Límites de Lieb-Robinson

Límite de velocidad de la información cuántica

El límite de Lieb-Robinson es un límite superior teórico de la velocidad a la que la información puede propagarse en sistemas cuánticos no relativistas . Demuestra que la información no puede viajar instantáneamente en la teoría cuántica, incluso cuando se ignoran los límites de relatividad de la velocidad de la luz . La existencia de una velocidad finita de este tipo fue descubierta matemáticamente por Elliott H. Lieb y Derek W. Robinson en 1972. ^[1] Convierte las propiedades de localidad de los sistemas físicos en la existencia de un límite superior para esta velocidad. El límite ahora se conoce como límite de Lieb-Robinson y la velocidad se conoce como velocidad de Lieb-Robinson. Esta velocidad siempre es finita pero no universal, dependiendo de los detalles del sistema en consideración. Para interacciones de rango finito, por ejemplo, con el vecino más cercano, esta velocidad es una constante independiente de la distancia recorrida. En sistemas que interactúan a largo plazo, esta velocidad sigue siendo finita, pero puede aumentar con la distancia recorrida. ^{[2] [3]}

En el estudio de sistemas cuánticos como la óptica cuántica , la teoría de la información cuántica , la física atómica y la física de la materia condensada , es importante saber que existe una velocidad finita con la que la información puede propagarse. La teoría de la relatividad muestra que ninguna información, ni ninguna otra cosa, puede viajar más rápido que la velocidad de la luz. Sin embargo, cuando se considera la mecánica no relativista ( las ecuaciones de movimiento de Newton o la ecuación de la mecánica cuántica de Schrödinger ) se había pensado que no había límite a la velocidad de propagación de la información. Esto no es así para ciertos tipos de sistemas cuánticos de átomos dispuestos en una red, a menudo llamados sistemas de espín cuántico. Esto es importante conceptual y prácticamente, porque significa que, durante períodos cortos de tiempo, partes distantes de un sistema actúan de forma independiente.

Una de las aplicaciones prácticas de los límites de Lieb-Robinson es la computación cuántica . Las propuestas actuales para construir computadoras cuánticas construidas a partir de unidades de tipo atómico se basan principalmente en la existencia de esta velocidad finita de propagación para protegerse contra la dispersión demasiado rápida de la información. ^{[4] [3]}

Configuración

Para definir el límite, es necesario describir primero hechos básicos sobre los sistemas mecánicos cuánticos compuestos de varias unidades, cada una con un espacio de Hilbert de dimensión finita .

Los límites de Lieb-Robinson se consideran en una red -dimensional ( o ) , como la red cuadrada . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =1,2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} ^{2}}$

A cada punto se le asocia un espacio de Hilbert de estados . La dimensión de este espacio es finita, pero esto se generalizó en 2008 para incluir dimensiones infinitas (ver más abajo). Esto se llama sistema de espín cuántico . ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$ ${\displaystyle x\in \Gamma }$

Para cada subconjunto finito de la red, , el espacio de Hilbert asociado está dado por el producto tensorial ${\displaystyle X\subset \Gamma }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{X}=\bigotimes _{x\in X}{\mathcal {H}}_{x}}$.

Un observable apoyado en (es decir, depende sólo de) un conjunto finito es un operador lineal en el espacio de Hilbert . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\subset \Gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{X}}$

Cuando es de dimensión finita, elija una base finita de operadores que abarquen el conjunto de operadores lineales en . Entonces, cualquier observable en puede escribirse como una suma de operadores de base en . ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$

El hamiltoniano del sistema se describe mediante una interacción . La interacción es una función de los conjuntos finitos a los observables autoadjuntos admitidos en . Se supone que la interacción es de rango finito (lo que significa que si el tamaño de excede un cierto tamaño prescrito) e invariante en la traducción . Estos requisitos se eliminaron más tarde. ^{[2] [5]} ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ ${\displaystyle X\subset \Gamma }$ ${\displaystyle \Phi (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi (X)=0}$ ${\displaystyle X}$

Aunque normalmente se supone que existe invariancia de la traslación, no es necesario hacerlo. Es suficiente suponer que la interacción está acotada por encima y por debajo de su dominio. Por lo tanto, el límite es bastante robusto en el sentido de que es tolerante a los cambios del hamiltoniano. Sin embargo, es esencial un rango finito. Se dice que una interacción es de rango finito si existe un número finito tal que para cualquier conjunto con diámetro mayor que la interacción es cero, es decir, . Nuevamente, este requisito se eliminó más tarde. ^{[2] [5]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Phi (X)=0}$

El hamiltoniano del sistema con interacción se define formalmente por: ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle H_{\Phi }=\sum _{X\subset \Gamma }\Phi (X)}$.

Las leyes de la mecánica cuántica dicen que a cada cantidad físicamente observable corresponde un operador autoadjunto . Para cada observable con un soporte finito, el hamiltoniano define un grupo continuo de un parámetro de transformaciones de los observables dado por ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \tau _{t}}$ ${\displaystyle \tau _{t}}$

${\displaystyle A(t)=e^{itH_{\Phi }}Ae^{-itH_{\Phi }}.}$

Aquí, tiene un significado físico del tiempo. (Técnicamente hablando, esta evolución del tiempo se define por una expansión de serie de potencias que se sabe que es una serie convergente normativa , véase, ^[6] Teorema 7.6.2, que es una adaptación de. ^[7] Se pueden encontrar detalles más rigurosos en. ^[1] ) ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A(t)=A+it[H,A]+{\frac {(it)^{2}}{2!}}[H,[H,A]]+\cdots }$

El límite en cuestión fue demostrado en ^[1] y es el siguiente: Para cualesquiera observables y con soportes finitos y , respectivamente, y para cualquier tiempo se cumple lo siguiente para algunas constantes positivas y : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X\subset \Gamma }$ ${\displaystyle Y\subset \Gamma }$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a,c}$ ${\displaystyle v}$

donde denota la distancia entre los conjuntos y . El operador se denomina conmutador de los operadores y , mientras que el símbolo denota la norma o tamaño de un operador . El límite no tiene nada que ver con el estado del sistema cuántico, sino que depende únicamente del hamiltoniano que gobierna la dinámica. ^{[ cita requerida ]} Una vez que se establece este límite del operador, necesariamente se traslada a cualquier estado del sistema. ${\displaystyle d(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \|O\|}$ ${\displaystyle O}$

Una constante positiva depende de las normas de los observables y , los tamaños de los soportes y , la interacción, la estructura reticular y la dimensión del espacio de Hilbert . Una constante positiva depende únicamente de la interacción y la estructura reticular. El número se puede elegir a voluntad siempre que se elija lo suficientemente grande. En otras palabras, cuanto más se aleja uno en el cono de luz, , más aguda es la tasa de decaimiento exponencial. (En trabajos posteriores, los autores tendieron a considerarla como una constante fija). La constante se llama velocidad de grupo o velocidad de Lieb-Robinson . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle d(X,Y)/v|t|}$ ${\displaystyle d(X,Y)-v|t|}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle v}$

El límite ( 1 ) se presenta de forma ligeramente diferente a la ecuación en el artículo original que derivaba tasas de decaimiento dependientes de la velocidad a lo largo de rayos del espacio-tiempo con velocidad mayor que . ^[1] Esta forma más explícita ( 1 ) se puede ver en la prueba del límite ^[1] ${\displaystyle v_{LR}}$

El límite de Lieb-Robinson muestra que para los tiempos la norma en el lado derecho es exponencialmente pequeña. Este es el error exponencialmente pequeño mencionado anteriormente. ${\displaystyle |t|<d(X,Y)/v}$

La razón para considerar el conmutador en el lado izquierdo de los límites de Lieb-Robinson es la siguiente:

El conmutador entre los observables y es cero si sus soportes son disjuntos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Lo inverso también es cierto: si un observable es tal que su conmutador con cualquier observable soportado fuera de algún conjunto es cero, entonces tiene un soporte dentro del conjunto . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

Esta afirmación también es aproximadamente verdadera en el siguiente sentido: ^[8] supongamos que existe algún tal que para algún observable y cualquier observable que se apoya fuera del conjunto . Entonces existe un observable con apoyo dentro del conjunto que se aproxima a un observable , es decir . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \|[A,B]\|\leq \epsilon \|B\|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A(\epsilon )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|A-A(\epsilon )\|\leq \epsilon }$

Así, los límites de Lieb-Robinson dicen que la evolución temporal de un observable con soporte en un conjunto se mantiene (hasta errores exponencialmente pequeños) en un entorno del conjunto , donde con es la velocidad de Lieb-Robinson. Fuera de este conjunto no hay influencia de . En otras palabras, estos límites afirman que la velocidad de propagación de perturbaciones en sistemas de espín cuántico está acotada. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta <v|t|}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$

Mejoras

En ^[9] Robinson generalizó el límite ( 1 ) al considerar interacciones que decaen exponencialmente (que no necesitan ser invariantes de la traducción), es decir, para las cuales la fuerza de la interacción decae exponencialmente con el diámetro del conjunto. Este resultado se analiza en detalle en ^[10] Capítulo 6. No se mostró gran interés en los límites de Lieb-Robinson hasta 2004, cuando Hastings ^[11] los aplicó al teorema de Lieb-Schultz-Mattis. Posteriormente, Nachtergaele y Sims ^[12] extendieron los resultados de ^[9] para incluir modelos en vértices con una métrica y para derivar el decaimiento exponencial de correlaciones. De 2005 a 2006, el interés en los límites de Lieb-Robinson se fortaleció con aplicaciones adicionales al decaimiento exponencial de correlaciones (ver ^{[2] [5] [13]} y las secciones siguientes). Se desarrollaron nuevas pruebas de los límites y, en particular, se mejoró la constante en ( 1 ) haciéndola independiente de la dimensión del espacio de Hilbert.

Se realizaron varias mejoras adicionales de la constante en ( 1 ). ^[14] En 2008, el límite de Lieb-Robinson se extendió al caso en que cada uno es de dimensión infinita. ^[15] En ^[15] se demostró que las perturbaciones ilimitadas in situ no cambian el límite de Lieb-Robinson. Es decir, se pueden considerar hamiltonianos de la siguiente forma en un subconjunto finito : ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle H_{x}}$ ${\displaystyle \Lambda \subset \Gamma }$

${\displaystyle H_{\Lambda }=\sum _{x\in \Lambda }H_{x}+\sum _{X\subset \Lambda }\Phi (X),}$

donde es un operador autoadjunto sobre , que no necesita estar acotado. ${\displaystyle H_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$

Hamiltonianos armónicos y anarmónicos

Los límites de Lieb-Robinson se extendieron a ciertos sistemas cuánticos continuos, es decir a un hamiltoniano armónico general, ^[15] que, en un volumen finito , donde son números enteros positivos, toma la forma: ${\displaystyle \Gamma _{L}=(-L,L)^{d}\cap \mathbb {Z} ^{d},}$ ${\displaystyle L,d}$

${\displaystyle \sum _{x\in \Gamma _{L}}p_{x}^{2}+\omega ^{2}q_{x}^{2}+\sum _{x\in \Gamma _{L}}\sum _{j=1}^{\nu }\lambda _{j}(q_{x}-q_{x+e_{j}})^{2},}$

donde se imponen las condiciones de contorno periódicas y , . Aquí están los vectores de base canónicos en . ${\displaystyle \lambda _{j}\geq 0}$ ${\displaystyle \omega >0}$ ${\displaystyle \{e_{j}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

Se consideraron hamiltonianos anarmónicos con perturbaciones en el sitio y en sitios múltiples y se derivaron los límites de Lieb-Robinson para ellos, ^{[15] [16]} Se discutieron generalizaciones adicionales de la red armónica, ^{[17] [18]}

Dinámica irreversible

Otra generalización de los límites de Lieb-Robinson se realizó para la dinámica irreversible, en cuyo caso la dinámica tiene una parte hamiltoniana y también una parte disipativa. La parte disipativa se describe mediante términos de la forma de Lindblad, de modo que la dinámica satisface la ecuación maestra de Lindblad-Kossakowski . ${\displaystyle \tau _{t}}$

Los límites de Lieb-Robinson para la dinámica irreversible fueron considerados por ^[13] en el contexto clásico y por ^[19] para una clase de sistemas reticulares cuánticos con interacciones de rango finito. Los límites de Lieb-Robinson para modelos reticulares con una dinámica generada por interacciones tanto hamiltonianas como disipativas con decaimiento adecuadamente rápido en el espacio, y que puede depender del tiempo, fueron demostrados por ^[20] donde también probaron la existencia de la dinámica infinita como un cociclo fuertemente continuo de mapas completamente positivos que preservan la unidad.

Interacciones de ley de potencia

Los límites de Lieb-Robinson también se generalizaron a interacciones que decaen como una ley de potencia, es decir, la fuerza de la interacción está limitada superiormente por donde es el diámetro del conjunto y es una constante positiva. ^{[2] [21] [22] [3]} Comprender si la localidad persiste para interacciones de ley de potencia tiene serias implicaciones para sistemas como iones atrapados, átomos de Rydberg, átomos ultrafríos y moléculas. ${\displaystyle 1/r^{\alpha },}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \alpha }$

A diferencia de los sistemas de interacción de rango finito donde la información solo puede viajar a una velocidad constante, las interacciones de ley de potencia permiten que la información viaje a una velocidad que aumenta con la distancia. ^[23] Por lo tanto, los límites de Lieb-Robinson para interacciones de ley de potencia generalmente producen un cono de luz sublineal que es asintóticamente lineal en el límite. Un análisis reciente ^{[ ¿cuándo? ]} que utilizó un algoritmo de simulación cuántica implicó un cono de luz , donde es la dimensión del sistema. ^[3] El ajuste del cono de luz para interacciones de ley de potencia sigue siendo un área de investigación activa. ${\displaystyle \alpha \rightarrow \infty .}$ ${\displaystyle t\gtrsim r^{(\alpha -2D)(\alpha -D)}}$ ${\displaystyle D}$

Algunas aplicaciones

Los límites de Lieb-Robinson se utilizan en muchas áreas de la física matemática. Entre las principales aplicaciones del límite se encuentran los límites de error en algoritmos de simulación cuántica, la existencia del límite termodinámico, el decaimiento exponencial de las correlaciones y el teorema de Lieb-Schultz-Mattis.

Algoritmos de simulación cuántica digital

El objetivo de la simulación cuántica digital es simular la dinámica de un sistema cuántico utilizando la menor cantidad de puertas cuánticas elementales. Para un sistema que interactúa con partículas en el vecino más cercano, simular su dinámica en el tiempo utilizando la fórmula del producto de Lie requiere puertas cuánticas. En 2018, Haah et al. ^[4] propusieron un algoritmo cuántico casi óptimo que utiliza solo puertas cuánticas. La idea es aproximar la dinámica del sistema mediante la dinámica de sus subsistemas, algunos de ellos separados espacialmente. El error de la aproximación está limitado por el límite original de Lieb-Robinson. Más tarde, el algoritmo se generaliza a interacciones de ley de potencia y, posteriormente, se utiliza para derivar un límite de Lieb-Robinson más fuerte. ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle O(n^{2}t^{2})}$ ${\displaystyle O(nt\log(nt))}$

Límite termodinámico de la dinámica

Una de las propiedades importantes de cualquier modelo destinado a describir las propiedades de la materia en masa es la existencia del límite termodinámico, que establece que las propiedades intrínsecas del sistema deberían ser esencialmente independientes del tamaño del sistema, que, en cualquier configuración experimental, es finito.

El límite termodinámico estático desde el punto de vista del equilibrio se estableció mucho antes de que se demostrara el límite de Lieb-Robinson, véase ^[6] por ejemplo. En ciertos casos se puede utilizar un límite de Lieb-Robinson para establecer la existencia de un límite termodinámico de la dinámica , , para una red infinita como el límite de la dinámica de red finita. El límite se considera habitualmente sobre una secuencia creciente de subconjuntos finitos , es decir, tal que para , hay una inclusión . Para demostrar la existencia de la dinámica infinita como un grupo uniparamétrico fuertemente continuo de automorfismos, se demostró que es una secuencia de Cauchy y, en consecuencia, es convergente. Por consideraciones elementales, se deduce entonces la existencia del límite termodinámico. Se puede encontrar una discusión más detallada del límite termodinámico en ^[24] sección 6.2. ${\displaystyle \tau _{t}^{\Gamma }}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Lambda _{n}\subset \Gamma }$ ${\displaystyle n<m}$ ${\displaystyle \Lambda _{n}\subset \Lambda _{m}}$ ${\displaystyle \tau _{t}^{\Gamma }}$ ${\displaystyle \{\tau _{t}^{\Lambda _{n}}\}_{n}}$

Robinson fue el primero en demostrar la existencia del límite termodinámico para interacciones de decaimiento exponencial. ^[9] Más tarde, Nachtergaele et al. ^{[5] [16] [20]} demostraron la existencia de la dinámica de volumen infinito para casi todos los tipos de interacción descrita en la sección "Mejoras de los límites de Lieb-Robinson" anterior.

Decaimiento exponencial de correlaciones

Sea el valor esperado del observable en un estado . La función de correlación entre dos observables y se define como ${\displaystyle \langle A\rangle _{\Omega }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \langle AB\rangle _{\Omega }-\langle A\rangle _{\Omega }\langle B\rangle _{\Omega }.}$

Los límites de Lieb-Robinson se utilizan para mostrar que las correlaciones decaen exponencialmente en la distancia para un sistema con una brecha de energía por encima de un estado fundamental no degenerado , ver. ^{[2] [12]} En otras palabras, la desigualdad ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle |\langle AB\rangle _{\Omega }-\langle A\rangle _{\Omega }\langle B\rangle _{\Omega }|\leq K\|A\|\|B\|\min(|X|,|Y|)\ e^{-a\,d(X,Y)},}$

se cumple para los observables y con apoyo en los conjuntos y respectivamente. Aquí y se presentan algunas constantes. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a}$

Alternativamente, el estado puede tomarse como un estado de producto, en cuyo caso las correlaciones decaen exponencialmente sin asumir la brecha de energía por encima del estado fundamental. ^[5] ${\displaystyle \Omega }$

Esta desintegración se conocía desde hacía tiempo en el caso de la dinámica relativista, pero sólo se suponía que existía en el caso de la dinámica newtoniana. Los límites de Lieb-Robinson consiguen sustituir la simetría relativista por estimaciones locales en el hamiltoniano.

Teorema de Lieb-Schultz-Mattis

El teorema de Lieb-Schultz-Mattis implica que el estado fundamental del antiferroimán de Heisenberg en una red bipartita con subredes isomorfas no es degenerado, es decir, es único, pero la brecha puede ser muy pequeña. ^[25]

Para sistemas unidimensionales y cuasi-unidimensionales de longitud par y con espín semi-integral, Affleck y Lieb, ^[26] generalizando el resultado original de Lieb, Schultz y Mattis, ^[27] demostraron que la brecha en el espectro por encima del estado fundamental está limitada por arriba por ${\displaystyle \gamma _{L}}$

${\displaystyle \gamma _{L}\leq c/L,}$

donde es el tamaño de la red y es una constante. Se han hecho muchos intentos para extender este resultado a dimensiones superiores , , ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d>1}$

^{Hastings [11]} y Nachtergaele-Sims ^[28] utilizaron el límite de Lieb-Robinson en una demostración del teorema de Lieb-Schultz-Mattis para casos de dimensiones superiores. Se obtuvo el siguiente límite para el gap:

${\displaystyle \gamma _{L}\leq c\log(L)/L.}$.

Discretización del continuo mediante reglas de cuadratura de Gauss

En 2015, se demostró que el límite de Lieb-Robinson también puede tener aplicaciones fuera del contexto de los hamiltonianos locales, como explicamos ahora. El modelo de espín-bosón describe la dinámica de un espín acoplado a un continuo de osciladores. Se ha estudiado en gran detalle y explica los efectos disipativos cuánticos en una amplia gama de sistemas cuánticos. Sea el hamiltoniano del modelo de espín-bosón con un baño bosónico continuo, y denotemos el modelo de espín-bosón cuyo baño se ha discretizado para incluir osciladores armónicos con frecuencias elegidas de acuerdo con las reglas de cuadratura de Gauss . Para todos los observables en el hamiltoniano de espín, el error en el valor esperado de inducido por la discretización del modelo de espín-bosón de acuerdo con el esquema de discretización anterior está acotado por ^[29] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{L}}$ ${\displaystyle L\in \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

donde son constantes positivas y es la velocidad de Lieb–Robinson que en este caso es directamente proporcional a , la frecuencia máxima del baño en el modelo de Spin-Boson. Aquí, el número de modos discretos juega el papel de una distancia mencionada debajo de la ecuación ( 1 ). También se puede limitar el error inducido por el truncamiento del espacio de Fock local de los osciladores armónicos ^[30] ${\displaystyle c,a}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \omega _{max}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d(X,Y)}$

Experimentos

La primera observación experimental de la velocidad de Lieb-Robinson fue realizada por Cheneau et al. ^[31].

Referencias

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