Variedad (matemáticas)

Una variedad se llama cerrada si no tiene borde y es compacta.Así, para describir un círculo es posible tomar como mapas dos arcos superpuestos.El espacio euclídeo E(n) es una variedad n-dimensional muy especial ya que su colección de cartas consiste solamente en la función identidad.La dimensión designa el número de parámetros independientes que es necesario fijar para situar localmente a un punto sobre la variedad.Del mismo modo, una esfera y un toro no se parecen topológicamente.En general, la topología global puede complicarse por la presencia de agujeros, asas, etc.Existen también las denominadas variedades abstractas, como la botella de Klein representada en la figura 4.En física, las variedades se aplican a la definición de las mecánicas hamiltoniana y lagrangiana.Existen dos maneras de introducirlo: aquí vamos a pensar en una circunferencia trazada en el plano euclídeoEn otros términos, una sola coordenada es suficiente para describir un pequeño arco de circunferencia.Cualquier punto de esta parte puede ser descrito por la coordenada x.Existe, por lo tanto, un homeomorfismo χarribaentre la parte amarilla de la circunferencia y el intervalo abierto [−1, 1] que representa cada punto de la circunferencia por su primera coordenada: A tal función se le denomina un mapa o carta.Del mismo modo, existen mapas para las partes inferiores (rojo), izquierda (azul) y derecha (verde) de la circunferencia.Los mapas superior, inferior, derecho e izquierdo muestran que la circunferencia es una variedad, pero no conforman el único atlas posible.Los mapas no tienen por qué ser proyecciones geométricas y su número es prácticamente arbitrario.Hemos visto que los dos atlas presentados son compatibles, es decir, que agrupando los cuatro mapas del primero y los dos del segundo, obtenemos un nuevo atlas, todavía más redundante.Sin embargo, podemos demostrar topológicamente que un solo mapa no podrá jamás cubrir la totalidad de la circunferencia.Existen diversas variantes, utilizadas según el dominio particular considerado: Las variedades más sencillas de definir son las variedades topológicas, pues se parecen localmente a un espacio euclídeo ordinario Rn.Esta idea se usa en contraposición a la de grupo «abstracto» o «algebraico», en cuyo estudio priman más los aspectos operacionales que los geométricos.El primero se interpreta geométricamente como un grupo traslaciones; el segundo, transformaciones lineales que conservan el volumen.En el procedimiento de suma conexa debemos crear artificialmente fronteras para después identificarlas.Supongamos que G es un grupo de Lie y H es un subgrupo cerrado.En estos casos es muy difícil decidir si dos descripciones de una variedad se refieren a un mismo objeto.Estos criterios se denominan invariantes, pues son los mismos en todas las descripciones posibles de una variedad dada.De este modo, podemos distinguir dos variedades si difieren en alguna propiedad invariante.Las propiedades invariantes han sido caracterizadas por distintas ramas de la topología: Si una variedad está dotada de una estructura geométrica más rica, entonces suele tener propiedades invariantes locales.Consideremos una variedad diferenciable M de dimensión m. Al igual que en superficies diferenciables, que en cada punto se puede considerar un plano tangente, a cada punto p de nuestra variedad M se le puede adjuntar un espacio vectorial de dimensión m que se suele llamar espacio tangente a M en el punto p. Este espacio vectorial se puede «orientar», es decir, escoger una base sobre la que tomar referencias, al igual que se hace en Rm con la base canónica {ei}.Intuitivamente, la cinta de Möebius no es orientable porque es una superficie con una sola cara, como bien ilustra M. C. Escher en su cuadro "Möbius strip II".La orientación de variedades topológicas, es decir, sin una estructura diferenciable, es un tema más delicado y técnico.Los espacios difeológicos usan una noción diferente de carta conocida como plots ( o placas).