Teorema de Basu

Teorema en estadística

En estadística , el teorema de Basu establece que cualquier estadística mínima suficiente y acotada es independiente de cualquier estadística auxiliar . Este es un resultado de 1955 de Debabrata Basu . ^[1]

Se utiliza a menudo en estadística como herramienta para demostrar la independencia de dos estadísticas, demostrando primero que una es completamente suficiente y la otra es auxiliar, y luego apelando al teorema. ^[2] Un ejemplo de esto es demostrar que la media muestral y la varianza muestral de una distribución normal son estadísticas independientes, lo que se hace en la sección de Ejemplos a continuación. Esta propiedad (independencia de la media muestral y la varianza muestral) caracteriza a las distribuciones normales.

Declaración

Sea una familia de distribuciones en un espacio medible y una estadística se aplica a algún espacio medible . Si es una estadística suficiente y acotadamente completa para , y es auxiliar a , entonces condicional a , es independiente de . Es decir, . ${\displaystyle (P_{\theta };\theta \in \Theta )}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T\perp \!\!\!\perp A|\theta }$

Prueba

Sean y las distribuciones marginales de y respectivamente. ${\displaystyle P_{\theta }^{T}}$ ${\displaystyle P_{\theta }^{A}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$

Denotemos por la preimagen de un conjunto bajo el mapa . Para cualquier conjunto medible tenemos ${\displaystyle A^{-1}(B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle P_{\theta }^{A}(B)=P_{\theta }(A^{-1}(B))=\int _{Y}P_{\theta }(A^{-1}(B)\mid T=t)\ P_{\theta }^{T}(dt).}$

La distribución no depende de porque es auxiliar. Asimismo, no depende de porque es suficiente. Por lo tanto ${\displaystyle P_{\theta }^{A}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{\theta }(\cdot \mid T=t)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \int _{Y}{\big [}P(A^{-1}(B)\mid T=t)-P^{A}(B){\big ]}\ P_{\theta }^{T}(dt)=0.}$

Nótese que el integrando (la función dentro de la integral) es una función de y no de . Por lo tanto, dado que es acotadamente completa, la función ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle g(t)=P(A^{-1}(B)\mid T=t)-P^{A}(B)}$

es cero para casi todos los valores de y por lo tanto ${\displaystyle P_{\theta }^{T}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle P(A^{-1}(B)\mid T=t)=P^{A}(B)}$

para casi todos . Por lo tanto, es independiente de . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$

Ejemplo

Independencia de la media muestral y de la varianza muestral de una distribución normal

Sean X ₁ , X ₂ , ..., X _n variables aleatorias normales independientes , idénticamente distribuidas, con media μ y varianza σ ² .

Luego, con respecto al parámetro μ , se puede demostrar que

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum X_{i}}{n}},}$

la media de la muestra es una estadística completa y suficiente – es toda la información que se puede derivar para estimar μ, y no más – y

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}},}$

La varianza de la muestra es una estadística auxiliar: su distribución no depende de μ.

Por lo tanto, del teorema de Basu se deduce que estas estadísticas son independientes condicionalmente a , condicionalmente a . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Este resultado de independencia también puede demostrarse mediante el teorema de Cochran .

Además, esta propiedad (que la media de la muestra y la varianza de la muestra de la distribución normal son independientes) caracteriza la distribución normal: ninguna otra distribución tiene esta propiedad. ^[3]

Notas

1. Basu (1955)
2. Ghosh, Malay; Mukhopadhyay, Nitis; Sen, Pranab Kumar (2011), Estimación secuencial, Wiley Series in Probability and Statistics, vol. 904, John Wiley & Sons, pág. 80, ISBN 9781118165911El siguiente teorema , creado por Basu... nos ayuda a demostrar la independencia entre ciertos tipos de estadísticas, sin derivar realmente las distribuciones conjuntas y marginales de las estadísticas involucradas. Esta es una herramienta muy poderosa y se utiliza a menudo...
3. Geary, RC (1936). "La distribución de la razón de "Student" para muestras no normales". Suplemento del Journal of the Royal Statistical Society . 3 (2): 178–184. doi :10.2307/2983669. JFM  63.1090.03. JSTOR  2983669.

Referencias

• Basu, D. (1955). "Sobre estadísticas independientes de una estadística completa y suficiente". Sankhyā . 15 (4): 377–380. JSTOR  25048259. MR  0074745. Zbl  0068.13401.
• Mukhopadhyay, Nitis (2000). Probabilidad e inferencia estadística . Estadística: una serie de libros de texto y monografías. 162. Florida: CRC Press USA. ISBN 0-8247-0379-0 . 
• Boos, Dennis D.; Oliver, Jacqueline M. Hughes (agosto de 1998). "Aplicaciones del teorema de Basu". The American Statistician . 52 (3): 218–221. doi :10.2307/2685927. JSTOR  2685927. MR  1650407.
• Ghosh, Malay (octubre de 2002). "Teorema de Basu con aplicaciones: una revisión personalista". Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Serie A. 64 ( 3): 509–531. JSTOR  25051412. MR  1985397.