Distribución F

Distribución de probabilidad continua

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución F o F -ratio , también conocida como distribución F de Snedecor o distribución Fisher-Snedecor (en honor a Ronald Fisher y George W. Snedecor ), es una distribución de probabilidad continua que surge con frecuencia como la distribución nula de una estadística de prueba , más notablemente en el análisis de varianza ( ANOVA ) y otras pruebas F. ^{[2] [3] [4] [5]}

Definición

La distribución F con d ₁ y d ₂ grados de libertad es la distribución de

${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$

donde y son variables aleatorias independientes con distribuciones de chi-cuadrado con respectivos grados de libertad y . ${\textstyle U_{1}}$ ${\textstyle U_{2}}$ ${\textstyle d_{1}}$ ${\textstyle d_{2}}$

Se puede demostrar que la función de densidad de probabilidad (pdf) para X está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}$

para valores reales x > 0. Aquí está la función beta . En muchas aplicaciones, los parámetros d ₁ y d ₂ son números enteros positivos , pero la distribución está bien definida para valores reales positivos de estos parámetros. ${\displaystyle \mathrm {B} }$

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}$

donde I es la función beta incompleta regularizada .

La expectativa, la varianza y otros detalles sobre F( d ₁ , d ₂ ) se dan en el recuadro lateral; para d ₂  > 8, el exceso de curtosis es

${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}$

El momento k -ésimo de una distribución F( d ₁ , d ₂ ) existe y es finito solo cuando 2 k < d ₂ y es igual a

${\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.}$^[6]

La distribución F es una parametrización particular de la distribución beta prima , también llamada distribución beta de segundo tipo.

La función característica se enumera incorrectamente en muchas referencias estándar (por ejemplo, ^[3] ). La expresión correcta ^[7] es

${\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}$

donde U ( a , b , z ) es la función hipergeométrica confluente de segundo tipo.

Caracterización

Una variable aleatoria de la distribución F con parámetros y surge como la relación de dos variables de chi-cuadrado escaladas apropiadamente : ^[8] ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$

dónde

• ${\displaystyle U_{1}}$y tienen distribuciones de chi-cuadrado con y grados de libertad respectivamente, y ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$
• ${\displaystyle U_{1}}$y son independientes . ${\displaystyle U_{2}}$

En los casos en que se utiliza la distribución F , por ejemplo en el análisis de varianza , la independencia de y podría demostrarse aplicando el teorema de Cochran . ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$

De manera equivalente, dado que la distribución chi-cuadrado es la suma de variables aleatorias normales estándar independientes , la variable aleatoria de la distribución F también puede escribirse

${\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},}$

donde y , es la suma de los cuadrados de las variables aleatorias de distribución normal y es la suma de los cuadrados de las variables aleatorias de distribución normal . ${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}$ ${\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}$ ${\displaystyle S_{1}^{2}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})}$ ${\displaystyle S_{2}^{2}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})}$

En un contexto frecuentista , una distribución F escalada da por lo tanto la probabilidad , con la distribución F en sí, sin ninguna escala, aplicándose donde se toma igual a . Este es el contexto en el que la distribución F aparece más generalmente en las pruebas F : donde la hipótesis nula es que dos varianzas normales independientes son iguales, y las sumas observadas de algunos cuadrados seleccionados apropiadamente se examinan luego para ver si su razón es significativamente incompatible con esta hipótesis nula. ${\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

La cantidad tiene la misma distribución en las estadísticas bayesianas, si se toma una distribución previa de Jeffreys invariante al reescalamiento no informativa para las probabilidades previas de y . ^[9] En este contexto, una distribución F escalada da la probabilidad posterior , donde las sumas observadas y ahora se toman como conocidas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$ ${\displaystyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}$ ${\displaystyle s_{1}^{2}}$ ${\displaystyle s_{2}^{2}}$

Propiedades y distribuciones relacionadas

• Si y ( distribución Chi cuadrado ) son independientes , entonces ${\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}$ ${\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$
• Si ( distribución gamma ) son independientes, entonces ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$
• Si ( distribución beta ) entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$ ${\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$
• Equivalentemente, si , entonces . ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$
• Si , entonces tiene una distribución beta prima : . ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}$ ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$
• Si entonces tiene la distribución chi-cuadrado ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}$ ${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}$
• ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$es equivalente a la distribución T-cuadrada de Hotelling escalada . ${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}$
• Si entonces . ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}$
• Si es la distribución t de Student , entonces: ${\displaystyle X\sim t_{(n)}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned}}}$$
• La distribución F es un caso especial de la distribución de Pearson tipo 6
• Si y son independientes, con Laplace( μ , b ) entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y\sim }$ $${\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}$$
• Si entonces ( distribución z de Fisher ) ${\displaystyle X\sim F(n,m)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$
• La distribución F no central se simplifica a la distribución F si . ${\displaystyle \lambda =0}$
• La distribución F doblemente no central se simplifica a la distribución F si ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}$
• Si es el cuantil p para y es el cuantil para , entonces ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$ ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}$ $${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}$$
• La distribución F es un ejemplo de distribuciones de razón.
• La distribución W ^[10] es una parametrización única de la distribución F.

Véase también

• Distribución beta prima
• Distribución de chi-cuadrado
• Prueba de Chow
• Distribución gamma
• Distribución T-cuadrada de Hotelling
• Distribución lambda de Wilks
• Distribución de Wishart
• La distribución seminormal modificada ^[11] con la función de densidad de probabilidad activada se da como , donde denota la función Psi de Fox–Wright . ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

Referencias

1. Lazo, AV; Rathie, P. (1978). "Sobre la entropía de distribuciones de probabilidad continuas". IEEE Transactions on Information Theory . 24 (1). IEEE: 120–122. doi :10.1109/tit.1978.1055832.
2. Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz; N. Balakrishnan (1995). Distribuciones univariadas continuas, volumen 2 (segunda edición, sección 27) . Wiley. ISBN 0-471-58494-0.
3. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 26". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 946. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
4. NIST (2006). Manual de estadística de ingeniería: distribución F
5. Mood, Alexander; Franklin A. Graybill; Duane C. Boes (1974). Introducción a la teoría de la estadística (tercera edición). McGraw-Hill. págs. 246-249. ISBN 0-07-042864-6.
6. Taboga, Marco. "La distribución F".
7. Phillips, PCB (1982) "La verdadera función característica de la distribución F", Biometrika , 69: 261–264 JSTOR  2335882
8. DeGroot, MH (1986). Probabilidad y estadística (2.ª ed.). Addison-Wesley. pág. 500. ISBN 0-201-11366-X.
9. Box, GEP; Tiao, GC (1973). Inferencia bayesiana en análisis estadístico . Addison-Wesley. pág. 110. ISBN. 0-201-00622-7.
10. Mahmoudi, Amin; Javed, Saad Ahmed (octubre de 2022). "Enfoque probabilístico para la evaluación de proveedores en múltiples etapas: medición del nivel de confianza en el enfoque de prioridad ordinal". Decisión y negociación grupal . 31 (5): 1051–1096. doi :10.1007/s10726-022-09790-1. ISSN  0926-2644. PMC 9409630 . PMID  36042813. 
11. Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (22 de junio de 2021). "La distribución seminormal modificada: propiedades y un esquema de muestreo eficiente" (PDF) . Comunicaciones en estadística: teoría y métodos . 52 (5): 1591–1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.

Enlaces externos

• Tabla de valores críticos de la distribución F
• Los primeros usos de algunas palabras de las matemáticas: la entrada sobre la distribución F contiene una breve historia
• Calculadora gratuita para pruebas F