Distribución recíproca

Distribución estadística

En probabilidad y estadística , la distribución recíproca , también conocida como distribución log-uniforme , es una distribución de probabilidad continua . Se caracteriza porque su función de densidad de probabilidad , dentro del soporte de la distribución, es proporcional al recíproco de la variable.

La distribución recíproca es un ejemplo de una distribución inversa , y el recíproco (inverso) de una variable aleatoria con una distribución recíproca tiene en sí mismo una distribución recíproca.

Definición

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución recíproca es

${\displaystyle f(x;a,b)={\frac {1}{x[\ln(b)-\ln(a)]}}\quad {\text{ for }}a\leq x\leq b{\text{ and }}a>0.}$

Aquí, y son los parámetros de la distribución, que son los límites inferior y superior del soporte , y es el logaritmo natural . La función de distribución acumulativa es ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ln }$

${\displaystyle F(x;a,b)={\frac {\ln(x)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}\quad {\text{ for }}a\leq x\leq b.}$

Caracterización

Relación entre la distribución log-uniforme y la distribución uniforme

Histograma y log-histograma de desviaciones aleatorias de la distribución recíproca

Una variable aleatoria positiva X tiene una distribución log-uniforme si el logaritmo de X tiene una distribución uniforme,

${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {U}}(\ln(a),\ln(b)).}$

Esta relación es verdadera independientemente de la base de la función logarítmica o exponencial. Si tiene una distribución uniforme, entonces también lo tiene , para dos números positivos cualesquiera . Del mismo modo, si tiene una distribución logarítmica-uniforme, entonces también lo tiene , donde . ${\displaystyle \log _{a}(Y)}$ ${\displaystyle \log _{b}(Y)}$ ${\displaystyle a,b\neq 1}$ ${\displaystyle e^{X}}$ ${\displaystyle a^{X}}$ ${\displaystyle 0<a\neq 1}$

Aplicaciones

La distribución recíproca es de considerable importancia en el análisis numérico , porque las operaciones aritméticas de una computadora transforman mantisas con distribuciones arbitrarias iniciales en la distribución recíproca como distribución límite. ^[1]

Referencias

1. Hamming RW (1970) "Sobre la distribución de números", The Bell System Technical Journal 49(8) 1609–1625