Ecuación de Schrödinger-Newton

Modificación no lineal de la ecuación de Schrödinger.

La ecuación de Schrödinger-Newton , a veces denominada ecuación de Newton-Schrödinger o ecuación de Schrödinger-Poisson , es una modificación no lineal de la ecuación de Schrödinger con un potencial gravitacional newtoniano , donde el potencial gravitacional surge del tratamiento de la función de onda como una densidad de masa. , incluido un término que representa la interacción de una partícula con su propio campo gravitacional. La inclusión de un término de autointeracción representa una alteración fundamental de la mecánica cuántica. ^[1] Puede escribirse como una ecuación integrodiferencial única o como un sistema acoplado de una ecuación de Schrödinger y una de Poisson . En este último caso también se hace referencia en plural.

La ecuación de Schrödinger-Newton fue considerada por primera vez por Ruffini y Bonazzola ^{[2] en relación con} las estrellas de bosones autogravitantes . En este contexto de la relatividad general clásica , aparece como el límite no relativista de la ecuación de Klein-Gordon o de la ecuación de Dirac en un espacio-tiempo curvo junto con las ecuaciones de campo de Einstein . ^[3] La ecuación también describe la materia oscura difusa y se aproxima a la materia oscura fría clásica descrita por la ecuación de Vlasov-Poisson en el límite en el que la masa de la partícula es grande. ^[4]

Posteriormente fue propuesta como modelo para explicar el colapso de la función de onda cuántica por Lajos Diósi ^[5] y Roger Penrose , ^{[6] [7] [8]} de quienes se origina el nombre "ecuación de Schrödinger-Newton". En este contexto, la materia tiene propiedades cuánticas, mientras que la gravedad sigue siendo clásica incluso en el nivel fundamental. Por lo tanto, también se sugirió la ecuación de Schrödinger-Newton como una forma de probar la necesidad de la gravedad cuántica . ^[9]

En un tercer contexto, la ecuación de Schrödinger-Newton aparece como una aproximación de Hartree para la interacción gravitacional mutua en un sistema de un gran número de partículas. En este contexto, Philippe Choquard sugirió una ecuación correspondiente para la interacción electromagnética de Coulomb en el Simposio sobre sistemas de Coulomb de 1976 en Lausana para describir plasmas de un componente. Elliott H. Lieb proporcionó la prueba de la existencia y unicidad de un estado fundamental estacionario y se refirió a la ecuación como ecuación de Choquard . ^[10]

Descripción general

Como sistema acoplado, las ecuaciones de Schrödinger-Newton son la ecuación de Schrödinger habitual con un potencial gravitacional de autointeracción.

$${\displaystyle i\hbar \ {\frac {\partial \Psi }{\ \partial t\ }}=-{\frac {\ \hbar ^{2}}{\ 2\ m\ }}\ \nabla ^{2}\Psi \;+\;V\ \Psi \;+\;m\ \Phi \ \Psi \ ,}$$

 V  ${\displaystyle \ \Phi \ ,}$

$${\displaystyle \ \nabla ^{2}\Phi =4\pi \ G\ m\ |\Psi |^{2}~.}$$

sistema no lineal

Reemplazar con la solución de la ecuación de Poisson produce la forma integrodiferencial de la ecuación de Schrödinger-Newton: ${\displaystyle \ \Phi \ }$

$${\displaystyle i\hbar \ {\frac {\ \partial \Psi \ }{\partial t}}=\left[\ -{\frac {\ \hbar ^{2}}{\ 2\ m\ }}\ \nabla ^{2}\;+\;V\;-\;G\ m^{2}\int {\frac {\ |\Psi (t,\mathbf {y} )|^{2}}{\ |\mathbf {x} -\mathbf {y} |\ }}\;\mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} \ \right]\Psi ~.}$$

Matemáticamente, la ecuación de Schrödinger-Newton es un caso especial de la ecuación de Hartree para n = 2  . La ecuación conserva la mayoría de las propiedades de la ecuación lineal de Schrödinger. En particular, es invariante bajo cambios de fase constantes, lo que lleva a la conservación de la probabilidad y exhibe una invariancia total de Galilei . Además de estas simetrías, una transformación simultánea

$${\displaystyle m\to \mu \ m\ ,\qquad t\to \mu ^{-5}t\ ,\qquad \mathbf {x} \to \mu ^{-3}\mathbf {x} \ ,\qquad \psi (t,\mathbf {x} )\to \mu ^{9/2}\psi (\mu ^{5}t,\mu ^{3}\mathbf {x} )}$$

^{[11] [12][13] [14] [15]}

Relación con la gravedad semiclásica y cuántica

La ecuación de Schrödinger-Newton se puede derivar bajo el supuesto de que la gravedad sigue siendo clásica, incluso en el nivel fundamental, y que la forma correcta de acoplar la materia cuántica a la gravedad es mediante las ecuaciones semiclásicas de Einstein . En este caso, se agrega un término de potencial gravitacional newtoniano a la ecuación de Schrödinger, donde la fuente de este potencial gravitacional es el valor esperado del operador de densidad de masa o corriente de flujo de masa. ^[16] En este sentido, si la gravedad es fundamentalmente clásica, la ecuación de Schrödinger-Newton es una ecuación fundamental de una partícula, que puede generalizarse al caso de muchas partículas (ver más abajo).

Si, por el contrario, se cuantifica el campo gravitacional, la ecuación fundamental de Schrödinger permanece lineal. La ecuación de Schrödinger-Newton sólo es válida como aproximación para la interacción gravitacional en sistemas de un gran número de partículas y no tiene ningún efecto sobre el centro de masa. ^[17]

Ecuación de muchos cuerpos y movimiento del centro de masa.

Si la ecuación de Schrödinger-Newton se considera una ecuación fundamental, existe una ecuación de N -cuerpos correspondiente que ya fue dada por Diósi ^[5] y que puede derivarse de la gravedad semiclásica de la misma manera que la ecuación de una partícula:

$${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (t,\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{N})={\bigg (}&-\sum _{j=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+\sum _{j\neq k}V_{jk}{\big (}|\mathbf {x} _{j}-\mathbf {x} _{k}|{\big )}\\&-G\sum _{j,k=1}^{N}m_{j}m_{k}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} _{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} _{N}\,{\frac {|\Psi (t,\mathbf {y} _{1},\dots ,\mathbf {y} _{N})|^{2}}{|\mathbf {x} _{j}-\mathbf {y} _{k}|}}{\bigg )}\Psi (t,\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{N}).\end{aligned}}}$$

distribuciones marginales ${\displaystyle V_{jk}}$

En una aproximación similar a la de Born-Oppenheimer , esta ecuación de N -partículas se puede separar en dos ecuaciones, una que describe el movimiento relativo y la otra proporciona la dinámica de la función de onda del centro de masa. Para el movimiento relativo, la interacción gravitacional no juega ningún papel, ya que suele ser débil en comparación con las otras interacciones representadas por . Pero tiene una influencia significativa en el movimiento del centro de masas. Si bien solo depende de coordenadas relativas y, por lo tanto, no contribuye en absoluto a la dinámica del centro de masas, la interacción no lineal Schrödinger-Newton sí contribuye. En la aproximación antes mencionada, la función de onda del centro de masa satisface la siguiente ecuación no lineal de Schrödinger: ${\displaystyle V_{jk}}$ ${\displaystyle V_{jk}}$

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi _{c}(t,\mathbf {R} )}{\partial t}}=\left({\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla ^{2}-G\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {R'} \,\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} \,\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {z} \,{\frac {|\psi _{c}(t,\mathbf {R'} )|^{2}\,\rho _{c}(\mathbf {y} )\rho _{c}(\mathbf {z} )}{\left|\mathbf {R} -\mathbf {R'} -\mathbf {y} +\mathbf {z} \right|}}\right)\psi _{c}(t,\mathbf {R} ),}$$

MR^[18] ${\displaystyle \psi _{c}}$ ${\displaystyle \rho _{c}}$

En el caso límite de una función de onda amplia, es decir, cuando la anchura de la distribución del centro de masa es grande en comparación con el tamaño del objeto considerado, el movimiento del centro de masa se aproxima bien mediante la ecuación de Schrödinger-Newton. para una sola partícula. El caso opuesto de una función de onda estrecha puede aproximarse mediante un potencial de oscilador armónico, donde la dinámica de Schrödinger-Newton conduce a una rotación en el espacio de fase. ^[19]

En el contexto en el que la ecuación de Schrödinger-Newton aparece como una aproximación de Hartree, la situación es diferente. En este caso, la función de onda completa de N -partículas se considera un estado producto de N funciones de onda de una sola partícula, donde cada uno de esos factores obedece a la ecuación de Schrödinger-Newton. La dinámica del centro de masa, sin embargo, sigue siendo estrictamente lineal en esta imagen. Esto es cierto en general: las ecuaciones de Hartree no lineales nunca influyen en el centro de masa.

Importancia de los efectos

Se puede obtener una estimación aproximada del orden de magnitud del régimen en el que los efectos de la ecuación de Schrödinger-Newton se vuelven relevantes mediante un razonamiento bastante simple. ^[9] Para un gaussiano esféricamente simétrico ,

$${\displaystyle \Psi (t=0,r)=(\pi \sigma ^{2})^{-3/4}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),}$$

$${\displaystyle \Psi (t,r)=(\pi \sigma ^{2})^{-3/4}\left(1+{\frac {i\hbar t}{m\sigma ^{2}}}\right)^{-3/2}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}\left(1+{\frac {i\hbar t}{m\sigma ^{2}}}\right)}}\right).}$$

${\displaystyle 4\pi r^{2}|\Psi |^{2}}$

$${\displaystyle r_{p}=\sigma {\sqrt {1+{\frac {\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}\sigma ^{4}}}}}.}$$

$${\displaystyle {\ddot {r}}_{p}={\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}r_{p}^{3}}}}$$

$${\displaystyle {\ddot {r}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}},}$$

${\displaystyle r_{p}=\sigma }$ ${\displaystyle t=0}$

$${\displaystyle m^{3}\sigma ={\frac {\hbar ^{2}}{G}}\approx 1.7\times 10^{-58}~{\text{m}}\,{\text{kg}}^{3},}$$

^{[12] [1]}

Para un átomo, la anchura crítica es de unos 10,22 ^metros , mientras que para una masa de un microgramo ya es de 10 ⁻³¹ metros. Se espera que el régimen en el que la masa es de alrededor de 10 ¹⁰ unidades de masa atómica mientras que el ancho es del orden de micrómetros permita una prueba experimental de la ecuación de Schrödinger-Newton en el futuro. Un posible candidato son los experimentos de interferometría con moléculas pesadas, que actualmente alcanzan masas de hasta10 000 unidades de masa atómica.

Colapso de la función de onda cuántica

La idea de que la gravedad causa (o influye de alguna manera) en el colapso de la función de onda se remonta a la década de 1960 y fue propuesta originalmente por Károlyházy . ^[20] La ecuación de Schrödinger-Newton fue propuesta en este contexto por Diósi. ^[5] Allí, la ecuación proporciona una estimación de la "línea de demarcación" entre objetos microscópicos (cuánticos) y macroscópicos (clásicos). El estado fundamental estacionario tiene un ancho de

$${\displaystyle a_{0}\approx {\frac {\hbar ^{2}}{Gm^{3}}}.}$$

$${\displaystyle a_{0}^{(R)}\approx a_{0}^{1/4}R^{3/4}.}$$

³ ${\displaystyle a_{0}^{(R)}\approx R}$

Roger Penrose propuso que la ecuación de Schrödinger-Newton describe matemáticamente los estados básicos involucrados en un esquema de colapso de la función de onda inducido gravitacionalmente . ^{[6] [7] [8]} Penrose sugiere que una superposición de dos o más estados cuánticos que tengan una cantidad significativa de desplazamiento de masa debería ser inestable y reducirse a uno de los estados en un tiempo finito. Su hipótesis es que existe un conjunto "preferido" de estados que no podrían colapsar más, específicamente, los estados estacionarios de la ecuación de Schrödinger-Newton. Por lo tanto, un sistema macroscópico nunca puede estar en una superposición espacial, ya que la autointeracción gravitacional no lineal conduce inmediatamente a un colapso a un estado estacionario de la ecuación de Schrödinger-Newton. Según la idea de Penrose, cuando se mide una partícula cuántica, hay una interacción entre este colapso no lineal y la decoherencia ambiental . La interacción gravitacional conduce a la reducción del entorno a un estado distinto, y la decoherencia conduce a la localización de la partícula, por ejemplo como un punto en una pantalla.

Problemas y asuntos abiertos

Surgen tres problemas importantes con esta interpretación de la ecuación de Schrödinger-Newton como causa del colapso de la función de onda:

1. Probabilidad residual excesiva lejos del punto de colapso
2. Falta de razón aparente para el gobierno del Born
3. Promoción de la función de onda anteriormente estrictamente hipotética a una cantidad observable (real).

En primer lugar, los estudios numéricos ^{[12] [15] [1]} coinciden en que cuando un paquete de ondas "colapsa" en una solución estacionaria, una pequeña porción parece huir hacia el infinito. Esto significaría que incluso un sistema cuántico completamente colapsado aún podría encontrarse en un lugar distante. Dado que las soluciones de la ecuación lineal de Schrödinger tienden hacia el infinito aún más rápido, esto sólo indica que la ecuación de Schrödinger-Newton por sí sola no es suficiente para explicar el colapso de la función de onda. Si se tiene en cuenta el entorno, este efecto podría desaparecer y por tanto no estar presente en el escenario descrito por Penrose.

Un segundo problema, que también surge en la propuesta de Penrose, es el origen de la regla de Born : para resolver el problema de la medición , una mera explicación de por qué una función de onda colapsa (por ejemplo, en un punto en una pantalla) no es suficiente. Un buen modelo para el proceso de colapso también tiene que explicar por qué el punto aparece en diferentes posiciones de la pantalla, con probabilidades determinadas por el valor absoluto al cuadrado de la función de onda. Podría ser posible que un modelo basado en la idea de Penrose pudiera proporcionar tal explicación, pero aún no se conoce ninguna razón por la que la regla de Born surgiera naturalmente de ella.

En tercer lugar, dado que el potencial gravitacional está vinculado a la función de onda en la imagen de la ecuación de Schrödinger-Newton, la función de onda debe interpretarse como un objeto real. Por tanto, al menos en principio, se convierte en una cantidad mensurable. Aprovechando la naturaleza no local de los sistemas cuánticos entrelazados, esto podría usarse para enviar señales más rápido que la luz, lo que generalmente se piensa que está en contradicción con la causalidad. Sin embargo, no está claro si este problema puede resolverse aplicando de manera consistente la prescripción de colapso correcta, aún por encontrar, al sistema cuántico completo. Además, dado que la gravedad es una interacción tan débil, no está claro que tal experimento pueda realizarse realmente dentro de los parámetros dados en nuestro universo (consulte la discusión referenciada ^[21] sobre un experimento mental similar propuesto por Eppley y Hannah ^[22] ).

Ver también

• Ecuación de Schrödinger no lineal
• Gravedad semiclásica
• Interpretación de Penrose
• ecuación de poisson

Referencias

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