Función de Dawson

Función matemática

Gráfico de la función integral de Dawson F(z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

En matemáticas , la función de Dawson o integral de Dawson ^[1] (llamada así por HG Dawson ^{[2] ) es la} transformada seno de Fourier-Laplace unilateral de la función gaussiana.

Definición

La función de Dawson, alrededor del origen ${\displaystyle F(x)=D_{+}(x),}$

La función de Dawson, alrededor del origen ${\displaystyle D_{-}(x),}$

La función de Dawson se define como: también se denota como o o alternativamente $${\displaystyle D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt,}$$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle D(x),}$ $${\displaystyle D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.\!}$$

La función Dawson es la transformada seno de Fourier-Laplace unilateral de la función gaussiana , $${\displaystyle D_{+}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/4}\,\sin(xt)\,dt.}$$

Está estrechamente relacionada con la función de error erf, ya que

${\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erfi} (x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erf} (ix)}$

donde erfi es la función de error imaginaria, erfi( x ) = − i erf( ix ).
De manera similar, en términos de la función de error real, erf. $${\displaystyle D_{-}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{x^{2}}\operatorname {erf} (x)}$$

En términos de erfi o de la función de Faddeeva, la función de Dawson se puede extender a todo el plano complejo : ^[3] lo que se simplifica a : ${\displaystyle w(z),}$ $${\displaystyle F(z)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-z^{2}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {i{\sqrt {\pi }}}{2}}\left[e^{-z^{2}}-w(z)\right],}$$ $${\displaystyle D_{+}(x)=F(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {Im} [w(x)]}$$ $${\displaystyle D_{-}(x)=iF(-ix)=-{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left[e^{x^{2}}-w(-ix)\right]}$$ ${\displaystyle x.}$

Para valores cercanos a cero, F ( x ) ≈ x . Para valores grandes, F ( x ) ≈ 1/(2 x ). Más específicamente, cerca del origen tiene la expansión en serie mientras que para valores grandes tiene la expansión asintótica. ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle |x|}$ $${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots ,}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\cdots .}$$

Más precisamente, ¿dónde está el factorial doble ? $${\displaystyle \left|F(x)-\sum _{k=0}^{N}{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}x^{2k+1}}}\right|\leq {\frac {C_{N}}{x^{2N+3}}}.}$$ ${\displaystyle n!!}$

${\displaystyle F(x)}$satisface la ecuación diferencial con la condición inicial En consecuencia, tiene extremos para resultando en x  = ±0.92413887... ( OEIS : A133841 ), F ( x ) = ±0.54104422... ( OEIS : A133842 ). $${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}+2xF=1\,\!}$$ ${\displaystyle F(0)=0.}$ $${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}},}$$

Los puntos de inflexión se deducen para x =  ±1,50197526... ( OEIS : A133843 ), F ( x ) = ±0,42768661... ( OEIS : A245262 ). (Aparte del punto de inflexión trivial en ) $${\displaystyle F(x)={\frac {x}{2x^{2}-1}},}$$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle F(x)=0.}$

Relación con la transformada de Hilbert de Gauss

La transformada de Hilbert de la gaussiana se define como $${\displaystyle H(y)=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx}$$

PV denota el valor principal de Cauchy y nos limitamos a los valores reales que se pueden relacionar con la función de Dawson de la siguiente manera. Dentro de una integral de valor principal, podemos tratarla como una función o distribución generalizada y utilizar la representación de Fourier. ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle H(y)}$ ${\displaystyle 1/u}$ $${\displaystyle {1 \over u}=\int _{0}^{\infty }dk\,\sin ku=\int _{0}^{\infty }dk\,\operatorname {Im} e^{iku}.}$$

Con utilizamos la representación exponencial de y completamos el cuadrado con respecto a para encontrar ${\displaystyle 1/u=1/(y-x),}$ ${\displaystyle \sin(ku)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \pi H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky]\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\exp[-(x+ik/2)^{2}].}$$

Podemos desplazar la integral al eje real y obtenemos lo siguiente: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi ^{1/2}.}$ $${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky].}$$

Completamos el cuadrado respecto a y obtenemos ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=e^{-y^{2}}\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-(k/2-iy)^{2}].}$$

Cambiamos las variables a ${\displaystyle u=ik/2+y:}$ $${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=-2e^{-y^{2}}\operatorname {Im} i\int _{y}^{i\infty +y}du\ e^{u^{2}}.}$$

La integral se puede realizar como una integral de contorno alrededor de un rectángulo en el plano complejo. Tomando la parte imaginaria del resultado se obtiene donde es la función de Dawson como se definió anteriormente. $${\displaystyle H(y)=2\pi ^{-1/2}F(y)}$$ ${\displaystyle F(y)}$

La transformada de Hilbert de también está relacionada con la función de Dawson. Vemos esto con la técnica de diferenciación dentro del signo integral. Sea ${\displaystyle x^{2n}e^{-x^{2}}}$ $${\displaystyle H_{n}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx.}$$

Introducir $${\displaystyle H_{a}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{e^{-ax^{2}} \over y-x}\,dx.}$$

La derivada ésima es ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\partial ^{n}H_{a} \over \partial a^{n}}=(-1)^{n}\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-ax^{2}}}{y-x}}\,dx.}$$

Así pues, encontramos $${\displaystyle \left.H_{n}=(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}H_{a}}{\partial a^{n}}}\right|_{a=1}.}$$

Primero se realizan las derivadas, luego el resultado evaluado en Un cambio de variable también da Como podemos escribir donde y son polinomios. Por ejemplo, Alternativamente, se puede calcular utilizando la relación de recurrencia (para ) ${\displaystyle a=1.}$ ${\displaystyle H_{a}=2\pi ^{-1/2}F(y{\sqrt {a}}).}$ ${\displaystyle F'(y)=1-2yF(y),}$ ${\displaystyle H_{n}=P_{1}(y)+P_{2}(y)F(y)}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}=-\pi ^{-1/2}y+2\pi ^{-1/2}y^{2}F(y).}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ $${\displaystyle H_{n+1}(y)=y^{2}H_{n}(y)-{\frac {(2n-1)!!}{{\sqrt {\pi }}2^{n}}}y.}$$

Véase también

• Lista de funciones matemáticas

Referencias

1. Temme, NM (2010), "Funciones de error, integrales de Dawson y de Fresnel", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-85-0-312-0 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
2. Dawson, HG (1897). "Sobre el valor numérico de ∫ 0 h exp ⁡ ( x 2 ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{0}^{h}\exp(x^{2})\,dx}". Actas de la London Mathematical Society . s1-29 (1): 519–522. doi :10.1112/plms/s1-29.1.519.
3. Mofreh R. Zaghloul y Ahmed N. Ali, "Algoritmo 916: cálculo de las funciones de Faddeyeva y Voigt", ACM Trans. Math. Soft. 38 (2), 15 (2011). Versión preliminar disponible en arXiv:1106.0151.

Enlaces externos

• gsl_sf_dawson en la Biblioteca Científica GNU
• libcerf, biblioteca numérica C para funciones de error complejas, proporciona una función voigt(x, sigma, gamma) con una precisión de aproximadamente 13 a 14 dígitos. Se basa en la función Faddeeva tal como se implementa en el paquete Faddeeva del MIT.
• Integral de Dawson (en Mathworld)
• Funciones de error