Desigualdad del reordenamiento de Riesz

En matemáticas , la desigualdad de reordenamiento de Riesz , a veces llamada desigualdad de Riesz-Sobolev , establece que tres funciones cualesquiera no negativas satisfacen la desigualdad . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle \iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x-y)h(y)\,dx\,dy\leq \iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x-y)h^{*}(y)\,dx\,dy,}$

donde , y son los reordenamientos simétricos decrecientes de las funciones , y respectivamente. ${\displaystyle f^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle g^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle h^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Historia

La desigualdad fue probada por primera vez por Frigyes Riesz en 1930, ^[1] y refutada de forma independiente por SLSobolev en 1938. Brascamp, Lieb y Luttinger han demostrado que se puede generalizar a un número arbitrario (pero finito) de funciones que actúan sobre muchas variables arbitrarias. ^[2]

Aplicaciones

La desigualdad de reordenamiento de Riesz se puede utilizar para demostrar la desigualdad de Pólya-Szegő .

Pruebas

Caso unidimensional

En el caso unidimensional, la desigualdad se prueba primero cuando las funciones , y son funciones características de uniones finitas de intervalos. Luego, la desigualdad se puede extender a funciones características de conjuntos mensurables, a funciones mensurables que toman un número finito de valores y, finalmente, a funciones mensurables no negativas. ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Caso de dimensiones superiores

Para pasar del caso unidimensional al caso de dimensiones superiores, el reordenamiento esférico se aproxima mediante la simetrización de Steiner, para la cual el argumento unidimensional se aplica directamente mediante el teorema de Fubini. ^[4]

Casos de igualdad

En el caso de que cualquiera de las tres funciones sea una función estrictamente simétrica decreciente, la igualdad se cumple sólo cuando las otras dos funciones son iguales, hasta la traducción, a sus reordenamientos simétricos decrecientes. ^[5]

Referencias

1. Riesz, Frigyes (1930). "Sur une inégalité intégrale". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 5 (3): 162–168. doi :10.1112/jlms/s1-5.3.162. SEÑOR  1574064.
2. Brascamp, HJ; Lieb, Elliott H .; Luttinger, JM (1974). "Una desigualdad de reordenamiento general para integrales múltiples". Revista de análisis funcional . 17 : 227–237. SEÑOR  0346109.
3. Resistente, GH ; Littlewood, JE ; Polia, G. (1952). Desigualdades . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-35880-4.
4. Lieb, Elliott ; Pérdida, Michael (2001). Análisis . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 14 (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0821827833.
5. Burchard, Almut (1996). "Casos de igualdad en la desigualdad del reordenamiento de Riesz". Anales de Matemáticas . 143 (3): 499–527. CiteSeerX 10.1.1.55.3241 . doi :10.2307/2118534. JSTOR  2118534.