Elliott Hershel Lieb (nacido el 31 de julio de 1932) es un físico matemático estadounidense . Es profesor de matemáticas y física en la Universidad de Princeton . Los trabajos de Lieb se refieren al problema cuántico y clásico de muchos cuerpos , [1] [2] [3] la estructura atómica , [3] la estabilidad de la materia , [3] las desigualdades funcionales, [4] la teoría del magnetismo , [2] y el modelo de Hubbard . [2]
Lieb nació en Boston en 1932 y su familia se mudó a Nueva York cuando él tenía cinco años. Su padre era de Lituania y era contable, mientras que su madre era de Besarabia y trabajaba como secretaria. [5]
Lieb recibió su licenciatura en física del Instituto Tecnológico de Massachusetts en 1953 [6] y su doctorado en física matemática de la Universidad de Birmingham en Inglaterra en 1956. [6] [7] Lieb fue becario Fulbright en la Universidad de Kioto , Japón (1956-1957), [6] y trabajó como físico teórico de IBM de 1960 a 1963. [6] En 1961-1962, Lieb estuvo de licencia como profesor de matemáticas aplicadas en Fourah Bay College , la Universidad de Sierra Leona . [6] En 1963, se unió a la Universidad Yeshiva como profesor asociado. [5] Ha sido profesor en Princeton desde 1975, [6] después de una licencia de su cátedra en el MIT.
Lieb está casado con su compañera profesora de Princeton, Christiane Fellbaum .
Durante años, Lieb ha rechazado la práctica habitual de transferir los derechos de autor de sus artículos de investigación a editoriales académicas . En lugar de ello, sólo daba a las editoriales su consentimiento para publicar. [8]
Lieb ha sido galardonado con varios premios en matemáticas y física, entre ellos el Premio Heineman de Física Matemática de la Sociedad Estadounidense de Física y el Instituto Estadounidense de Física (1978), [9] la Medalla Max Planck de la Sociedad Alemana de Física (1992), [10] la medalla Boltzmann de la Unión Internacional de Física Pura y Aplicada (1998), [11] el Premio Schock (2001), [12] el Premio Henri Poincaré de la Asociación Internacional de Física Matemática (2003), [13] y la Medalla del Instituto Erwin Schrödinger de Matemáticas y Física (2021). [14]
En 2022, Lieb recibió la Medalla al Logro Excepcional en Investigación de la Sociedad Estadounidense de Física por ″importantes contribuciones a la física teórica mediante la obtención de soluciones exactas a importantes problemas físicos, que han impactado la física de la materia condensada, la información cuántica, la mecánica estadística y la física atómica″ [15] y el Premio Carl Friedrich Gauss en el Congreso Internacional de Matemáticos ″por profundas contribuciones matemáticas de amplitud excepcional que han dado forma a los campos de la mecánica cuántica, la mecánica estadística, la química computacional y la teoría de la información cuántica″. [16] También en 2022 recibió la Medalla Dirac del ICTP [17] junto con Joel Lebowitz y David Ruelle .
Lieb es miembro de la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos [18] y ha servido dos veces (1982-1984 y 1997-1999) como presidente de la Asociación Internacional de Física Matemática . [19] Lieb fue galardonado con la Condecoración Austriaca de Ciencia y Arte en 2002. [20] En 2012 se convirtió en miembro de la Sociedad Matemática Americana [21] y en 2013 en Miembro Extranjero de la Royal Society . [22]
En 2023, Lieb recibió el Premio Kyoto en Ciencias Básicas por sus logros en física de muchos cuerpos. [23]
Lieb ha hecho contribuciones fundamentales tanto a la física teórica como a las matemáticas. Aquí se describen solo algunas de ellas. Sus principales artículos de investigación están reunidos en cuatro volúmenes de Selecta. [1] [2] [3] [4] También se pueden encontrar más detalles en dos libros publicados por EMS Press en 2022 con motivo de su 90 cumpleaños. [24] Allí se analiza su investigación en más de 50 capítulos.
Lieb es famoso por muchos resultados innovadores en mecánica estadística que se refieren, en particular, a sistemas solubles. Sus numerosos trabajos han sido recopilados en Selecta ″Mecánica estadística″ [1] y ″Física de la materia condensada y modelos exactamente solubles″ , [2] así como en un libro con Daniel Mattis. [25] Tratan (entre otras cosas) modelos de tipo Ising , modelos para ferromagnetismo y ferroelectricidad , la solución exacta del modelo de seis vértices del hielo en dos dimensiones, el gas delta Bose unidimensional (ahora llamado modelo de Lieb-Liniger ) y el modelo de Hubbard .
Junto con Daniel Mattis y Theodore Schultz, Lieb resolvió en 1964 el modelo bidimensional de Ising (con una nueva derivación de la solución exacta por Lars Onsager a través de la transformación de Jordan-Wigner de las matrices de transferencia) y en 1961 el modelo XY , un modelo unidimensional de espín 1/2 explícitamente resoluble. En 1968, junto con Fa-Yueh Wu , dio la solución exacta del modelo unidimensional de Hubbard.
En 1971, Lieb y Neville Temperley introdujeron el álgebra de Temperley-Lieb para construir ciertas matrices de transferencia. Esta álgebra también tiene vínculos con la teoría de nudos y el grupo de trenzas , los grupos cuánticos y los subfactores de las álgebras de von Neumann .
Junto con Derek W. Robinson, en 1972, Lieb derivó límites para la velocidad de propagación de la información en sistemas de espín no relativistas con interacciones locales. Estos límites se conocen como límites de Lieb-Robinson y desempeñan un papel importante, por ejemplo, en los límites de error en el límite termodinámico o en la computación cuántica . Pueden utilizarse para demostrar la descomposición exponencial de las correlaciones en sistemas de espín o para hacer afirmaciones sobre la brecha por encima del estado fundamental en sistemas de espín de dimensiones superiores (teoremas generalizados de Lieb-Schultz-Mattis).
En 1972, Lieb y Mary Beth Ruskai demostraron la subaditividad fuerte de la entropía cuántica , un teorema fundamental para la teoría de la información cuántica . Esto está estrechamente relacionado con lo que se conoce como la desigualdad de procesamiento de datos en la teoría de la información cuántica. La prueba de Lieb-Ruskai de la subaditividad fuerte se basa en un artículo anterior en el que Lieb resolvió varias conjeturas importantes sobre las desigualdades de operadores, incluida la conjetura de Wigner-Yanase-Dyson. [26]
En los años 1997-99, Lieb proporcionó un tratamiento riguroso del aumento de la entropía en la segunda ley de la termodinámica y la accesibilidad adiabática con Jakob Yngvason . [27]
En 1975, Lieb y Walter Thirring encontraron una prueba de la estabilidad de la materia que era más breve y más conceptual que la de Freeman Dyson y Andrew Lenard en 1967. Su argumento se basa en una nueva desigualdad en la teoría espectral, que se conoció como la desigualdad de Lieb-Thirring . Esta última se ha convertido en una herramienta estándar en el estudio de grandes sistemas fermiónicos, por ejemplo para fermiones (pseudo)relativistas en interacción con campos electromagnéticos clásicos o cuantizados. Desde el punto de vista matemático, la desigualdad de Lieb-Thirring también ha generado un enorme interés en la teoría espectral de los operadores de Schrödinger. [28] Este fructífero programa de investigación ha conducido a muchos resultados importantes que se pueden leer en su Selecta ″La estabilidad de la materia: de los átomos a las estrellas″ [3] así como en su libro ″La estabilidad de la materia en la mecánica cuántica″ con Robert Seiringer . [29]
Basándose en el teorema original de Dyson-Lenard sobre la estabilidad de la materia, Lieb, junto con Joel Lebowitz, ya había aportado en 1973 la primera prueba de la existencia de funciones termodinámicas para la materia cuántica. Con Heide Narnhofer hizo lo mismo con Jellium , también llamado gas electrónico homogéneo , que está en la base de la mayoría de los funcionales de la teoría de los funcionales de la densidad .
En la década de 1970, Lieb, junto con Barry Simon, estudió varias aproximaciones no lineales de la ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos, en particular la teoría de Hartree-Fock y el modelo atómico de Thomas-Fermi. Aportaron la primera prueba rigurosa de que este último proporciona el orden principal de la energía para átomos grandes no relativistas. Con Rafael Benguria y Haïm Brezis , estudió varias variaciones del modelo de Thomas-Fermi .
El problema de la ionización en física matemática exige un límite superior riguroso para el número de electrones que un átomo con una carga nuclear dada puede unir. La evidencia experimental y numérica parece sugerir que puede haber como máximo uno, o posiblemente dos electrones adicionales. Demostrar esto rigurosamente es un problema abierto. Una pregunta similar puede plantearse con respecto a las moléculas. Lieb demostró un famoso límite superior para el número de electrones que un núcleo puede unir. Además, junto con Israel Michael Sigal , Barry Simon y Walter Thirring , demostró, por primera vez, que el exceso de carga es asintóticamente pequeño en comparación con la carga nuclear.
Junto con Jakob Yngvason , Lieb dio una prueba rigurosa de una fórmula para la energía del estado fundamental de los gases de Bose diluidos. Posteriormente, junto con Robert Seiringer y Jakob Yngvason estudió la ecuación de Gross-Pitaevskii para la energía del estado fundamental de los bosones diluidos en una trampa, comenzando con la mecánica cuántica de muchos cuerpos. [30] Los trabajos de Lieb con Joseph Conlon y Horng-Tzer Yau y con Jan Philip Solovej sobre lo que se conoce como la ley de los bosones proporcionan la primera justificación rigurosa de la teoría de emparejamiento de Bogoliubov.
En química cuántica, Lieb es famoso por haber proporcionado en 1983 la primera formulación rigurosa de la teoría de los funcionales de la densidad utilizando herramientas de análisis convexo. El funcional universal de Lieb proporciona la energía más baja de un sistema de Coulomb con un perfil de densidad dado, para estados mixtos. En 1980, demostró con Stephen Oxford la desigualdad de Lieb-Oxford [31] que proporciona una estimación de la energía clásica de Coulomb más baja posible a una densidad fija y que más tarde se utilizó para la calibración de algunos funcionales como PBE y SCAN. Más recientemente, junto con Mathieu Lewin y Robert Seiringer, dio la primera justificación rigurosa de la aproximación de densidad local para densidades que varían lentamente. [32]
En los años 70, Lieb entró en los campos matemáticos del cálculo de variaciones y las ecuaciones diferenciales parciales , donde realizó contribuciones fundamentales. Un tema importante fue la búsqueda de las mejores constantes en varias desigualdades del análisis funcional , que luego utilizó para estudiar rigurosamente los sistemas cuánticos no lineales. Sus resultados en esta dirección se recogen en Selecta ″Inequalities″ . [4] Entre las desigualdades en las que determinó las constantes agudas se encuentran la desigualdad de Young y la desigualdad de Hardy-Littlewood-Sobolev, que se analizarán más adelante. También desarrolló herramientas que ahora se consideran estándar en el análisis, como las desigualdades de reordenamiento o el lema de Brezis-Lieb que proporciona el término faltante en el lema de Fatou para secuencias de funciones que convergen casi en todas partes.
Junto con Herm Brascamp y Joaquin Luttinger , Lieb demostró en 1974 una generalización de la desigualdad de reordenamiento de Riesz , afirmando que ciertas integrales multilineales aumentan cuando todas las funciones se reemplazan por su reordenamiento decreciente simétrico . Junto con Frederick Almgren , aclaró las propiedades de continuidad del reordenamiento. El reordenamiento se utiliza a menudo para demostrar la existencia de soluciones para algunos modelos no lineales.
En dos artículos (uno en 1976 con Herm Brascamp y otro solo en 1990), Lieb determinó la validez y las mejores constantes de toda una familia de desigualdades que generalizan, por ejemplo, la desigualdad de Hölder , la desigualdad de Young para convoluciones y la desigualdad de Loomis-Whitney . Esto ahora se conoce como la desigualdad de Brascamp-Lieb . El espíritu es que la mejor constante está determinada por el caso en que todas las funciones son gaussianas. La desigualdad de Brascamp-Lieb ha encontrado aplicaciones y extensiones, por ejemplo, en el análisis armónico.
Utilizando desigualdades de reordenamiento y métodos de compacidad, Lieb demostró en 1983 la existencia de optimizadores para la desigualdad de Hardy-Littlewood-Sobolev y de la desigualdad de Sobolev . También determinó la mejor constante en algunos casos, descubriendo y explotando la invariancia conforme del problema y relacionándola, mediante proyección estereográfica , con un problema conformemente equivalente, pero más manejable en la esfera. Una nueva prueba libre de reordenamiento fue proporcionada más tarde por Rupert Frank, permitiendo tratar el caso del grupo de Heisenberg. [33]
En un trabajo de 1977, Lieb también demostró la unicidad (hasta simetrías) del estado fundamental para la ecuación de Choquard-Pekar, también llamada ecuación de Schrödinger-Newton , [34] que puede describir un objeto autogravitatorio o un electrón que se mueve en un medio polarizable ( polarón ). Con Lawrence Thomas proporcionó en 1997 una derivación variacional de la ecuación de Choquard-Pekar a partir de un modelo en la teoría cuántica de campos (el hamiltoniano de Fröhlich ). Esto había sido resuelto anteriormente por Monroe Donsker y Srinivasa Varadhan utilizando un método de integral de trayectoria probabilística.
En otro trabajo con Herm Brascamp en 1976, Lieb extendió la desigualdad de Prékopa-Leindler a otros tipos de combinaciones convexas de dos funciones positivas. Reforzó la desigualdad y la desigualdad de Brunn-Minkowski introduciendo el concepto de adición esencial.
Lieb también escribió artículos influyentes sobre mapas armónicos, entre otros con Frederick Almgren , Haïm Brezis y Jean-Michel Coron . En particular, Algrem y Lieb demostraron un límite en el número de singularidades de mapas armónicos que minimizan la energía.
Por último, cabe mencionar su libro de texto “Análisis” con Michael Loss . [35] Se ha convertido en un estándar para los cursos de posgrado en análisis matemático. Desarrolla todas las herramientas tradicionales de análisis de una forma concisa, intuitiva y elocuente, con vistas a su aplicación.
Se trata de dos libros publicados por EMS Press con motivo del 90º cumpleaños de Lieb, que contienen alrededor de 50 capítulos sobre su influencia en una amplia gama de temas y los desarrollos posteriores resultantes. Muchas contribuciones son de carácter expositivo y, por lo tanto, accesibles para los no expertos.
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