Valor principal

Valores a lo largo de una rama de una función multivalor de modo que sea de valor único

En matemáticas , específicamente en análisis complejo , los valores principales de una función multivaluada son los valores a lo largo de una rama elegida de esa función , de modo que sea univaluada . Un caso simple surge al tomar la raíz cuadrada de un número real positivo . Por ejemplo, 4 tiene dos raíces cuadradas: 2 y −2; de estas, la raíz positiva, 2, se considera la raíz principal y se denota como ${\displaystyle {\sqrt {4}}.}$

Motivación

Considere la función logaritmo complejo log z . Se define como el número complejo w tal que

${\displaystyle e^{w}=z.}$

Ahora, por ejemplo, digamos que queremos encontrar el log i . Esto significa que queremos resolver

${\displaystyle e^{w}=i}$

para . El valor es una solución. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle i\pi /2}$

Sin embargo, existen otras soluciones, lo que se evidencia al considerar la posición de i en el plano complejo y en particular su argumento . Podemos rotar radianes en sentido antihorario desde 1 hasta llegar a i inicialmente, pero si rotamos otro radian más llegamos a i nuevamente. Por lo tanto, podemos concluir que también es una solución para log i . Queda claro que podemos agregar cualquier múltiplo de a nuestra solución inicial para obtener todos los valores para log i . ${\displaystyle \arg i}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle i(\pi /2+2\pi )}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Pero esto tiene una consecuencia que puede resultar sorprendente en comparación con funciones con valores reales: log i no tiene un valor definido. Para log z , tenemos

${\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right)=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \ z+2\pi k\right)}$

para un entero k , donde Arg z es el argumento (principal) de z definido para encontrarse en el intervalo . Cada valor de k determina lo que se conoce como una rama (o lámina ), un componente de un solo valor de la función logarítmica de múltiples valores. Cuando el foco está en una sola rama, a veces se utiliza un corte de rama ; en este caso, se eliminan los números reales no positivos del dominio de la función y se elimina como un posible valor para Arg z . Con este corte de rama, la función de una sola rama es continua y analítica en todas partes de su dominio. ${\displaystyle (-\pi ,\ \pi ]}$ ${\displaystyle \pi }$

La rama correspondiente a k = 0 se conoce como rama principal , y a lo largo de esta rama, los valores que toma la función se conocen como valores principales .

Caso general

En general, si f ( z ) tiene múltiples valores, la rama principal de f se denota

${\displaystyle \mathrm {pv} \,f(z)}$

de modo que para z en el dominio de f , pv f ( z ) es univaluado.

Valores principales de funciones estándar

Las funciones elementales de valor complejo pueden tener múltiples valores en algunos dominios. El valor principal de algunas de estas funciones se puede obtener descomponiendo la función en funciones más simples, con lo que el valor principal de las funciones simples es fácil de obtener.

Función logaritmo

Hemos examinado la función logaritmo arriba, es decir,

${\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right).}$

Ahora bien, arg z es intrínsecamente multivaluado. A menudo se define el argumento de algún número complejo como comprendido entre (exclusivo) e (inclusivo), por lo que tomamos este como el valor principal del argumento y escribimos la función de argumento en esta rama Arg z (con la A mayúscula inicial). Al usar Arg z en lugar de arg z , obtenemos el valor principal del logaritmo y escribimos ^[1] ${\displaystyle -\pi }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \mathrm {pv} \log {z}=\mathrm {Log} \,z=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \,z\right).}$

Raíz cuadrada

Para un número complejo el valor principal de la raíz cuadrada es: ${\displaystyle z=re^{i\phi }\,}$

${\displaystyle \mathrm {pv} {\sqrt {z}}=\exp \left({\frac {\mathrm {pv} \log z}{2}}\right)={\sqrt {r}}\,e^{i\phi /2}}$

con argumento A veces se introduce un corte de rama para que los números reales negativos no estén en el dominio de la función raíz cuadrada y se elimine la posibilidad de que ${\displaystyle -\pi <\phi \leq \pi .}$ ${\displaystyle \phi =\pi .}$

Funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas inversas

Las funciones trigonométricas inversas ( arcsin , arccos , arctan , etc.) y las funciones hiperbólicas inversas ( arsinh , arcosh , artanh , etc.) se pueden definir en términos de logaritmos y sus valores principales se pueden definir en términos de los valores principales del logaritmo.

Argumento complejo

Comparación de las funciones atan y atan2

El valor principal del argumento de un número complejo medido en radianes se puede definir como:

• valores en el rango ${\displaystyle [0,2\pi )}$
• valores en el rango ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Por ejemplo, muchos sistemas informáticos incluyen una función atan2( y , x ) . El valor de atan2(imaginary_part( z ), real_part( z )) estará en el intervalo. En comparación, atan y / x normalmente está en ${\displaystyle (-\pi ,\pi ].}$ ${\displaystyle ({\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}].}$

Véase también

• Sucursal principal
• Punto de ramificación

Referencias

1. Zill, Dennis; Shanahan, Patrick (2009). Un primer curso de análisis complejo con aplicaciones. Jones & Bartlett Learning. pág. 166. ISBN 978-0-7637-5772-4.