Shing-Tung Yau ( chino :丘成桐; pinyin : Qiū Chéngtóng ; nacido el 4 de abril de 1949) es un matemático chino - estadounidense . Es director del Centro de Ciencias Matemáticas Yau en la Universidad de Tsinghua y profesor emérito de la Universidad de Harvard . Hasta 2022, Yau fue profesor de matemáticas William Caspar Graustein en Harvard, momento en el que se trasladó a Tsinghua. [1] [2]
Yau nació en Shantou en 1949, se mudó al Hong Kong británico a una edad temprana y luego se mudó a los Estados Unidos en 1969. Recibió la Medalla Fields en 1982, en reconocimiento a sus contribuciones a las ecuaciones diferenciales parciales , la conjetura de Calabi , el teorema de energía positiva y la ecuación de Monge-Ampère . [3] Yau es considerado uno de los principales contribuyentes al desarrollo de la geometría diferencial moderna y el análisis geométrico . El impacto del trabajo de Yau también se ve en los campos matemáticos y físicos de la geometría convexa , la geometría algebraica , la geometría enumerativa , la simetría especular , la relatividad general y la teoría de cuerdas , mientras que su trabajo también ha tocado las matemáticas aplicadas , la ingeniería y el análisis numérico .
Yau nació en Shantou , Guangdong , República de China en 1949 de padres hakka . [YN19] Su ciudad natal ancestral es el condado de Jiaoling , China. [YN19] Su madre, Yeuk Lam Leung, era del distrito de Meixian , China; su padre, Chen Ying Chiu (丘鎭英), fue un erudito del Kuomintang de la República de China en filosofía, historia, literatura y economía. [YN19] Fue el quinto de ocho hijos. [4]
Durante la toma comunista de China continental, cuando tenía solo unos meses de edad, su familia se mudó al Hong Kong británico , donde su educación fue (a excepción de las clases de inglés) completamente en idioma cantonés en lugar del idioma chino hakka nativo de sus padres . [YN19] No pudo volver hasta 1979, por invitación de Hua Luogeng , cuando China continental entró en la era de la reforma y la apertura . [YN19] Al principio vivieron en Yuen Long y luego se mudaron a Shatin en 1954. [YN19] Tuvieron problemas financieros por haber perdido todas sus posesiones, y su padre y su segunda hermana mayor murieron cuando él tenía trece años. [YN19] Yau comenzó a leer y apreciar los libros de su padre, y se volvió más dedicado al trabajo escolar. Después de graduarse de la escuela secundaria Pui Ching , estudió matemáticas en la Universidad China de Hong Kong de 1966 a 1969, sin recibir un título debido a que se graduó temprano. [YN19] Dejó sus libros de texto a su hermano menor, Stephen Shing-Toung Yau , quien decidió especializarse también en matemáticas.
Yau se fue al programa de doctorado en matemáticas de la Universidad de California, Berkeley en el otoño de 1969. Durante las vacaciones de invierno, leyó los primeros números del Journal of Differential Geometry y se sintió profundamente inspirado por los artículos de John Milnor sobre la teoría geométrica de grupos . [5] [YN19] Posteriormente, formuló una generalización del teorema de Preissman y desarrolló sus ideas más a fondo con Blaine Lawson durante el siguiente semestre. [6] Utilizando este trabajo, recibió su doctorado al año siguiente, en 1971, bajo la supervisión de Shiing-Shen Chern . [7]
Pasó un año como miembro del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton antes de unirse a la Universidad de Stony Brook en 1972 como profesor asistente. En 1974, se convirtió en profesor asociado en la Universidad de Stanford . [8] En 1976, aceptó un puesto de profesor visitante en la UCLA y se casó con la física Yu-Yun Kuo, a quien conocía de su época de estudiante de posgrado en Berkeley. [8] En 1979, regresó al Instituto de Estudios Avanzados y se convirtió en profesor allí en 1980. [8] En 1984, asumió una cátedra en la Universidad de California, San Diego . [9] En 1987, se trasladó a la Universidad de Harvard . [8] [10] En abril de 2022, Yau se retiró de Harvard, donde fue profesor emérito de matemáticas William Caspar Graustein. [8] Ese mismo año, se trasladó a la Universidad de Tsinghua como profesor de matemáticas. [8] [2]
Según la autobiografía de Yau, se convirtió en " apátrida " en 1978 después de que el Consulado Británico revocara su residencia en Hong Kong debido a su estatus de residente permanente en los Estados Unidos . [11] [12] Con respecto a su estatus cuando recibió su Medalla Fields en 1982, Yau declaró: "Estoy orgulloso de decir que cuando me otorgaron la Medalla Fields en matemáticas, no tenía pasaporte de ningún país y ciertamente debería ser considerado chino". [13] Yau permaneció "apátrida" hasta 1990, cuando obtuvo la ciudadanía de los Estados Unidos. [11] [14]
Junto con el periodista científico Steve Nadis, Yau ha escrito un relato no técnico de las variedades de Calabi-Yau y la teoría de cuerdas , [YN10] [15] una historia del departamento de matemáticas de Harvard, [NY13] un caso para la construcción del Colisionador Circular de Electrones y Positrones en China, [NY15] [16] [17] una autobiografía, [YN19] [18] y un libro sobre la relación entre la geometría y la física. [NY24]
Yau ha hecho importantes contribuciones al desarrollo de la geometría diferencial moderna y el análisis geométrico . Como dijo William Thurston en 1981: [19]
Pocas veces hemos tenido la oportunidad de presenciar el espectáculo de que el trabajo de un matemático haya afectado, en un breve lapso de años, a la dirección de áreas enteras de investigación. En el campo de la geometría, uno de los ejemplos más notables de tal suceso durante la última década lo dan las contribuciones de Shing-Tung Yau.
Entre sus resultados más celebrados se encuentran la resolución (con Shiu-Yuen Cheng ) del problema de los valores en la frontera para la ecuación de Monge-Ampère , el teorema de la masa positiva en el análisis matemático de la relatividad general (logrado con Richard Schoen ), la resolución de la conjetura de Calabi , la teoría topológica de superficies mínimas (con William Meeks ), el teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau (realizado con Karen Uhlenbeck ) y las estimaciones de gradiente de Cheng−Yau y Li−Yau para ecuaciones diferenciales parciales (encontradas con Shiu-Yuen Cheng y Peter Li ). Muchos de los resultados de Yau (además de los de otros) fueron escritos en libros de texto escritos en coautoría con Schoen. [SY94] [SY97]
Además de su investigación, Yau es el fundador y director de varios institutos matemáticos, principalmente en China. John Coates ha comentado que "ningún otro matemático de nuestro tiempo se ha acercado" al éxito de Yau en la recaudación de fondos para actividades matemáticas en China continental y Hong Kong. [6] Durante un año sabático en la Universidad Nacional Tsinghua en Taiwán , Charles Kao le pidió a Yau que iniciara un instituto matemático en la Universidad China de Hong Kong . Después de unos años de esfuerzos de recaudación de fondos, Yau estableció el Instituto multidisciplinario de Ciencias Matemáticas en 1993, con su coautor frecuente Shiu-Yuen Cheng como director asociado. En 1995, Yau ayudó a Yongxiang Lu a recaudar dinero del Grupo Morningside de Ronnie Chan y Gerald Chan para el nuevo Centro Morningside de Matemáticas en la Academia China de Ciencias . Yau también ha estado involucrado con el Centro de Ciencias Matemáticas en la Universidad de Zhejiang , [20] en la Universidad de Tsinghua , [21] en la Universidad Nacional de Taiwán , [22] y en Sanya . [23] Más recientemente, en 2014, Yau recaudó dinero para establecer el Centro de Ciencias Matemáticas y Aplicaciones (del cual es director), el Centro de Edificios y Ciudades Verdes y el Centro de Investigación Inmunológica, todos en la Universidad de Harvard. [24]
Siguiendo el modelo de una conferencia de física anterior organizada por Tsung-Dao Lee y Chen-Ning Yang , Yau propuso el Congreso Internacional de Matemáticos Chinos , que ahora se celebra cada tres años. El primer congreso se celebró en el Morningside Center del 12 al 18 de diciembre de 1998. Es coorganizador de las conferencias anuales "Journal of Differential Geometry" y "Current Developments in Mathematics". Yau es editor jefe de Journal of Differential Geometry , [ 25] Asian Journal of Mathematics , [26] y Advances in Theoretical and Mathematical Physics . [27] A partir de 2021, ha asesorado a más de setenta estudiantes de doctorado. [7]
En Hong Kong, con el apoyo de Ronnie Chan , Yau creó el premio Hang Lung para estudiantes de secundaria. También ha organizado y participado en reuniones para estudiantes de secundaria y universitarios, como las mesas redondas " ¿Por qué las matemáticas? ¡Pregúntale a los maestros!" en Hangzhou , en julio de 2004, y " La maravilla de las matemáticas" en Hong Kong, en diciembre de 2004. Yau también fue uno de los iniciadores de una serie de libros sobre matemáticas populares, "Las matemáticas y la gente matemática".
En 2002 y 2003, Grigori Perelman publicó preprints en arXiv en los que afirmaba haber demostrado la conjetura de geometrización de Thurston y, como caso especial, la famosa conjetura de Poincaré . Aunque su trabajo contenía muchas ideas y resultados nuevos, sus pruebas carecían de detalles en una serie de argumentos técnicos. [28] Durante los siguientes años, varios matemáticos dedicaron su tiempo a completar los detalles y proporcionar exposiciones del trabajo de Perelman a la comunidad matemática. [29] Un conocido artículo de agosto de 2006 en The New Yorker escrito por Sylvia Nasar y David Gruber sobre la situación trajo a la atención pública algunas disputas profesionales que involucraban a Yau. [13] [14]
Yau afirmó que el artículo de Nasar y Gruber era difamatorio y contenía varias falsedades, y que no le dieron la oportunidad de representar su propia versión de las disputas. Consideró presentar una demanda contra la revista, alegando daños profesionales, pero dice que decidió que no estaba suficientemente claro qué lograría con esa acción. [YN19] Estableció un sitio web de relaciones públicas, con cartas de respuesta al artículo de The New Yorker de varios matemáticos, incluido él mismo y otros dos citados en el artículo. [34]
En su autobiografía, Yau dijo que sus declaraciones de 2006, como que Cao y Zhu dieron "la primera explicación completa y detallada de la prueba de la conjetura de Poincaré", deberían haber sido formuladas con más cuidado. Aunque cree que el trabajo de Cao y Zhu es el primer relato y el más rigurosamente detallado del trabajo de Perelman, dice que debería haber aclarado que "no habían superado el trabajo de Perelman de ninguna manera". [YN19] También ha mantenido la opinión de que (a partir de 2019) las partes finales de la prueba de Perelman deberían ser mejor entendidas por la comunidad matemática, con la correspondiente posibilidad de que aún queden algunos errores inadvertidos.
Yau ha hecho una serie de importantes contribuciones de investigación, centradas en la geometría diferencial y su aparición en otros campos de las matemáticas y la ciencia. Además de su investigación, Yau ha compilado conjuntos influyentes de problemas abiertos en geometría diferencial, incluyendo tanto conjeturas antiguas bien conocidas como nuevas propuestas y problemas. Dos de las listas de problemas más citadas de Yau de la década de 1980 se han actualizado con notas sobre el progreso a partir de 2014. [35] Particularmente conocidas son una conjetura sobre la existencia de hipersuperficies mínimas y sobre la geometría espectral de hipersuperficies mínimas .
En 1978, al estudiar la compleja ecuación de Monge-Ampère , Yau resolvió la conjetura de Calabi , que había sido planteada por Eugenio Calabi en 1954. [Y78a] Como caso especial, esto mostró que existen métricas de Kähler-Einstein en cualquier variedad de Kähler cerrada cuya primera clase de Chern no sea positiva. El método de Yau adaptó el trabajo anterior de Calabi, Jürgen Moser y Aleksei Pogorelov , desarrollado para ecuaciones diferenciales parciales elípticas cuasilineales y la ecuación real de Monge-Ampère , al contexto de la compleja ecuación de Monge-Ampère. [36] [37] [38] [39]
La comprensión de la conjetura de Calabi en el entorno no compacto es menos definitiva. Gang Tian y Yau extendieron el análisis de Yau de la compleja ecuación de Monge−Ampère al entorno no compacto, donde el uso de funciones de corte y las estimaciones integrales correspondientes requerían la suposición condicional de cierta geometría controlada cerca del infinito. [TY90] Esto reduce el problema a la cuestión de la existencia de métricas de Kähler con tales propiedades asintóticas; obtuvieron tales métricas para ciertas variedades complejas cuasi-proyectivas suaves . Más tarde extendieron su trabajo para permitir singularidades orbifold . [TY91] Con Brian Greene , Alfred Shapere y Cumrun Vafa , Yau introdujo un ansatz para una métrica de Kähler en el conjunto de puntos regulares de ciertas aplicaciones holomorfas sobreyectivas, con curvatura de Ricci aproximadamente cero. [G+90] Pudieron aplicar el teorema de existencia de Tian−Yau para construir una métrica de Kähler que es exactamente Ricci-plana. El ansatz de Greene−Shapere−Vafa−Yau y su generalización natural, ahora conocida como métrica semiplana , se ha vuelto importante en varios análisis de problemas en la geometría de Kähler. [44] [45]
El teorema de energía positiva, obtenido por Yau en colaboración con su ex estudiante de doctorado Richard Schoen , puede describirse en términos físicos:
En la teoría de la relatividad general de Einstein , la energía gravitacional de un sistema físico aislado no es negativa.
Sin embargo, es un teorema preciso de geometría diferencial y análisis geométrico , en el que los sistemas físicos se modelan mediante variedades de Riemann con no negatividad de una cierta curvatura escalar generalizada . Como tal, el enfoque de Schoen y Yau se originó en su estudio de variedades de Riemann de curvatura escalar positiva, que es de interés en sí mismo. El punto de partida del análisis de Schoen y Yau es su identificación de una forma simple pero novedosa de insertar las ecuaciones de Gauss-Codazzi en la fórmula de segunda variación para el área de una hipersuperficie mínima estable de una variedad de Riemann tridimensional. El teorema de Gauss-Bonnet restringe en gran medida la posible topología de dicha superficie cuando la variedad ambiental tiene una curvatura escalar positiva. [SY79a] [46] [47]
Schoen y Yau explotaron esta observación al encontrar nuevas construcciones de hipersuperficies mínimas estables con varias propiedades controladas. [SY79a] Algunos de sus resultados de existencia se desarrollaron simultáneamente con resultados similares de Jonathan Sacks y Karen Uhlenbeck , utilizando diferentes técnicas. Su resultado fundamental es sobre la existencia de inmersiones mínimas con un comportamiento topológico prescrito. Como consecuencia de su cálculo con el teorema de Gauss-Bonnet, pudieron concluir que ciertas variedades tridimensionales topológicamente distinguidas no pueden tener ninguna métrica riemanniana de curvatura escalar no negativa. [48] [49]
Schoen y Yau adaptaron su trabajo al contexto de ciertos conjuntos de datos iniciales asintóticamente planos de Riemann en la relatividad general . Demostraron que la negatividad de la masa permitiría invocar el problema de Plateau para construir superficies mínimas estables que son geodésicamente completas . Un análogo no compacto de su cálculo con el teorema de Gauss-Bonnet proporciona entonces una contradicción lógica a la negatividad de la masa. Como tal, pudieron demostrar el teorema de masa positiva en el caso especial de sus conjuntos de datos iniciales de Riemann. [SY79c] [50]
Schoen y Yau extendieron esto a la formulación lorentziana completa del teorema de masa positiva mediante el estudio de una ecuación diferencial parcial propuesta por Pong-Soo Jang. Demostraron que existen soluciones a la ecuación de Jang fuera de los horizontes aparentes de los agujeros negros, en los cuales las soluciones pueden divergir hasta el infinito. [SY81] Al relacionar la geometría de un conjunto de datos iniciales lorentzianos con la geometría del gráfico de dicha solución a la ecuación de Jang, interpretando este último como un conjunto de datos iniciales riemannianos, Schoen y Yau demostraron el teorema de energía positiva completo. [50] Además, al aplicar ingeniería inversa a su análisis de la ecuación de Jang, pudieron establecer que cualquier concentración suficiente de energía en la relatividad general debe ir acompañada de un horizonte aparente. [SY83]
Debido al uso del teorema de Gauss-Bonnet, estos resultados se restringieron originalmente al caso de variedades riemannianas tridimensionales y variedades lorentzianas cuatridimensionales. Schoen y Yau establecieron una inducción sobre la dimensión construyendo métricas riemannianas de curvatura escalar positiva sobre hipersuperficies mínimas de variedades riemannianas que tienen curvatura escalar positiva. [SY79b] Tales hipersuperficies mínimas, que fueron construidas por medio de la teoría de la medida geométrica por Frederick Almgren y Herbert Federer , generalmente no son suaves en grandes dimensiones, por lo que estos métodos solo se aplican directamente para variedades riemannianas de dimensión menor a ocho. Sin ninguna restricción dimensional, Schoen y Yau demostraron el teorema de masa positiva en la clase de variedades localmente conformemente planas . [SY88] [36] En 2017, Schoen y Yau publicaron una preimpresión que afirmaba resolver estas dificultades, demostrando así la inducción sin restricción dimensional y verificando el teorema de masa positiva de Riemann en dimensión arbitraria.
Gerhard Huisken y Yau realizaron un estudio adicional de la región asintótica de las variedades de Riemann con masa estrictamente positiva. Huisken había iniciado anteriormente el estudio del flujo de curvatura media que preserva el volumen de las hipersuperficies del espacio euclidiano . [51] Huisken y Yau adaptaron su trabajo al contexto de Riemann, demostrando un teorema de convergencia y existencia a largo plazo para el flujo. Como corolario, establecieron una nueva característica geométrica de las variedades de masa positiva, que es que sus regiones asintóticas están foliadas por superficies de curvatura media constante . [HY96]
Tradicionalmente, la técnica del principio de máximo solo se aplica directamente en espacios compactos , ya que entonces se garantiza la existencia de máximos. En 1967, Hideki Omori encontró un nuevo principio de máximo que se aplica en variedades de Riemann no compactas cuyas curvaturas seccionales están acotadas por debajo. Es trivial que existan máximos aproximados ; Omori además demostró la existencia de máximos aproximados donde los valores del gradiente y las segundas derivadas están adecuadamente controlados. Yau extendió parcialmente el resultado de Omori para requerir solo un límite inferior en la curvatura de Ricci ; el resultado se conoce como el principio de máximo de Omori−Yau. [Y75b] Tal generalidad es útil debido a la aparición de la curvatura de Ricci en la fórmula de Bochner , donde un límite inferior también se usa típicamente en manipulaciones algebraicas. Además de proporcionar una prueba muy simple del principio en sí, Shiu-Yuen Cheng y Yau pudieron demostrar que el supuesto de curvatura de Ricci en el principio de máximo de Omori-Yau puede reemplazarse por el supuesto de la existencia de funciones de corte con cierta geometría controlable. [CY75] [36] [52] [53] [54]
Yau fue capaz de aplicar directamente el principio de Omori−Yau para generalizar el lema clásico de Schwarz−Pick del análisis complejo . Lars Ahlfors , entre otros, había generalizado previamente el lema al contexto de las superficies de Riemann . Con sus métodos, Yau fue capaz de considerar el contexto de una aplicación de una variedad de Kähler completa (con un límite inferior en la curvatura de Ricci) a una variedad hermítica con curvatura biseccional holomorfa acotada superiormente por un número negativo. [Y78b] [40] [54]
Cheng y Yau utilizaron ampliamente su variante del principio de Omori−Yau para encontrar métricas de Kähler−Einstein en variedades de Kähler no compactas, bajo un ansatz desarrollado por Charles Fefferman . Las estimaciones involucradas en el método de continuidad no fueron tan difíciles como en el trabajo anterior de Yau sobre la conjetura de Calabi, debido al hecho de que Cheng y Yau solo consideraron métricas de Kähler−Einstein con curvatura escalar negativa. La cuestión más sutil, donde el trabajo anterior de Fefferman se volvió importante, tiene que ver con la completitud geodésica . En particular, Cheng y Yau pudieron encontrar métricas de Kähler-Einstein completas de curvatura escalar negativa en cualquier subconjunto acotado, suave y estrictamente pseudoconvexo del espacio euclidiano complejo . [CY80] Estas pueden considerarse como análogos geométricos complejos del modelo de bola de Poincaré del espacio hiperbólico . [40] [55]
La aplicación original de Yau del principio de máximo de Omori−Yau fue establecer estimaciones de gradiente para varias ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . [Y75b] Dada una función en una variedad de Riemann completa y suave que satisface varias condiciones que relacionan el laplaciano con la función y los valores de gradiente, Yau aplicó el principio de máximo a varias expresiones compuestas complicadas para controlar el tamaño del gradiente. Aunque las manipulaciones algebraicas involucradas son complejas, la forma conceptual de la prueba de Yau es sorprendentemente simple. [56] [52]
Las novedosas estimaciones de gradiente de Yau han llegado a denominarse "desigualdades diferenciales de Harnack", ya que pueden integrarse a lo largo de caminos arbitrarios para recuperar desigualdades que tienen la forma de las desigualdades clásicas de Harnack , comparando directamente los valores de una solución a una ecuación diferencial en dos puntos de entrada diferentes. Al hacer uso del estudio de Calabi de la función de distancia en una variedad de Riemann, Yau y Shiu-Yuen Cheng dieron una poderosa localización de las estimaciones de gradiente de Yau, utilizando los mismos métodos para simplificar la prueba del principio de máximo de Omori−Yau. [CY75] Tales estimaciones se citan ampliamente en el caso particular de funciones armónicas en una variedad de Riemann, aunque los resultados originales de Yau y Cheng−Yau cubren escenarios más generales. [56] [52]
En 1986, Yau y Peter Li utilizaron los mismos métodos para estudiar ecuaciones diferenciales parciales parabólicas en variedades de Riemann. [LY86] [52] Richard Hamilton generalizó sus resultados en ciertos entornos geométricos a desigualdades matriciales. Los análogos de las desigualdades de Li−Yau y Hamilton−Li−Yau son de gran importancia en la teoría del flujo de Ricci , donde Hamilton demostró una desigualdad diferencial matricial de Harnack para el operador de curvatura de ciertos flujos de Ricci, y Grigori Perelman demostró una desigualdad diferencial de Harnack para las soluciones de una ecuación de calor inverso acoplada con un flujo de Ricci. [57] [56]
Cheng y Yau pudieron usar sus estimaciones diferenciales de Harnack para mostrar que, bajo ciertas condiciones geométricas, las subvariedades cerradas de espacios riemannianos o pseudo-riemannianos completos son en sí mismas completas. Por ejemplo, mostraron que si M es una hipersuperficie espacial del espacio de Minkowski que está topológicamente cerrada y tiene una curvatura media constante, entonces la métrica riemanniana inducida en M es completa. [CY76a] Análogamente, mostraron que si M es una hiperesfera afín del espacio afín que está topológicamente cerrada, entonces la métrica afín inducida en M es completa. [CY86] Tales resultados se obtienen derivando una desigualdad diferencial de Harnack para la función de distancia (al cuadrado) a un punto dado e integrando a lo largo de caminos intrínsecamente definidos.
En 1985, Simon Donaldson demostró que, sobre una variedad proyectiva no singular de dimensión compleja dos, un fibrado vectorial holomorfo admite una conexión hermítica de Yang–Mills si y solo si el fibrado es estable. Un resultado de Yau y Karen Uhlenbeck generalizó el resultado de Donaldson para permitir una variedad de Kähler compacta de cualquier dimensión. [UY86] El método de Uhlenbeck–Yau se basó en ecuaciones diferenciales parciales elípticas mientras que el de Donaldson utilizó ecuaciones diferenciales parciales parabólicas, aproximadamente en paralelo al trabajo de época de Eells y Sampson sobre mapas armónicos . Los resultados de Donaldson y Uhlenbeck–Yau han sido ampliados desde entonces por otros autores. El artículo de Uhlenbeck y Yau es importante porque da una razón clara de que la estabilidad del fibrado vectorial holomorfo puede relacionarse con los métodos analíticos utilizados para construir una conexión hermítica de Yang–Mills. El mecanismo esencial es que si una secuencia aproximada de conexiones hermíticas no logra converger a la conexión Yang-Mills requerida, entonces se las puede reescalar para que converjan a un subhaz que se puede verificar como desestabilizador según la teoría de Chern-Weil . [38] [58]
Al igual que el teorema de Calabi-Yau, el teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau es de interés en física teórica. [42] En aras de una formulación apropiadamente general de la supersimetría , Andrew Strominger incluyó la condición hermítica de Yang-Mills como parte de su sistema de Strominger , una propuesta para la extensión de la condición de Calabi-Yau a variedades no Kähler. [41] Ji-Xiang Fu y Yau introdujeron un ansatz para la solución del sistema de Strominger en ciertas variedades complejas tridimensionales , reduciendo el problema a una ecuación compleja de Monge-Ampère, que resolvieron. [FY08]
La solución de Yau de la conjetura de Calabi había dado una respuesta razonablemente completa a la pregunta de cómo las métricas de Kähler en variedades complejas compactas de primera clase de Chern no positiva pueden deformarse en métricas de Kähler-Einstein. [Y78a] Akito Futaki demostró que la existencia de campos vectoriales holomorfos puede actuar como una obstrucción a la extensión directa de estos resultados al caso en que la variedad compleja tiene primera clase de Chern positiva. [40] Una propuesta de Calabi sugirió que las métricas de Kähler-Einstein existen en cualquier variedad de Kähler compacta con primera clase de Chern positiva que no admita campos vectoriales holomorfos. [Y82b] Durante la década de 1980, Yau y otros llegaron a comprender que este criterio no podía ser suficiente. Inspirado por el teorema de Donaldson−Uhlenbeck−Yau, Yau propuso que la existencia de métricas de Kähler–Einstein debe estar vinculada a la estabilidad de la variedad compleja en el sentido de la teoría de invariantes geométricos , con la idea de estudiar campos vectoriales holomorfos a lo largo de incrustaciones proyectivas, en lugar de campos vectoriales holomorfos en la variedad misma. [Y93][Y14a] Investigaciones posteriores de Gang Tian y Simon Donaldson refinaron esta conjetura, que se conoció como la conjetura de Yau–Tian–Donaldson que relaciona las métricas de Kähler–Einstein y la K-estabilidad . En 2019, Xiuxiong Chen , Donaldson y Song Sun recibieron el premio Oswald Veblen por la resolución de la conjetura. [59]
En 1982, Li y Yau resolvieron la conjetura de Willmore en el caso no embebido. [LY82] Más precisamente, establecieron que, dada cualquier inmersión suave de una superficie cerrada en la 3-esfera que no sea una incrustación, la energía de Willmore está limitada por debajo por 8π. Esto se complementa con un resultado de 2012 de Fernando Marques y André Neves , que dice que en el caso alternativo de una incrustación suave del toro bidimensional S 1 × S 1 , la energía de Willmore está limitada por debajo por 2π 2 . [60] Juntos, estos resultados comprenden la conjetura de Willmore completa, como fue formulada originalmente por Thomas Willmore en 1965. Aunque sus suposiciones y conclusiones son bastante similares, los métodos de Li−Yau y Marques−Neves son distintos. No obstante, ambos se basan en esquemas minimax estructuralmente similares. Marques y Neves hicieron un uso novedoso de la teoría de mínimos y máximos de Almgren-Pitts del funcional del área a partir de la teoría de la medida geométrica ; el enfoque de Li y Yau dependía de su nuevo "invariante conforme", que es una cantidad mínima-máxima basada en la energía de Dirichlet . El trabajo principal de su artículo está dedicado a relacionar su invariante conforme con otras cantidades geométricas.
William Meeks y Yau produjeron algunos resultados fundamentales sobre superficies mínimas en variedades tridimensionales, revisando puntos que habían quedado abiertos en trabajos anteriores de Jesse Douglas y Charles Morrey . [MY82] [46] Siguiendo estos fundamentos, Meeks, Leon Simon y Yau dieron una serie de resultados fundamentales sobre superficies en variedades riemannianas tridimensionales que minimizan el área dentro de su clase de homología. [MSY82] Pudieron dar una serie de aplicaciones sorprendentes. Por ejemplo, demostraron que si M es una 3-variedad orientable tal que cada incrustación suave de una 2-esfera puede extenderse a una incrustación suave de la bola unitaria, entonces lo mismo es cierto para cualquier espacio de recubrimiento de M. Curiosamente, el artículo de Meeks-Simon-Yau y el artículo fundacional de Hamilton sobre el flujo de Ricci , publicado el mismo año, tienen un resultado en común, obtenido por métodos muy distintos: cualquier variedad riemanniana tridimensional compacta simplemente conexa con curvatura de Ricci positiva es difeomorfa a la 3-esfera.
En la geometría de subvariedades , tanto las geometrías extrínsecas como las intrínsecas son significativas. Estas se reflejan en la métrica intrínseca de Riemann y la segunda forma fundamental . Muchos geómetras han considerado los fenómenos que surgen de restringir estos datos a alguna forma de constancia. Esto incluye como casos especiales los problemas de superficies mínimas , curvatura media constante y subvariedades cuya métrica tiene curvatura escalar constante .
Fuera del contexto de los problemas de rigidez de subvariedades, Yau fue capaz de adaptar el método de Jürgen Moser para demostrar las desigualdades de Caccioppoli, demostrando así nuevos resultados de rigidez para funciones en variedades completas de Riemann. Un resultado particularmente famoso suyo dice que una función subarmónica no puede ser positiva e integrable en L p a menos que sea constante. [Y76] [52] [65] De manera similar, en una variedad completa de Kähler , una función holomorfa no puede ser integrable en L p a menos que sea constante. [Y76]
El problema de Minkowski de la geometría diferencial clásica puede verse como el problema de prescribir la curvatura gaussiana . En la década de 1950, Louis Nirenberg y Aleksei Pogorelov resolvieron el problema para superficies bidimensionales, haciendo uso de los avances recientes en la ecuación de Monge-Ampère para dominios bidimensionales. En la década de 1970, aún faltaba una comprensión de dimensiones superiores de la ecuación de Monge-Ampère. En 1976, Shiu-Yuen Cheng y Yau resolvieron el problema de Minkowski en dimensiones generales mediante el método de continuidad , haciendo uso de estimaciones totalmente geométricas en lugar de la teoría de la ecuación de Monge-Ampère. [CY76b] [66]
Como consecuencia de su resolución del problema de Minkowski, Cheng y Yau pudieron avanzar en la comprensión de la ecuación de Monge-Ampère. [CY77a] La observación clave es que la transformada de Legendre de una solución de la ecuación de Monge-Ampère tiene la curvatura gaussiana de su gráfico prescrita por una fórmula simple que depende del "lado derecho" de la ecuación de Monge-Ampère. Como consecuencia, pudieron demostrar la solubilidad general del problema de Dirichlet para la ecuación de Monge-Ampère, que en ese momento había sido una importante cuestión abierta excepto para dominios bidimensionales. [66]
Los trabajos de Cheng y Yau siguieron algunas ideas presentadas en 1971 por Pogorelov, aunque sus trabajos disponibles públicamente (en el momento del trabajo de Cheng y Yau) carecían de algunos detalles significativos. [67] Pogorelov también publicó una versión más detallada de sus ideas originales, y las resoluciones de los problemas se atribuyen comúnmente tanto a Cheng-Yau como a Pogorelov. [68] [66] Los enfoques de Cheng-Yau y Pogorelov ya no se ven comúnmente en la literatura sobre la ecuación de Monge-Ampère, ya que otros autores, en particular Luis Caffarelli , Nirenberg y Joel Spruck , han desarrollado técnicas directas que producen resultados más potentes y que no requieren el uso auxiliar del problema de Minkowski. [68]
Las esferas afines se describen naturalmente mediante soluciones de ciertas ecuaciones de Monge-Ampère, de modo que su comprensión completa es significativamente más complicada que la de las esferas euclidianas, que no se basan en ecuaciones diferenciales parciales . En el caso parabólico , las esferas afines fueron completamente clasificadas como paraboloides por el trabajo sucesivo de Konrad Jörgens , Eugenio Calabi y Pogorelov. Las esferas afines elípticas fueron identificadas como elipsoides por Calabi. Las esferas afines hiperbólicas exhiben fenómenos más complicados. Cheng y Yau demostraron que son asintóticas a los conos convexos y, a la inversa, que cada cono (uniformemente) convexo corresponde de esa manera a alguna esfera afín hiperbólica. [CY86] También pudieron proporcionar nuevas pruebas de las clasificaciones anteriores de Calabi y Jörgens–Calabi–Pogorelov. [66] [69]
Una variedad de Calabi-Yau es una variedad compacta de Kähler que es Ricci-plana; como un caso especial de la verificación de Yau de la conjetura de Calabi, se sabe que existen tales variedades. [Y78a] La simetría especular, que es una propuesta desarrollada por físicos teóricos que data de fines de la década de 1980, postula que las variedades de Calabi-Yau de dimensión compleja tres se pueden agrupar en pares que comparten ciertas características, como los números de Euler y Hodge. Basándose en esta imagen conjetural, los físicos Philip Candelas , Xenia de la Ossa , Paul Green y Linda Parkes propusieron una fórmula de geometría enumerativa que codifica el número de curvas racionales de cualquier grado fijo en una hipersuperficie quíntica general del espacio proyectivo complejo de cuatro dimensiones . Bong Lian, Kefeng Liu y Yau dieron una prueba rigurosa de que esta fórmula es válida. [LLY97] Un año antes, Alexander Givental había publicado una prueba de las fórmulas especulares; según Lian, Liu y Yau, los detalles de su prueba solo se completaron con éxito después de su propia publicación. [30] Las pruebas de Givental y Lian–Liu–Yau tienen cierta superposición, pero son enfoques distintos del problema, y desde entonces cada una de ellas ha recibido exposiciones en libros de texto. [70] [71]
Los trabajos de Givental y de Lian−Liu−Yau confirman una predicción hecha por la conjetura de simetría especular más fundamental de cómo las variedades tridimensionales de Calabi−Yau pueden ser emparejadas. Sin embargo, sus trabajos no dependen lógicamente de la conjetura en sí, y por lo tanto no tienen una relación inmediata con su validez. Con Andrew Strominger y Eric Zaslow , Yau propuso una imagen geométrica de cómo la simetría especular podría ser sistemáticamente entendida y demostrada como verdadera. [SYZ96] Su idea es que una variedad de Calabi−Yau con dimensión compleja tres debería ser foliada por toros lagrangianos especiales , que son ciertos tipos de subvariedades mínimas tridimensionales de la variedad de Riemann de seis dimensiones subyacente a la estructura de Calabi−Yau. Las variedades especulares se caracterizarían entonces, en términos de esta estructura conjetural, por tener foliaciones duales . La propuesta de Strominger−Yau−Zaslow (SYZ) ha sido modificada y desarrollada de varias maneras desde 1996. La imagen conceptual que proporciona ha tenido una influencia significativa en el estudio de la simetría especular, y la investigación sobre sus diversos aspectos es actualmente un campo activo. Puede contrastarse con la propuesta de simetría especular homológica alternativa de Maxim Kontsevich . El punto de vista de la conjetura SYZ se centra en los fenómenos geométricos en los espacios de Calabi–Yau, mientras que la conjetura de Kontsevich abstrae el problema para abordar estructuras puramente algebraicas y la teoría de categorías . [37] [44] [70] [71]
En uno de los primeros artículos de Yau, escrito con Blaine Lawson , se encontraron varios resultados fundamentales sobre la topología de variedades riemannianas cerradas con curvatura no positiva. [LY72] Su teorema del toro plano caracteriza la existencia de un toro sumergido plano y totalmente geodésico en términos del álgebra del grupo fundamental . El teorema de desdoblamiento dice que el desdoblamiento del grupo fundamental como un producto directo no conmutativo máximo implica el desdoblamiento isométrico de la propia variedad. Resultados similares fueron obtenidos al mismo tiempo por Detlef Gromoll y Joseph Wolf . [72] [73] Sus resultados se han extendido al contexto más amplio de las acciones de grupos isométricos en espacios métricos de curvatura no positiva . [74]
Jeff Cheeger y Yau estudiaron el núcleo de calor en una variedad de Riemann. Establecieron el caso especial de métricas de Riemann para las cuales las esferas geodésicas tienen una curvatura media constante , que demostraron que se caracteriza por la simetría radial del núcleo de calor. [CY81] Especializándose en métricas rotacionalmente simétricas, utilizaron el mapa exponencial para trasplantar el núcleo de calor a una bola geodésica en una variedad general de Riemann. Bajo el supuesto de que el espacio "modelo" simétrico subestima la curvatura de Ricci de la propia variedad, llevaron a cabo un cálculo directo que muestra que la función resultante es una subsolución de la ecuación de calor . Como consecuencia, obtuvieron una estimación inferior del núcleo de calor en una variedad general de Riemann en términos de límites inferiores en su curvatura de Ricci. [75] [76] En el caso especial de curvatura de Ricci no negativa, Peter Li y Yau pudieron utilizar sus estimaciones de gradiente para amplificar y mejorar la estimación de Cheeger−Yau. [LY86] [52]
Un resultado bien conocido de Yau, obtenido independientemente por Calabi, muestra que cualquier variedad riemanniana no compacta de curvatura de Ricci no negativa debe tener un crecimiento de volumen de al menos una tasa lineal. [Y76] [52] Una segunda prueba, utilizando la desigualdad de Bishop-Gromov en lugar de la teoría de funciones, fue encontrada más tarde por Cheeger, Mikhael Gromov y Michael Taylor .
Dada una variedad riemanniana compacta y suave, con o sin borde, la geometría espectral estudia los valores propios del operador de Laplace-Beltrami , que en el caso de que la variedad tenga un borde está acoplado con una elección de condición de borde, usualmente condiciones de Dirichlet o Neumann. Paul Yang y Yau demostraron que en el caso de una variedad bidimensional cerrada , el primer valor propio está acotado por arriba por una fórmula explícita que depende solo del género y el volumen de la variedad. [YY80] [46] Anteriormente, Yau había modificado el análisis de Jeff Cheeger de la constante de Cheeger para poder estimar el primer valor propio desde abajo en términos de datos geométricos. [Y75a] [77]
En la década de 1910, Hermann Weyl demostró que, en el caso de las condiciones de contorno de Dirichlet en un subconjunto abierto liso y acotado del plano, los valores propios tienen un comportamiento asintótico que está dictado enteramente por el área contenida en la región. Su resultado se conoce como ley de Weyl . En 1960, George Pólya conjeturó que la ley de Weyl en realidad da control de cada valor propio individual, y no solo de su distribución asintótica. Li y Yau demostraron una versión debilitada de la conjetura de Pólya, obteniendo el control de los promedios de los valores propios mediante la expresión en la ley de Weyl. [LY83] [78]
En 1980, Li y Yau identificaron una serie de nuevas desigualdades para los valores propios de Laplace-Beltrami, todas basadas en el principio del máximo y las estimaciones diferenciales de Harnack, iniciadas cinco años antes por Yau y Cheng−Yau. [LY80] Su resultado sobre límites inferiores basados en datos geométricos es particularmente conocido, [79] [56] [52] y fue el primero de su tipo en no requerir ninguna suposición condicional. [80] Casi al mismo tiempo, Mikhael Gromov obtuvo una desigualdad similar mediante métodos isoperimétricos , aunque su resultado es más débil que el de Li y Yau. [75] En colaboración con Isadore Singer , Bun Wong y Shing-Toung Yau , Yau utilizó la metodología de Li-Yau para establecer una estimación de gradiente para el cociente de las dos primeras funciones propias. [S+85] De manera análoga a la integración de las estimaciones de gradiente de Yau para encontrar desigualdades de Harnack, ellos pudieron integrar su estimación de gradiente para obtener el control de la brecha fundamental, que es la diferencia entre los dos primeros valores propios. El trabajo de Singer–Wong–Yau–Yau inició una serie de trabajos de varios autores en los que se encontraron y mejoraron nuevas estimaciones de la brecha fundamental. [81]
En 1982, Yau identificó catorce problemas de interés en geometría espectral, incluida la conjetura de Pólya antes mencionada. [Y82b] Una conjetura particular de Yau, sobre el control del tamaño de los conjuntos de niveles de funciones propias por el valor del valor propio correspondiente, fue resuelta por Alexander Logunov y Eugenia Malinnikova , quienes recibieron el Premio de Investigación Clay 2017 en parte por su trabajo. [82]
Xianfeng Gu y Yau consideraron el cálculo numérico de mapas conformes entre variedades bidimensionales (presentadas como mallas discretizadas), y en particular el cálculo de mapas uniformizantes como lo predice el teorema de uniformización . En el caso de superficies de género cero, un mapa es conforme si y solo si es armónico, y por eso Gu y Yau pueden calcular mapas conformes mediante la minimización directa de una energía de Dirichlet discretizada . [GY02] En el caso de género superior, los mapas uniformizantes se calculan a partir de sus gradientes, como se determina a partir de la teoría de Hodge de 1-formas cerradas y armónicas. [GY02] El trabajo principal es, por lo tanto, identificar discretizaciones numéricamente efectivas de la teoría clásica. Su enfoque es lo suficientemente flexible para tratar superficies generales con límite. [GY03] [83] Con Tony Chan , Paul Thompson y Yalin Wang, Gu y Yau aplicaron su trabajo al problema de hacer coincidir dos superficies cerebrales, que es un tema importante en las imágenes médicas . En el caso más relevante del género cero, los mapas conformes solo están bien definidos hasta la acción del grupo de Möbius . Al optimizar aún más una energía de tipo Dirichlet que mide el desajuste de puntos de referencia cerebrales como el surco central , obtuvieron mapas que están bien definidos por dichas características neurológicas. [G+04]
En el campo de la teoría de grafos , Fan Chung y Yau desarrollaron extensamente análogos de nociones y resultados de la geometría de Riemann. Estos resultados sobre las desigualdades diferenciales de Harnack, las desigualdades de Sobolev y el análisis de núcleos de calor , encontrados en parte en colaboración con Ronald Graham y Alexander Grigor'yan, fueron escritos más tarde en forma de libro de texto como los últimos capítulos de su conocido libro "Teoría de grafos espectrales". [84] Más tarde, introdujeron una función de Green tal como se define para grafos, que equivale a una pseudoinversa del laplaciano de grafos . [CY00] Su trabajo es naturalmente aplicable al estudio de los tiempos de acierto para paseos aleatorios y temas relacionados. [85] [86]
Con el interés de encontrar contextos generales de teoría de grafos para sus resultados, Chung y Yau introdujeron una noción de planitud de Ricci de un grafo. [84] Una noción más flexible de curvatura de Ricci, que trata con cadenas de Markov en espacios métricos , fue introducida más tarde por Yann Ollivier. Yong Lin, Linyuan Lu y Yau desarrollaron parte de la teoría básica de la definición de Ollivier en el contexto especial de la teoría de grafos, considerando por ejemplo la curvatura de Ricci de los grafos aleatorios de Erdős–Rényi . [LLY11] Lin y Yau también consideraron las desigualdades de curvatura-dimensión introducidas anteriormente por Dominique Bakry y Michel Émery, relacionándolas y la curvatura de Ollivier con la noción de planitud de Ricci de Chung–Yau. [LY10] Además, pudieron demostrar límites inferiores generales en las curvaturas de Bakry–Émery y Ollivier en el caso de grafos localmente finitos. [87]
Yau ha recibido cátedras honorarias de muchas universidades chinas, entre ellas la Universidad Normal de Hunan , la Universidad de Pekín , la Universidad de Nankai y la Universidad de Tsinghua . Tiene títulos honorarios de muchas universidades internacionales, entre ellas la Universidad de Harvard , la Universidad China de Hong Kong y la Universidad de Waterloo . Es miembro extranjero de las Academias Nacionales de Ciencias de China, India y Rusia.
Entre sus premios se incluyen:
Artículos de investigación. Yau es autor de más de quinientos artículos. Entre los más citados, se encuentran los siguientes:
Artículos de revisión y publicaciones de obras recopiladas.
Libros de texto y monografías técnicas.
Libros populares.
Se convirtió en ciudadano de los Estados Unidos en 1990.
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