Desigualdad de Brascamp-Lieb

En matemáticas , la desigualdad de Brascamp-Lieb es una de dos desigualdades. La primera es un resultado de la geometría que concierne a las funciones integrables en el espacio euclidiano n - dimensional . Generaliza la desigualdad de Loomis-Whitney y la desigualdad de Hölder . La segunda es un resultado de la teoría de la probabilidad que da una desigualdad de concentración para distribuciones de probabilidad logarítmicamente cóncavas. Ambas reciben su nombre de Herm Jan Brascamp y Elliott H. Lieb . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

La desigualdad geométrica

Fijemos los números naturales m y n . Para 1 ≤  i  ≤  m , sea n _i  ∈  N y sea c _i  > 0 de modo que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}c_{i}n_{i}=n.}$

Elija funciones integrables no negativas

${\displaystyle f_{i}\in L^{1}\left(\mathbb {R} ^{n_{i}};[0,+\infty ]\right)}$

y mapas lineales sobreyectivos

${\displaystyle B_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n_{i}}.}$

Entonces se cumple la siguiente desigualdad:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{i=1}^{m}f_{i}\left(B_{i}x\right)^{c_{i}}\,\mathrm {d} x\leq D^{-1/2}\prod _{i=1}^{m}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n_{i}}}f_{i}(y)\,\mathrm {d} y\right)^{c_{i}},}$

donde D viene dada por

${\displaystyle D=\inf \left\{\left.{\frac {\det \left(\sum _{i=1}^{m}c_{i}B_{i}^{*}A_{i}B_{i}\right)}{\prod _{i=1}^{m}(\det A_{i})^{c_{i}}}}\right|A_{i}{\text{ is a positive-definite }}n_{i}\times n_{i}{\text{ matrix}}\right\}.}$

Otra forma de decirlo es que la constante D es lo que se obtendría al restringir la atención al caso en el que cada una es una función gaussiana centrada, es decir . ^[1] ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}(y)=\exp\{-(y,\,A_{i}\,y)\}}$

Formas alternativas

Consideremos una función de densidad de probabilidad . Se dice que esta función de densidad de probabilidad es una medida log-cóncava si la función es convexa. Estas funciones de densidad de probabilidad tienen colas que decaen exponencialmente rápido, por lo que la mayor parte de la masa de probabilidad reside en una pequeña región alrededor de la moda de . La desigualdad de Brascamp-Lieb proporciona otra caracterización de la compacidad de al limitar la media de cualquier estadística . ${\displaystyle p(x)=\exp(-\phi (x))}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle S(x)}$

Formalmente, sea cualquier función derivable. La desigualdad de Brascamp-Lieb se lee: ${\displaystyle S(x)}$

${\displaystyle \operatorname {var} _{p}(S(x))\leq E_{p}(\nabla ^{T}S(x)[H\phi (x)]^{-1}\nabla S(x))}$

donde H es el hessiano y es el símbolo de Nabla . ^[2] ${\displaystyle \nabla }$

Desigualdad del BCCT

La desigualdad se generalizó en 2008 ^[3] para tener en cuenta los casos continuos y discretos, y todos los mapas lineales, con estimaciones precisas de la constante.

Definición: el datum Brascamp-Lieb (datum BL)

• ${\displaystyle d,n\geq 1}$.

• ${\displaystyle d_{1},...,d_{n}\in \{1,2,...,d\}}$.

• ${\displaystyle p_{1},...,p_{n}\in [0,\infty )}$.

• ${\displaystyle B_{i}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d_{i}}}$son sobreyecciones lineales, con núcleo común cero: . ${\displaystyle \cap _{i}ker(B_{i})=\{0\}}$
• Llame a un dato Brascamp-Lieb (dato BL) . ${\displaystyle (B,p)=(B_{1},...,B_{n},p_{1},...,p_{n})}$

Para cualquier con , definir ${\displaystyle f_{i}\in L^{1}(R^{d_{i}})}$ ${\displaystyle f_{i}\geq 0}$ $${\displaystyle BL(B,p,f):={\frac {\int _{H}\prod _{j=1}^{m}\left(f_{j}\circ B_{j}\right)^{p_{j}}}{\prod _{j=1}^{m}\left(\int _{H_{j}}f_{j}\right)^{p_{j}}}}}$$

Ahora defina la constante de Brascamp-Lieb para el dato BL: $${\displaystyle BL(B,p)=\max _{f}BL(B,p,f)}$$

Teorema  —  (BCCT, 2007)

${\displaystyle BL(B,p)}$es finito si y solo si , y para todo subespacio de , ${\displaystyle d=\sum _{i}p_{i}d_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

$${\displaystyle dim(V)\leq \sum _{i}p_{i}dim(B_{i}(V))}$$

${\displaystyle BL(B,p)}$Se llega por gaussianas:

• Si es finito, entonces existen algunos operadores lineales tales que logran el límite superior. ${\displaystyle BL(B,p)}$ ${\displaystyle A_{i}:\mathbb {R} ^{d_{i}}\to \mathbb {R} ^{d_{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}=e^{-\langle A_{i}x,x\rangle }}$

• Si es infinito, entonces existe una secuencia de gaussianas para la cual ${\displaystyle BL(B,p)}$

$${\displaystyle {\frac {\int _{H}\prod _{j=1}^{m}\left(f_{j}\circ B_{j}\right)^{p_{j}}}{\prod _{j=1}^{m}\left(\int _{H_{j}}f_{j}\right)^{p_{j}}}}\to \infty }$$

Caso discreto

Configuración:

• Grupos abelianos finitamente generados . ${\displaystyle G,G_{1},...,G_{n}}$

• Homomorfismos de grupo . ${\displaystyle \phi _{j}:G\to G_{j}}$

• El dato BL se define como ${\displaystyle (G,G_{1},...,G_{n},\phi _{1},...\phi _{n})}$

• ${\displaystyle T(G)}$es el subgrupo de torsión , es decir, el subgrupo de elementos de orden finito.

Con esta configuración, tenemos (Teorema 2.4, ^[4] Teorema 3.12 ^[5] )

Teorema  —  Si existe algo tal que ${\displaystyle s_{1},...,s_{n}\in [0,1]}$

$${\displaystyle rank(H)\leq \sum _{j}s_{j}rank(\phi _{j}(H))\quad \forall H\leq G}$$

Entonces para todos , ${\displaystyle 0\geq f_{j}\in \ell ^{1/s_{j}}(G_{j})}$

$${\displaystyle \left\|\prod _{j}f_{j}\circ \phi _{j}\right\|_{1}\leq |T(G)|\prod _{j}\|f_{j}\|_{1/s_{j}}}$$ y en particular,

$${\displaystyle |E|\leq |T(G)|\prod _{j}|\phi _{j}(E)|^{s_{j}}\quad \forall E\subset G}$$

Tenga en cuenta que la constante no siempre es estricta. ${\displaystyle |T(G)|}$

Politopo BL

Dado el dato BL , las condiciones para son ${\displaystyle (B,p)}$ ${\displaystyle BL(B,p)<\infty }$

• ${\displaystyle d=\sum _{i}p_{i}d_{i}}$, y
• para todo subespacio de , ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ $${\displaystyle dim(V)\leq \sum _{i}p_{i}dim(B_{i}(V))}$$

Por lo tanto, el subconjunto de que satisface las dos condiciones anteriores es un politopo convexo cerrado definido por desigualdades lineales. Este es el politopo BL. ${\displaystyle p\in [0,\infty )^{n}}$

Nótese que si bien hay infinitas opciones posibles de subespacio de , solo hay un número finito de ecuaciones posibles de , por lo que el subconjunto es un politopo convexo cerrado. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle dim(V)\leq \sum _{i}p_{i}dim(B_{i}(V))}$

De manera similar podemos definir el politopo BL para el caso discreto.

Relaciones con otras desigualdades

La desigualdad geométrica de Brascamp-Lieb

El caso de la desigualdad de Brascamp-Lieb en el que todos los n _i son iguales a 1 se demostró antes que el caso general. ^[6] En 1989, Keith Ball introdujo una "forma geométrica" ​​de esta desigualdad. Supongamos que son vectores unitarios en y son números positivos que satisfacen ${\displaystyle (u_{i})_{i=1}^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (c_{i})_{i=1}^{m}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}c_{i}\langle x,u_{i}\rangle u_{i}=x}$

para todos , y que son funciones medibles positivas en . Entonces ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{i=1}^{m}f_{i}(\langle x,u_{i}\rangle )^{c_{i}}\,\mathrm {d} x\leq \prod _{i=1}^{m}\left(\int _{\mathbb {R} }f_{i}(t)\,\mathrm {d} t\right)^{c_{i}}.}$

Así, cuando los vectores resuelven el producto interno, la desigualdad tiene una forma particularmente simple: la constante es igual a 1 y las densidades gaussianas extremas son idénticas. Ball utilizó esta desigualdad para estimar proporciones de volumen y cocientes isoperimétricos para conjuntos convexos en ^{[7] y [8]} . ${\displaystyle (u_{i})}$

También existe una versión geométrica de la desigualdad más general en la que los mapas son proyecciones ortogonales y ${\displaystyle B_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}c_{i}B_{i}=I}$

¿Dónde está el operador de identidad en ? ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Desigualdad de Hölder

Tome n i  =  n , B i  = id, la función identidad en , reemplazando f i por f ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$1/ c yo
yo, y sea c i  = 1 /  p i para 1 ≤  i  ≤  m . Entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {1}{p_{i}}}=1}$

y la concavidad logarítmica del determinante de una matriz definida positiva implica que D  = 1. Esto produce la desigualdad de Hölder en : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{i=1}^{m}f_{i}(x)\,\mathrm {d} x\leq \prod _{i=1}^{m}\|f_{i}\|_{p_{i}}.}$

Desigualdad de Poincaré

La desigualdad de Brascamp-Lieb es una extensión de la desigualdad de Poincaré que sólo afecta a las distribuciones de probabilidad gaussianas. ^[9]

Límite Cramér–Rao

La desigualdad de Brascamp-Lieb también está relacionada con el límite de Cramér-Rao . ^[9] Mientras que Brascamp-Lieb es un límite superior, el límite de Cramér-Rao limita la varianza de . El límite de Cramér-Rao establece ${\displaystyle \operatorname {var} _{p}(S(x))}$

${\displaystyle \operatorname {var} _{p}(S(x))\geq E_{p}(\nabla ^{T}S(x))[E_{p}(H\phi (x))]^{-1}E_{p}(\nabla S(x))\!}$.

que es muy similar a la desigualdad de Brascamp-Lieb en la forma alternativa que se muestra arriba.

Referencias

1. Esta desigualdad se encuentra en Lieb, Elliott H. (1990). "Los núcleos gaussianos tienen solo maximizadores gaussianos". Inventiones Mathematicae . 102 : 179–208. Bibcode :1990InMat.102..179L. doi : 10.1007/bf01233426 .
2. Este teorema fue derivado originalmente en Brascamp, Herm J.; Lieb, Elliott H. (1976). "Sobre extensiones de los teoremas de Brunn–Minkowski y Prékopa–Leindler, incluyendo desigualdades para funciones logarítmicas cóncavas, y con una aplicación a la ecuación de difusión". Journal of Functional Analysis . 22 (4): 366–389. doi : 10.1016/0022-1236(76)90004-5 .Se pueden encontrar extensiones de la desigualdad en Hargé, Gilles (2008). "Refuerzo de una desigualdad debido a Brascamp y Lieb". Journal of Functional Analysis . 254 (2): 267–300. doi : 10.1016/j.jfa.2007.07.019 .y Carlen, Eric A.; Cordero-Erausquin, Dario; Lieb, Elliott H. (2013). "Estimaciones de covarianza asimétrica de tipo Brascamp-Lieb y desigualdades relacionadas para medidas log-cóncavas". Annales de l'Institut Henri Poincaré B . 49 (1): 1–12. arXiv : 1106.0709 . Bibcode :2013AIHPB..49....1C. doi : 10.1214/11-aihp462 .
3. Bennett, Jonathan; Carbery, Anthony; Christ, Michael; Tao, Terence (1 de enero de 2008). "Las desigualdades de Brascamp-Lieb: finitud, estructura y extremos". Análisis geométrico y funcional . 17 (5): 1343–1415. doi :10.1007/s00039-007-0619-6. hdl : 20.500.11820/b13abfca-453c-4aea-adf6-d7d421cec7a4 . ISSN  1420-8970. S2CID  10193995.
4. Bennett, Jonathan; Carbery, Anthony; Christ, Michael; Tao, Terence (31 de mayo de 2005). "Límites finitos para desigualdades multilineales de Holder-Brascamp-Lieb". arXiv : math/0505691 .
5. Christ, Michael; Demmel, James; Knight, Nicholas; Scanlon, Thomas; Yelick, Katherine (31 de julio de 2013). "Límites inferiores de comunicación y algoritmos óptimos para programas que hacen referencia a matrices - Parte 1". arXiv : 1308.0068 [math.CA].
6. Brascamp, HJ; Lieb, EH (1976). "Mejores constantes en la desigualdad de Young, su recíproco y su generalización a más de tres funciones". Avances en Matemáticas . 20 (2): 151–172. doi : 10.1016/0001-8708(76)90184-5 .
7. Ball, Keith M. (1989). "Volúmenes de secciones de cubos y problemas relacionados". En Lindenstrauss, Joram ; Milman, Vitali D. (eds.). Aspectos geométricos del análisis funcional . Apuntes de clase en matemáticas. Vol. 1376. Berlín: Springer. págs. 251–260. doi : 10.1007/BFb0090058 . ISBN 978-3-540-51303-2.
8. Ball, Keith M. (1991). "Razones de volumen y una desigualdad isoperimétrica inversa". J. London Math. Soc . 44 : 351–359. arXiv : math/9201205 . doi :10.1112/jlms/s2-44.2.351.
9. Saumard, Adrien; Wellner, Jon A. (2014). "Log-concavity y log-concavity fuerte: una revisión". Encuestas estadísticas . 8 : 45–114. doi : 10.1214/14-SS107 . PMC 4847755 . PMID  27134693. 

• Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . Nueva serie. 39 (3): 355–405. doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .