi ).}$

Tenga en cuenta que, en general, la solución de una SDE impulsada por un proceso de Feller que no sea Lévy podría no ser Feller o incluso Markoviano.

Como ejemplo simple, considere un ruido de conducción de movimiento browniano. Si asumimos que somos Lipschitz y de crecimiento lineal, entonces para cada condición inicial determinista existe una solución única, la cual es Feller con símbolo ${\textstyle dX_{t}=l(X_{t})dt+\sigma (X_{t})dW_{t}}$ ${\displaystyle l,\sigma }$

$${\displaystyle q(x,\xi )=-il(x)\cdot \xi +{\frac {1}{2}}\xi Q(x)\xi .}$$

Tiempo medio del primer paso

El tiempo medio del primer paso satisface . Esto se puede utilizar para calcular, por ejemplo, el tiempo que tarda una partícula con movimiento browniano en una caja en alcanzar el límite de la caja, o el tiempo que tarda una partícula con movimiento browniano en un pozo potencial en escapar del pozo. Bajo ciertos supuestos, el tiempo de escape satisface la ecuación de Arrhenius . ^[2] ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}T_{1}=-1}$

Generadores de algunos procesos comunes.

Para cadenas de Markov de tiempo continuo de estado finito, el generador puede expresarse como una matriz de tasa de transición .

El proceso general de difusión n-dimensional tiene generador. ${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}}$

$${\displaystyle {\mathcal {A}}f=(\nabla f)^{T}\mu +tr((\nabla ^{2}f)D)}$$

hessianotraza de la matriz^[2] ${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sigma \sigma ^{T}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle tr}$

$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}f=-\sum _{i}\partial _{i}(f\mu _{i})+\sum _{ij}\partial _{ij}(fD_{ij})}$$

• El movimiento browniano estándar , que satisface la ecuación diferencial estocástica , tiene generador , donde denota el operador de Laplace . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dX_{t}=dB_{t}}$ ${\textstyle {1 \over {2}}\Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$
• El proceso bidimensional que satisface: ${\displaystyle Y}$
  $${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}={\mathrm {d} t \choose \mathrm {d} B_{t}}}$$
  donde es un movimiento browniano unidimensional, se puede considerar como la gráfica de ese movimiento browniano y tiene generador: ${\displaystyle B}$
  $${\displaystyle {\mathcal {A}}f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x)}$$
• El proceso de Ornstein-Uhlenbeck en , que satisface la ecuación diferencial estocástica , tiene generador: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle dX_{t}=\theta (\mu -X_{t})dt+\sigma dB_{t}}$
  $${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\theta (\mu -x)f'(x)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}f''(x)}$$
• De manera similar, la gráfica del proceso de Ornstein-Uhlenbeck tiene generador:
  $${\displaystyle {\mathcal {A}}f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)+\theta (\mu -x){\frac {\partial f}{\partial x}}(t,x)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x)}$$
• Un movimiento browniano geométrico en , que satisface la ecuación diferencial estocástica , tiene generador: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle dX_{t}=rX_{t}dt+\alpha X_{t}dB_{t}}$
  $${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=rxf'(x)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}x^{2}f''(x)}$$

Ver también

• La fórmula de Dynkin.

Referencias

• Calín, Ovidiu (2015). Una introducción informal al cálculo estocástico con aplicaciones . Singapur: World Scientific Publishing. pag. 315.ISBN​ 978-981-4678-93-3.(Ver Capítulo 9)
• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones . Universitext (Sexta ed.). Berlín: Springer. doi :10.1007/978-3-642-14394-6. ISBN 3-540-04758-1.(Ver Sección 7.3)

1. Böttcher, Björn; Schilling, René; Wang, Jian (2013). Lévy Matters III: Procesos tipo Lévy: construcción, aproximación y propiedades de ruta de muestra. Publicaciones internacionales Springer. ISBN 978-3-319-02683-1.
2. "Conferencia 10: Ecuaciones hacia adelante y hacia atrás para SDE" (PDF) . cims.nyu.edu .