Distribución inversa

En teoría de probabilidad y estadística , una distribución inversa es la distribución del recíproco de una variable aleatoria. Las distribuciones inversas surgen en particular en el contexto bayesiano de distribuciones anteriores y distribuciones posteriores para parámetros de escala . En el álgebra de variables aleatorias , las distribuciones inversas son casos especiales de la clase de distribuciones de razón , en las que la variable aleatoria numeradora tiene una distribución degenerada .

Relación con la distribución original

En general, dada la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X con soporte estrictamente positivo, es posible encontrar la distribución del recíproco, Y = 1 / X. Si la distribución de X es continua con la función de densidad f ( x ) y la función de distribución acumulativa F ( x ), entonces la función de distribución acumulativa, G ( y ), del recíproco se encuentra observando que

${\displaystyle G(y)=\Pr(Y\leq y)=\Pr \left(X\geq {\frac {1}{y}}\right)=1-\Pr \left(X<{\frac {1}{y}}\right)=1-F\left({\frac {1}{y}}\right).}$

Luego, la función de densidad de Y se encuentra como la derivada de la función de distribución acumulativa:

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{y^{2}}}f\left({\frac {1}{y}}\right).}$

Ejemplos

Distribución recíproca

La distribución recíproca tiene una función de densidad de la forma ^[1]

${\displaystyle f(x)\propto x^{-1}\quad {\text{ for }}0<a<x<b,}$

donde significa "es proporcional a" . De ello se deduce que la distribución inversa en este caso es de la forma ${\displaystyle \propto \!\,}$

${\displaystyle g(y)\propto y^{-1}\quad {\text{ for }}0\leq b^{-1}<y<a^{-1},}$

que es nuevamente una distribución recíproca.

Distribución uniforme inversa

Si la variable aleatoria original X está distribuida uniformemente en el intervalo ( a , b ), donde a >0, entonces la variable recíproca Y = 1 / X tiene la distribución recíproca que toma valores en el rango ( b ⁻¹ , a ⁻¹ ), y la función de densidad de probabilidad en este rango es

${\displaystyle g(y)=y^{-2}{\frac {1}{b-a}},}$

y es cero en otros lugares.

La función de distribución acumulada del recíproco, dentro del mismo rango, es

${\displaystyle G(y)={\frac {b-y^{-1}}{b-a}}.}$

Por ejemplo, si X está distribuido uniformemente en el intervalo (0,1), entonces Y = 1 / X tiene densidad y función de distribución acumulativa cuando ${\displaystyle g(y)=y^{-2}}$ ${\displaystyle G(y)={1-y^{-1}}}$ ${\displaystyle y>1.}$

Distribución t inversa

Sea X una variable aleatoria t distribuida con k grados de libertad . Entonces su función de densidad es

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

La densidad de Y = 1 / X es

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{y^{2}\left(1+{\frac {1}{y^{2}k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

Con k = 1, las distribuciones de X y 1 /  X son idénticas ( X tiene entonces la distribución de Cauchy (0,1)). Si k > 1 entonces la distribución de 1/  X es bimodal . ^{[ cita necesaria ]}

Distribución normal recíproca

Si la variable sigue una distribución normal , entonces la inversa o recíproca sigue una distribución normal recíproca: ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle Y={\frac {1}{X}}}$

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma y^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1/y-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}$

Gráfica de la densidad de la inversa de la distribución normal estándar.

Si la variable X sigue una distribución normal estándar , entonces Y  = 1/ X sigue una distribución normal estándar recíproca , de cola pesada y bimodal , ^[2] con modas en y densidad ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ ${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle f(y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2y^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}y^{2}}}}$

y los momentos primero y de orden superior no existen. ^[2] Para tales distribuciones inversas y para distribuciones de razones , todavía se pueden definir probabilidades para intervalos, que pueden calcularse mediante simulación de Monte Carlo o, en algunos casos, utilizando la transformación de Geary-Hinkley. ^[3]

Sin embargo, en el caso más general de una función recíproca desplazada , para seguir una distribución normal general, entonces las estadísticas de media y varianza existen en un sentido de valor principal , si la diferencia entre el polo y la media tiene un valor real. La media de esta variable aleatoria transformada ( distribución normal desplazada recíproca ) es entonces, de hecho, la función de Dawson escalada : ^[4] ${\displaystyle 1/(p-B)}$ ${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sigma }}F\left({\frac {p-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).}$

Por el contrario, si el desplazamiento es puramente complejo, la media existe y es una función de Faddeeva escalada , cuya expresión exacta depende del signo de la parte imaginaria . En ambos casos, la varianza es una función simple de la media. ^[5] Por lo tanto, la varianza debe considerarse en el sentido de valor principal si es real, mientras que existe si la parte imaginaria de es distinta de cero. Tenga en cuenta que estas medias y varianzas son exactas, ya que no recurren a la linealización de la relación. La covarianza exacta de dos razones con un par de polos diferentes está disponible de manera similar. ^[6] El caso de la inversa de una variable normal compleja , desplazada o no, presenta características diferentes. ^[4] ${\displaystyle p-\mu }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (p-\mu )}$ ${\displaystyle p-\mu }$ ${\displaystyle p-\mu }$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle B}$

Distribución exponencial inversa

Si es una variable aleatoria distribuida exponencialmente con parámetro de tasa , entonces tiene la siguiente función de distribución acumulativa: para . Tenga en cuenta que el valor esperado de esta variable aleatoria no existe. La distribución exponencial recíproca encuentra utilidad en el análisis de sistemas de comunicaciones inalámbricas que se desvanecen. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle Y=1/X}$ ${\displaystyle F_{Y}(y)=e^{-\lambda /y}}$ ${\displaystyle y>0}$

Distribución de Cauchy inversa

Si X es una variable aleatoria con distribución de Cauchy ( μ , σ ), entonces 1/X es una variable aleatoria de Cauchy ( μ / C , σ / C ) donde C = μ ² + σ ² .

Distribución F inversa

Si X es una variable aleatoria distribuida F ( ν ₁ , ν ₂ ) , entonces 1 / X es una variable aleatoria F ( ν ₂ , ν _{1 ).}

Recíproco de distribución binomial

Si se distribuye según una distribución binomial con un número de intentos y una probabilidad de éxito, entonces no se conoce ninguna forma cerrada para la distribución recíproca. Sin embargo, podemos calcular la media de esta distribución. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle E\left[{\frac {1}{(1+X)}}\right]={\frac {1}{p(n+1)}}\left(1-(1-p)^{n+1}\right)}$

Se conoce una aproximación asintótica para los momentos no centrales de la distribución recíproca. ^[7]

${\displaystyle E[(1+X)^{a}]=O((np)^{-a})+o(n^{-a})}$

donde O() y o() son las funciones de orden grande y pequeña y es un número real. ${\displaystyle a}$

Recíproco de distribución triangular

Para una distribución triangular con límite inferior a , límite superior b y modo c , donde a  <  b y a  ≤  c  ≤  b , la media del recíproco viene dada por

${\displaystyle \mu ={\frac {2\left({\frac {a\,\mathrm {ln} \left({\frac {a}{c}}\right)}{a-c}}+{\frac {b\,\mathrm {ln} \left({\frac {c}{b}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}}$

y la varianza por

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2\left({\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {c}{a}}\right)}{a-c}}+{\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {b}{c}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}-\mu ^{2}}$.

Ambos momentos del recíproco sólo se definen cuando el triángulo no cruza el cero, es decir, cuando a , b y c son todos positivos o todos negativos.

Otras distribuciones inversas

Otras distribuciones inversas incluyen

distribución de chi cuadrado inversa

distribución gamma inversa

distribución inversa de Wishart

distribución gamma de matriz inversa

Aplicaciones

Las distribuciones inversas se utilizan ampliamente como distribuciones previas en la inferencia bayesiana para parámetros de escala.

Ver también

• Significado armonico
• Distribución de proporciones
• Distribuciones autorrecíprocas

Referencias

1. Hamming RW (1970) "Sobre la distribución de números", The Bell System Technical Journal 49(8) 1609–1625
2. Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy (1994). Distribuciones univariadas continuas, volumen 1 . Wiley. pag. 171.ISBN​ 0-471-58495-9.
3. Hayya, Jack ; Armstrong, Donald; Gressis, Nicolas (julio de 1975). "Una nota sobre la relación de dos variables normalmente distribuidas". Ciencias de la gestión . 21 (11): 1338-1341. doi :10.1287/mnsc.21.11.1338. JSTOR  2629897.
4. Lecomte, Christophe (mayo de 2013). "Estadísticas exactas de sistemas con incertidumbres: una teoría analítica de sistemas dinámicos estocásticos de rango uno". Revista de Sonido y Vibración . 332 (11): 2750–2776. doi :10.1016/j.jsv.2012.12.009.
5. Lecomte, Christophe (mayo de 2013). "Estadísticas exactas de sistemas con incertidumbres: una teoría analítica de sistemas dinámicos estocásticos de rango uno". Revista de Sonido y Vibración . 332 (11). Sección (4.1.1). doi :10.1016/j.jsv.2012.12.009.
6. Lecomte, Christophe (mayo de 2013). "Estadísticas exactas de sistemas con incertidumbres: una teoría analítica de sistemas dinámicos estocásticos de rango uno". Revista de Sonido y Vibración . 332 (11). Ecuación (39)-(40). doi :10.1016/j.jsv.2012.12.009.
7. Cribari-Neto F, Lopes García N, Vasconcellos KLP (2000) Una nota sobre momentos inversos de variables binomiales. Revista Brasileña de Econometría 20 (2)