Calentar el núcleo

Solución fundamental a la ecuación del calor, dados los valores límite

En el estudio matemático de la conducción y difusión del calor , un núcleo de calor es la solución fundamental de la ecuación del calor en un dominio específico con condiciones de contorno apropiadas . También es una de las principales herramientas en el estudio del espectro del operador de Laplace y, por lo tanto, tiene cierta importancia auxiliar en toda la física matemática . El núcleo de calor representa la evolución de la temperatura en una región cuyo límite se mantiene fijo a una temperatura particular (normalmente cero), de modo que una unidad inicial de energía térmica se coloca en un punto en el tiempo t = 0 .

Solución fundamental de la ecuación unidimensional del calor. Rojo: evolución temporal de . Azul: evolución temporal de para dos puntos seleccionados. Versión interactiva. ${\displaystyle \Phi (x,t)}$ ${\displaystyle \Phi (x_{0},t)}$

El núcleo de calor más conocido es el núcleo de calor del espacio euclidiano d -dimensional R ^d , que tiene la forma de una función gaussiana variable en el tiempo , que está definida para todos y . Esto resuelve la ecuación del calor donde δ es una distribución delta de Dirac y el límite se toma en el sentido de distribuciones , es decir, para cada función suave ϕ de soporte compacto , tenemos $${\displaystyle K(t,x,y)=\exp \left(t\Delta \right)(x,y)={\frac {1}{\left(4\pi t\right)^{d/2}}}e^{-\|x-y\|^{2}/4t}}$$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle t>0}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)\\&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta (x-y)=\delta _{x}(y)\end{aligned}}\right.}$$ $${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(t,x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x).}$$

En un dominio más general Ω en R ^d , una fórmula explícita de este tipo no es generalmente posible. Los siguientes casos más simples de un disco o cuadrado involucran, respectivamente, funciones de Bessel y funciones theta de Jacobi . Sin embargo, el núcleo de calor todavía existe y es suave para t > 0 en dominios arbitrarios y de hecho en cualquier variedad de Riemann con borde , siempre que el borde sea suficientemente regular. Más precisamente, en estos dominios más generales, el núcleo de calor es la solución del problema de valor de borde inicial $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)&\quad {\text{ for all }}t>0{\text{ and }}x,y\in \Omega \\[6pt]&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta _{x}(y)&{\text{ for all }}x,y\in \Omega \qquad \qquad \,\\[6pt]&K(t,x,y)=0,&x\in \partial \Omega {\text{ or }}y\in \partial \Omega \qquad \,\,\,\,.\end{aligned}}\right.}$$

No es difícil derivar una expresión formal para el núcleo de calor en un dominio arbitrario. Consideremos el problema de Dirichlet en un dominio conexo (o variedad con frontera) U . Sean λ _n los valores propios para el problema de Dirichlet del Laplaciano Sea ϕ _n las funciones propias asociadas , normalizadas para ser ortonormales en L 2 ( U ) . El Laplaciano de Dirichlet inverso Δ ⁻¹ es un operador compacto y autoadjunto , y por lo tanto el teorema espectral implica que los valores propios de Δ satisfacen El núcleo de calor tiene la siguiente expresión: $${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\Delta \phi +\lambda \phi =0&{\text{in }}U\\\phi =0&{\text{on }}\ \partial U.\end{array}}\right.}$$ $${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \lambda _{3}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty .}$$

La diferenciación formal de la serie bajo el signo de la sumatoria muestra que esto debería satisfacer la ecuación del calor. Sin embargo, la convergencia y la regularidad de la serie son bastante delicadas.

El núcleo de calor también se identifica a veces con la transformada integral asociada , definida para ϕ suave y compactamente soportada por El teorema de mapeo espectral da una representación de T en la forma $${\displaystyle T\phi =\int _{\Omega }K(t,x,y)\phi (y)\,dy.}$$ $${\displaystyle T=e^{t\Delta }.}$$

Hay varios resultados geométricos sobre núcleos de calor en variedades; por ejemplo, asintóticos de tiempo corto, asintóticos de tiempo largo y límites superior/inferior de tipo gaussiano.

Véase también

• Firma del núcleo de calor
• Función Minakshisundaram-Pleijel zeta
• Núcleo de Mehler
• Transformada de Weierstrass § Generalizaciones

Referencias

• Berlín, Nicole; Getzler, E.; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operadores , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
• Chavel, Isaac (1984), Valores propios en la geometría de Riemann , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 115, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-170640-1, Sr.  0768584.
• Evans, Lawrence C. (1998), Ecuaciones diferenciales parciales , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0772-9
• Gilkey, Peter B. (1994), Teoría de la invariancia, la ecuación del calor y el teorema de Atiyah-Singer, ISBN 978-0-8493-7874-4
• Grigor'yan, Alexander (2009), Núcleo de calor y análisis en variedades, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, vol. 47, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4935-4, Sr.  2569498