Desigualdad de convolución de Young

Desigualdad matemática sobre la convolución de dos funciones

En matemáticas , la desigualdad de convolución de Young es una desigualdad matemática sobre la convolución de dos funciones, ^[1] llamada así en honor a William Henry Young .

Declaración

Espacio euclidiano

En el análisis real , el siguiente resultado se denomina desigualdad de convolución de Young: ^[2]

Supongamos que está en el espacio de Lebesgue y está en y con Entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} ^{d})}$ $${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$$ ${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty .}$ $${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$$

Aquí la estrella denota convolución , es espacio de Lebesgue y denota la norma usual . ${\displaystyle L^{p}}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}={\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{p}\,dx{\Bigr )}^{1/p}}$$ ${\displaystyle L^{p}}$

De manera equivalente, si y entonces ${\displaystyle p,q,r\geq 1}$ ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$ $${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(x-y)h(y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right|\leq \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}}$$

Generalizaciones

La desigualdad de convolución de Young tiene una generalización natural en la que reemplazamos por un grupo unimodular Si dejamos que sea una medida de Haar bi-invariante en y dejamos que o sean funciones integrables, entonces definimos por Entonces en este caso, la desigualdad de Young establece que para y y tales que tenemos un límite Equivalentemente, si y entonces Dado que es de hecho un grupo abeliano localmente compacto (y por lo tanto unimodular) con la medida de Lebesgue la medida de Haar deseada, esto es de hecho una generalización. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f,g:G\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f*g}$ $${\displaystyle f*g(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,\mathrm {d} \mu (y).}$$ ${\displaystyle f\in L^{p}(G,\mu )}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(G,\mu )}$ ${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$ $${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$$ $${\displaystyle \lVert f*g\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}.}$$ ${\displaystyle p,q,r\geq 1}$ ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$ $${\displaystyle \left|\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right|\leq \left(\int _{G}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{G}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{G}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}.}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Esta generalización puede ser refinada. Sea y como antes y supongamos que satisfacen Entonces existe una constante tal que para cualquier función medible en que pertenece al espacio débil , lo que por definición significa que el supremo siguiente es finito, tenemos y ^[3] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 1<p,q,r<\infty }$ ${\textstyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}+1.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(G,\mu )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle L^{q,w}(G,\mu ),}$ $${\displaystyle \|g\|_{q,w}^{q}~:=~\sup _{t>0}\,t^{q}\mu (|g|>t)}$$ ${\displaystyle f*g\in L^{r}(G,\mu )}$ $${\displaystyle \|f*g\|_{r}~\leq ~C\,\|f\|_{p}\,\|g\|_{q,w}.}$$

Aplicaciones

Un ejemplo de aplicación es que la desigualdad de Young se puede utilizar para demostrar que el semigrupo de calor es un semigrupo en contracción que utiliza la norma (es decir, la transformada de Weierstrass no amplía la norma). ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Prueba

Demostración mediante la desigualdad de Hölder

La desigualdad de Young tiene una demostración elemental con la constante no óptima 1. ^[4]

Suponemos que las funciones son no negativas e integrables, donde es un grupo unimodular dotado de una medida de Haar bi-invariante Usamos el hecho de que para cualquier función medible Puesto que Por la desigualdad de Hölder para tres funciones deducimos que La conclusión se sigue entonces por la invariancia por la izquierda de la medida de Haar, el hecho de que las integrales se conservan por inversión del dominio y por el teorema de Fubini . ${\displaystyle f,g,h:G\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle \mu (S)=\mu (S^{-1})}$ ${\displaystyle S\subseteq G.}$ ${\textstyle p(2-{\tfrac {1}{q}}-{\tfrac {1}{r}})=q(2-{\tfrac {1}{p}}-{\tfrac {1}{r}})=r(2-{\tfrac {1}{p}}-{\tfrac {1}{q}})=1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\={}&\int _{G}\int _{G}\left(f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(f(x)^{p}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{p}}}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\&\leq \left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(\int _{G}\int _{G}g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{p}}}.\end{aligned}}}$$

Prueba por interpolación

La desigualdad de Young también se puede demostrar mediante interpolación; consulte el artículo sobre la interpolación de Riesz-Thorin para obtener una prueba.

Constante aguda

En caso de que la desigualdad de Young pueda fortalecerse a una forma aguda, a través de donde la constante ^{[5] [6] [7]} Cuando se logra esta constante óptima, la función y son funciones gaussianas multidimensionales . ${\displaystyle p,q>1,}$ $${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq c_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$$ ${\displaystyle c_{p,q}<1.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Véase también

• Desigualdad de Minkowski  : desigualdad que establece que los espacios L ^p son espacios vectoriales normados

Notas

1. Young, WH (1912), "Sobre la multiplicación de sucesiones de constantes de Fourier", Actas de la Royal Society A , 87 (596): 331–339, doi : 10.1098/rspa.1912.0086 , JFM  44.0298.02, JSTOR  93120
2. Bogachev, Vladimir I. (2007), Teoría de la medida , vol. I, Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-34513-8, MR  2267655, Zbl  1120.28001, Teorema 3.9.4
3. Bahouri, Chemin y Danchin 2011, págs.
4. Lieb, Elliott H. ; Loss, Michael (2001). Análisis . Estudios de posgrado en matemáticas (2.ª ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. pág. 100. ISBN 978-0-8218-2783-3.OCLC 45799429  .
5. Beckner, William (1975). "Desigualdades en el análisis de Fourier". Anales de Matemáticas . 102 (1): 159–182. doi :10.2307/1970980. JSTOR  1970980.
6. Brascamp, Herm Jan; Lieb, Elliott H (1 de mayo de 1976). "Mejores constantes en la desigualdad de Young, su recíproco y su generalización a más de tres funciones". Avances en Matemáticas . 20 (2): 151–173. doi :10.1016/0001-8708(76)90184-5.
7. Fournier, John JF (1977), "Nitidez en la desigualdad de Young para convolución", Pacific Journal of Mathematics , 72 (2): 383–397, doi : 10.2140/pjm.1977.72.383 , MR  0461034, Zbl  0357.43002

Referencias

• Bahouri, Hajer ; Chemin, Jean-Yves ; Danchin, Raphaël (2011). Análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 343. Berlín, Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-16830-7.OCLC 704397128  .

Enlaces externos

• Desigualdad de Young para convoluciones en ProofWiki