Desigualdad de traza

En matemáticas , existen muchos tipos de desigualdades que involucran matrices y operadores lineales en espacios de Hilbert . Este artículo cubre algunas desigualdades de operadores importantes relacionadas con trazas de matrices. ^{[1] [2] [3] [4]}

Definiciones básicas

Sea el espacio de matrices hermíticas , el conjunto formado por matrices hermíticas semidefinidas positivas y el conjunto de matrices hermíticas definidas positivas . Para los operadores en un espacio de Hilbert de dimensión infinita, requerimos que sean de clase traza y autoadjuntos , en cuyo caso se aplican definiciones similares, pero solo analizamos matrices, para simplificar. ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{+}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{++}}$

Para cualquier función de valor real en un intervalo se puede definir una función matricial para cualquier operador con valores propios en definiéndola en los valores propios y los proyectores correspondientes como dada la descomposición espectral. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle A\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle f(A)\equiv \sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,}$$ ${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.}$

Operador monótono

Una función definida en un intervalo se dice que es operador monótona si se cumple para todos y todos con valores propios en los siguientes, donde la desigualdad significa que el operador es semidefinido positivo. Se puede comprobar que , de hecho, ¡ no es operador monótono! ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle I,}$ $${\displaystyle A\geq B\implies f(A)\geq f(B),}$$ ${\displaystyle A\geq B}$ ${\displaystyle A-B\geq 0}$ ${\displaystyle f(A)=A^{2}}$

Operador convexo

Se dice que una función es operador convexa si para todos y todos con valores propios en y , se cumple lo siguiente Nótese que el operador tiene valores propios en ya que y tienen valores propios en ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ $${\displaystyle f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).}$$ ${\displaystyle \lambda A+(1-\lambda )B}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I.}$

Una función es ${\displaystyle f}$operador cóncavo sies operador convexo;=, es decir, la desigualdad anterior parase invierte. ${\displaystyle -f}$ ${\displaystyle f}$

Convexidad articular

Se dice que una función definida en intervalos es ${\displaystyle g:I\times J\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle I,J\subseteq \mathbb {R} }$conjuntamente convexo si para todosy todos con valores propios eny todoscon valores propios eny cualquierase cumple lo siguiente ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$ $${\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})~\leq ~\lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}$$

Una función es ${\displaystyle g}$conjuntamente cóncava si −es conjuntamente convexa, es decir, la desigualdad anterior parase invierte. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Función de rastreo

Dada una función, la función de seguimiento asociada está dada por donde tiene valores propios y representa un seguimiento del operador. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}}$ $${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} }$

Convexidad y monotonía de la función traza

Sea continua y sea n un entero cualquiera. Entonces, si es monótona creciente, entonces lo es en H _n . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle t\mapsto f(t)}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}$

Del mismo modo, si es convexo , también lo es en H _n , y es estrictamente convexo si f es estrictamente convexo. ${\displaystyle t\mapsto f(t)}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}$

Véase la prueba y la discusión en ^[1] , por ejemplo.

Teorema de Löwner-Heinz

Para , la función es operador monótono y operador cóncavo. ${\displaystyle -1\leq p\leq 0}$ ${\displaystyle f(t)=-t^{p}}$

Para , la función es operador monótono y operador cóncavo. ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ ${\displaystyle f(t)=t^{p}}$

Para , la función es operador convexo. Además, ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$ ${\displaystyle f(t)=t^{p}}$

${\displaystyle f(t)=\log(t)}$es el operador cóncavo y el operador monótono, mientras que

${\displaystyle f(t)=t\log(t)}$es el operador convexo.

La prueba original de este teorema se debe a K. Löwner , quien dio una condición necesaria y suficiente para que f sea un operador monótono. ^[5] Una prueba elemental del teorema se analiza en ^{[1] y una versión más general del mismo en [6]} .

Desigualdad de Klein

Para todas las matrices hermíticas n × n A y B y todas las funciones convexas diferenciables con derivada f ' , o para todas las matrices hermíticas n × n definidas positivas A y B , y todas las funciones convexas diferenciables f :(0,∞) → , se cumple la siguiente desigualdad, ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {Tr} [f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)]\geq 0~.}$

En cualquier caso, si f es estrictamente convexa, la igualdad se cumple si y solo si A = B. Una opción popular en las aplicaciones es f ( t ) = t log t , ver más abajo.

Prueba

Sea así que, para , ${\displaystyle C=A-B}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$

${\displaystyle B+tC=(1-t)B+tA}$,

varía de a . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Definir

${\displaystyle F(t)=\operatorname {Tr} [f(B+tC)]}$.

Por la convexidad y monotonía de las funciones traza, es convexa, y por lo tanto para todo , ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$

${\displaystyle F(0)+t(F(1)-F(0))\geq F(t)}$,

cual es,

${\displaystyle F(1)-F(0)\geq {\frac {F(t)-F(0)}{t}}}$,

y, de hecho, el lado derecho es monótono decreciente en . ${\displaystyle t}$

Tomando los rendimientos límite, ${\displaystyle t\to 0}$

${\displaystyle F(1)-F(0)\geq F'(0)}$,

que con reordenamiento y sustitución es la desigualdad de Klein:

${\displaystyle \mathrm {tr} [f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)]\geq 0}$

Nótese que si es estrictamente convexo y , entonces es estrictamente convexo. La afirmación final se desprende de esto y del hecho de que es monótona decreciente en . ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle C\neq 0}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle {\tfrac {F(t)-F(0)}{t}}}$ ${\displaystyle t}$

Desigualdad de Golden-Thompson

En 1965, S. Golden ^[7] y CJ Thompson ^[8] descubrieron independientemente que

Para cualquier matriz , ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{A+B}\leq \operatorname {Tr} e^{A}e^{B}.}$

Esta desigualdad se puede generalizar para tres operadores: ^[9] para operadores no negativos , ${\displaystyle A,B,C\in \mathbf {H} _{n}^{+}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{\ln A-\ln B+\ln C}\leq \int _{0}^{\infty }\operatorname {Tr} A(B+t)^{-1}C(B+t)^{-1}\,\operatorname {d} t.}$

Desigualdad de Peierls-Bogoliubov

Sea tal que Tr e ^R = 1. Definiendo g = Tr Fe ^R , tenemos ${\displaystyle R,F\in \mathbf {H} _{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{F}e^{R}\geq \operatorname {Tr} e^{F+R}\geq e^{g}.}$

La demostración de esta desigualdad se desprende de lo anterior combinado con la desigualdad de Klein. Supongamos que f ( x ) = exp( x ), A = R + F y B = R + gI . ^[10]

Principio variacional de Gibbs

Sea un operador autoadjunto tal que es la clase de traza . Entonces, para cualquier con ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e^{-H}}$ ${\displaystyle \gamma \geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma =1,}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma H+\operatorname {Tr} \gamma \ln \gamma \geq -\ln \operatorname {Tr} e^{-H},}$

con igualdad si y sólo si ${\displaystyle \gamma =\exp(-H)/\operatorname {Tr} \exp(-H).}$

Teorema de concavidad de Lieb

El siguiente teorema fue demostrado por EH Lieb en ^[9] . Demuestra y generaliza una conjetura de EP Wigner , MM Yanase y Freeman Dyson . ^{[11] Seis años más tarde, T. Ando [12]} y B. Simon ^[3] dieron otras demostraciones , y desde entonces se han dado varias más.

Para todas las matrices , y todas y tales que y , con el mapa de valor real en dado por ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0\leq q\leq 1}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle q+r\leq 1}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{+}\times \mathbf {H} _{n}^{+}}$

${\displaystyle F(A,B,K)=\operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{r})}$

• es conjuntamente cóncava en ${\displaystyle (A,B)}$
• es convexo en . ${\displaystyle K}$

Aquí representa el operador adjunto de ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle K.}$

Teorema de Lieb

Para una matriz hermítica fija , la función ${\displaystyle L\in \mathbf {H} _{n}}$

${\displaystyle f(A)=\operatorname {Tr} \exp\{L+\ln A\}}$

es cóncava en . ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{++}}$

El teorema y la demostración se deben a EH Lieb, ^[9] Teoría 6, donde obtiene este teorema como corolario del teorema de concavidad de Lieb. La demostración más directa se debe a H. Epstein; ^[13] véanse los artículos de MB Ruskai , ^{[14] [15]} para una revisión de este argumento.

Teorema de convexidad de Ando

La demostración de T. Ando ^[12] del teorema de concavidad de Lieb condujo al siguiente complemento significativo:

Para todas las matrices , y todas y con , el mapa de valor real en está dado por ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq 2}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle q-r\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}}$

${\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{-r})}$

es convexo

Convexidad conjunta de entropía relativa

Para dos operadores defina el siguiente mapa ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}^{++}}$

${\displaystyle R(A\parallel B):=\operatorname {Tr} (A\log A)-\operatorname {Tr} (A\log B).}$

Para las matrices de densidad y , el mapa es la entropía relativa cuántica de Umegaki . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle R(\rho \parallel \sigma )=S(\rho \parallel \sigma )}$

Nótese que la no negatividad de se desprende de la desigualdad de Klein con . ${\displaystyle R(A\parallel B)}$ ${\displaystyle f(t)=t\log t}$

Declaración

El mapa es conjuntamente convexo. ${\displaystyle R(A\parallel B):\mathbf {H} _{n}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}\rightarrow \mathbf {R} }$

Prueba

Para todo , es conjuntamente cóncava, por el teorema de concavidad de Lieb, y por lo tanto ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})}$

${\displaystyle (A,B)\mapsto {\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)}$

es convexo. Pero

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow 1}{\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)=R(A\parallel B),}$

y la convexidad se conserva en el límite.

La prueba se debe a G. Lindblad. ^[16]

Operador de Jensen y desigualdades de traza

La versión del operador de la desigualdad de Jensen se debe a C. Davis. ^[17]

Una función real continua en un intervalo satisface la desigualdad del operador de Jensen si se cumple lo siguiente ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle f\left(\sum _{k}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}\right)\leq \sum _{k}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},}$

para operadores con y para operadores autoadjuntos con espectro en . ${\displaystyle \{A_{k}\}_{k}}$ ${\displaystyle \sum _{k}A_{k}^{*}A_{k}=1}$ ${\displaystyle \{X_{k}\}_{k}}$ ${\displaystyle I}$

Véase ^{[17] [18]} para la prueba de los dos teoremas siguientes.

Desigualdad de traza de Jensen

Sea f una función continua definida en un intervalo I y sean m y n números naturales. Si f es convexa, entonces tenemos la desigualdad

${\displaystyle \operatorname {Tr} {\Bigl (}f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}{\Bigr )}\leq \operatorname {Tr} {\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k}{\Bigr )},}$

para todas las matrices ( X ₁ , ... , X _n ) autoadjuntas m × m con espectros contenidos en I y todas las matrices ( A ₁ , ... , A _n ) m × m con

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}$

Por el contrario, si la desigualdad anterior se satisface para algunos n y m , donde n > 1, entonces f es convexa.

Desigualdad del operador de Jensen

Para una función continua definida en un intervalo las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$

• ${\displaystyle f}$es el operador convexo.
• Para cada número natural tenemos la desigualdad ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},}$

para todos los operadores autoadjuntos acotados en un espacio de Hilbert arbitrario con espectros contenidos en y todos en con ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (A_{1},\ldots ,A_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}$

• ${\displaystyle f(V^{*}XV)\leq V^{*}f(X)V}$para cada isometría en un espacio de Hilbert de dimensión infinita y ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

cada operador autoadjunto con espectro en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$

• ${\displaystyle Pf(PXP+\lambda (1-P))P\leq Pf(X)P}$para cada proyección sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita , cada operador autoadjunto con espectro en y cada en . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$

Desigualdad de Araki-Lieb-Thirring

EH Lieb y WE Thirring demostraron la siguiente desigualdad en ^[19] 1976: Para cualquier y ${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0}$ ${\displaystyle r\geq 1,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{r}A^{r}B^{r}).}$$

En 1990 ^[20] H. Araki generalizó la desigualdad anterior a la siguiente: Para cualquier y para y para ${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0}$ ${\displaystyle q\geq 0,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{rq})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q}),}$$ ${\displaystyle r\geq 1,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q})~\leq ~\operatorname {Tr} ((BAB)^{rq}),}$$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1.}$

Hay varias otras desigualdades cercanas a la desigualdad de Lieb-Thirring, como las siguientes: ^[21] para cualquier y e incluso de manera más general: ^[22] para cualquier y La desigualdad anterior generaliza la anterior, como se puede ver intercambiando por y por con y usando la ciclicidad de la traza, lo que conduce a ${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1],}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} (BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{2}AB^{2}),}$$ ${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0,}$ ${\displaystyle r\geq 1/2}$ ${\displaystyle c\geq 0,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB^{2c}AB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{c+1}A^{2}B^{c+1})^{r}).}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B^{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A^{(1-\alpha )/2}}$ ${\displaystyle \alpha =2c/(2c+2)}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{2}AB^{2})^{r}).}$$

Además, basándose en la desigualdad de Lieb-Thirring, se derivó la siguiente desigualdad: ^[23] Para cualquier y todos con , se cumple que ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n},T\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$ ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ $${\displaystyle |\operatorname {Tr} (TAT^{*}B)|~\leq ~\operatorname {Tr} (T^{*}T|A|^{p})^{\frac {1}{p}}\operatorname {Tr} (TT^{*}|B|^{q})^{\frac {1}{q}}.}$$

Teorema de Effros y su extensión

E. Effros en ^[24] demostró el siguiente teorema.

Si es un operador de función convexa, y y son operadores lineales conmutativos acotados, es decir, el conmutador , la perspectiva ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [L,R]=LR-RL=0}$

${\displaystyle g(L,R):=f(LR^{-1})R}$

es conjuntamente convexo, es decir, si y con (i=1,2), , ${\displaystyle L=\lambda L_{1}+(1-\lambda )L_{2}}$ ${\displaystyle R=\lambda R_{1}+(1-\lambda )R_{2}}$ ${\displaystyle [L_{i},R_{i}]=0}$ ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$

${\displaystyle g(L,R)\leq \lambda g(L_{1},R_{1})+(1-\lambda )g(L_{2},R_{2}).}$

Posteriormente, Ebadian et al. extendieron la desigualdad al caso en que y no conmutan. ^[25] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$

Desigualdad de trazas de von Neumann y resultados relacionados

La desigualdad de traza de von Neumann , llamada así por su creador John von Neumann , establece que para cualquiermatriz complejaycon valores singulares yrespectivamente, ^[26] con igualdad si y solo siycomparten vectores singulares. ^[27] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \cdots \geq \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdots \geq \beta _{n}}$ $${\displaystyle |\operatorname {Tr} (AB)|~\leq ~\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\beta _{i}\,,}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B^{\dagger }}$

Un corolario simple de esto es el siguiente resultado: ^[28] Para matrices complejas semidefinidas positivas hermíticas y donde ahora los valores propios están ordenados decrecientemente ( y respectivamente), ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i+1}~\leq ~\operatorname {Tr} (AB)~\leq ~\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\,.}$$

Véase también

• Desigualdad de Lieb-Thirring
• Teorema de Schur-Horn  : caracteriza la diagonal de una matriz hermítica con valores propios dados
• Identidad de traza  : ecuaciones que involucran la traza de una matriz
• Entropía de von Neumann  : un tipo de entropía en la teoría cuántica

Referencias

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• Fuente primaria Scholarpedia.