Desigualdad de reordenamiento de Riesz

En matemáticas , la desigualdad de reordenamiento de Riesz , a veces llamada desigualdad de Riesz-Sobolev , establece que cualesquiera tres funciones no negativas y satisfacen la desigualdad ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle \iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x-y)h(y)\,dx\,dy\leq \iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x-y)h^{*}(y)\,dx\,dy,}$

donde , y son los reordenamientos decrecientes simétricos de las funciones , y respectivamente. ${\displaystyle f^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle g^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle h^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Historia

La desigualdad fue demostrada por primera vez por Frigyes Riesz en 1930, ^[1] y refutada independientemente por SLSobolev en 1938. Brascamp, Lieb y Luttinger han demostrado que puede generalizarse a un número arbitrario (pero finito) de funciones que actúen sobre un número arbitrario de variables. ^[2]

Aplicaciones

La desigualdad de reordenamiento de Riesz se puede utilizar para demostrar la desigualdad de Pólya–Szegő .

Pruebas

Caso unidimensional

En el caso unidimensional, la desigualdad se demuestra primero cuando las funciones , y son funciones características de una unión finita de intervalos. Luego la desigualdad se puede extender a funciones características de conjuntos mensurables, a funciones mensurables que toman un número finito de valores y finalmente a funciones mensurables no negativas. ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Caso de dimensiones superiores

Para pasar del caso unidimensional al caso de dimensiones superiores, el reordenamiento esférico se aproxima mediante la simetrización de Steiner, para lo cual el argumento unidimensional se aplica directamente mediante el teorema de Fubini. ^[4]

Casos de igualdad

En el caso en que cualquiera de las tres funciones sea una función estrictamente simétrica-decreciente, la igualdad se cumple sólo cuando las otras dos funciones son iguales, hasta la traducción, a sus reordenamientos simétricos-decrecientes. ^[5]

Referencias

1. Riesz, Frigyes (1930). "Sur une inégalité intégrale". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 5 (3): 162–168. doi :10.1112/jlms/s1-5.3.162. SEÑOR  1574064.
2. Brascamp, HJ; Lieb, Elliott H. ; Luttinger, JM (1974). "Una desigualdad de reordenamiento general para integrales múltiples". Journal of Functional Analysis . 17 : 227–237. MR  0346109.
3. Hardy, GH ; Littlewood, JE ; Polya, G. (1952). Desigualdades . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-35880-4.
4. Lieb, Elliott ; Loss, Michael (2001). Análisis . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 14 (2.ª ed.). Sociedad Americana de Matemáticas . ISBN 978-0821827833.
5. Burchard, Almut (1996). "Casos de igualdad en la desigualdad de reordenamiento de Riesz". Anales de Matemáticas . 143 (3): 499–527. CiteSeerX 10.1.1.55.3241 . doi :10.2307/2118534. JSTOR  2118534.