Desigualdad de Brascamp-Lieb

En matemáticas , la desigualdad de Brascamp-Lieb es cualquiera de dos desigualdades. El primero es un resultado en geometría sobre funciones integrables en el espacio euclidiano de n dimensiones . Generaliza la desigualdad de Loomis-Whitney y la desigualdad de Hölder . El segundo es el resultado de la teoría de la probabilidad que proporciona una desigualdad de concentración para distribuciones de probabilidad log-cóncavas. Ambos llevan el nombre de Herm Jan Brascamp y Elliott H. Lieb . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

La desigualdad geométrica

Arreglar los números naturales m y n . Para 1 ≤  i  ≤  m , sea n _i  ∈  N y sea c _i  > 0 de modo que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}c_{i}n_{i}=n.}$

Elija funciones integrables y no negativas

${\displaystyle f_{i}\in L^{1}\left(\mathbb {R} ^{n_{i}};[0,+\infty ]\right)}$

y mapas lineales sobreyectivos

${\displaystyle B_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n_{i}}.}$

Entonces se cumple la siguiente desigualdad:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{i=1}^{m}f_{i}\left(B_{i}x\right)^{c_{i}}\,\mathrm {d} x\leq D^{-1/2}\prod _{i=1}^{m}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n_{i}}}f_{i}(y)\,\mathrm {d} y\right)^{c_{i}},}$

donde D está dada por

${\displaystyle D=\inf \left\{\left.{\frac {\det \left(\sum _{i=1}^{m}c_{i}B_{i}^{*}A_{i}B_{i}\right)}{\prod _{i=1}^{m}(\det A_{i})^{c_{i}}}}\right|A_{i}{\text{ is a positive-definite }}n_{i}\times n_{i}{\text{ matrix}}\right\}.}$

Otra forma de expresar esto es que la constante D es lo que se obtendría restringiendo la atención al caso en el que cada una es una función gaussiana centrada, es decir . ^[1] ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}(y)=\exp\{-(y,\,A_{i}\,y)\}}$

Formas alternativas

Considere una función de densidad de probabilidad . Se dice que esta función de densidad de probabilidad es una medida log-cóncava si la función es convexa. Estas funciones de densidad de probabilidad tienen colas que decaen exponencialmente rápido, por lo que la mayor parte de la masa de probabilidad reside en una pequeña región alrededor de la moda de . La desigualdad de Brascamp-Lieb ofrece otra caracterización de la compacidad de al limitar la media de cualquier estadística . ${\displaystyle p(x)=\exp(-\phi (x))}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle S(x)}$

Formalmente, sea cualquier función derivable. La desigualdad de Brascamp-Lieb dice: ${\displaystyle S(x)}$

${\displaystyle \operatorname {var} _{p}(S(x))\leq E_{p}(\nabla ^{T}S(x)[H\phi (x)]^{-1}\nabla S(x))}$

donde H es el hessiano y es el símbolo de Nabla . ^[2] ${\displaystyle \nabla }$

Desigualdad BCCT

La desigualdad se generalizó en 2008 ^[3] para dar cuenta de casos continuos y discretos, y de todos los mapas lineales, con estimaciones precisas de la constante.

Definición: el datum Brascamp-Lieb (datum BL)

• ${\displaystyle d,n\geq 1}$.

• ${\displaystyle d_{1},...,d_{n}\in \{1,2,...,d\}}$.

• ${\displaystyle p_{1},...,p_{n}\in [0,\infty )}$.

• ${\displaystyle B_{i}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d_{i}}}$son sobreyecciones lineales, con núcleo común cero: . ${\displaystyle \cap _{i}ker(B_{i})=\{0\}}$
• Llame a un dato Brascamp-Lieb (dato BL) . ${\displaystyle (B,p)=(B_{1},...,B_{n},p_{1},...,p_{n})}$

Para cualquiera con , defina ${\displaystyle f_{i}\in L^{1}(R^{d_{i}})}$ ${\displaystyle f_{i}\geq 0}$

$${\displaystyle BL(B,p,f):={\frac {\int _{H}\prod _{j=1}^{m}\left(f_{j}\circ B_{j}\right)^{p_{j}}}{\prod _{j=1}^{m}\left(\int _{H_{j}}f_{j}\right)^{p_{j}}}}}$$

Ahora defina la constante de Brascamp-Lieb para el dato BL:

$${\displaystyle BL(B,p)=\max _{f}BL(B,p,f)}$$

Teorema  -  (BCCT, 2007)

${\displaystyle BL(B,p)}$es finito si , y para todo subespacio de , ${\displaystyle d=\sum _{i}p_{i}d_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

$${\displaystyle dim(V)\leq \sum _{i}p_{i}dim(B_{i}(V))}$$

${\displaystyle BL(B,p)}$es alcanzado por gaussianos:

• Si es finito, entonces existen algunos operadores lineales que alcanzan el límite superior. ${\displaystyle BL(B,p)}$ ${\displaystyle A_{i}:\mathbb {R} ^{d_{i}}\to \mathbb {R} ^{d_{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}=e^{-\langle A_{i}x,x\rangle }}$

• Si es infinita, entonces existe una secuencia de gaussianas para la cual ${\displaystyle BL(B,p)}$

$${\displaystyle {\frac {\int _{H}\prod _{j=1}^{m}\left(f_{j}\circ B_{j}\right)^{p_{j}}}{\prod _{j=1}^{m}\left(\int _{H_{j}}f_{j}\right)^{p_{j}}}}\to \infty }$$

Caso discreto

Configuración:

• Grupos abelianos finitamente generados . ${\displaystyle G,G_{1},...,G_{n}}$

• Homomorfismos de grupo . ${\displaystyle \phi _{j}:G\to G_{j}}$

• Dato BL definido como ${\displaystyle (G,G_{1},...,G_{n},\phi _{1},...\phi _{n})}$

• ${\displaystyle T(G)}$es el subgrupo de torsión , es decir, el subgrupo de elementos de orden finito.

Con esta configuración, tenemos (Teorema 2.4, ^[4] Teorema 3.12 ^[5] )

Teorema  :  si existe algo tal que ${\displaystyle s_{1},...,s_{n}\in [0,1]}$

$${\displaystyle rank(H)\leq \sum _{j}s_{j}rank(\phi _{j}(H))\quad \forall H\leq G}$$

Entonces para todos , ${\displaystyle 0\geq f_{j}\in \ell ^{1/s_{j}}(G_{j})}$

$${\displaystyle \left\|\prod _{j}f_{j}\circ \phi _{j}\right\|_{1}\leq |T(G)|\prod _{j}\|f_{j}\|_{1/s_{j}}}$$

y en particular,

$${\displaystyle |E|\leq |T(G)|\prod _{j}|\phi _{j}(E)|^{s_{j}}\quad \forall E\subset G}$$

Tenga en cuenta que la constante no siempre es estricta. ${\displaystyle |T(G)|}$

Politopo BL

Dado el dato BL , las condiciones para son ${\displaystyle (B,p)}$ ${\displaystyle BL(B,p)<\infty }$

• ${\displaystyle d=\sum _{i}p_{i}d_{i}}$, y
• para todo el subespacio de , ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$
  $${\displaystyle dim(V)\leq \sum _{i}p_{i}dim(B_{i}(V))}$$

Por lo tanto, el subconjunto que satisface las dos condiciones anteriores es un politopo convexo cerrado definido por desigualdades lineales. Este es el politopo BL. ${\displaystyle p\in [0,\infty )^{n}}$

Tenga en cuenta que si bien hay infinitas opciones posibles de subespacio de , solo hay un número finito de ecuaciones posibles de , por lo que el subconjunto es un politopo convexo cerrado. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle dim(V)\leq \sum _{i}p_{i}dim(B_{i}(V))}$

De manera similar podemos definir el politopo BL para el caso discreto.

Relaciones con otras desigualdades

La desigualdad geométrica de Brascamp-Lieb

La desigualdad geométrica de Brascamp-Lieb, derivada por primera vez en 1976, ^[6] es un caso especial de la desigualdad general. Fue utilizado por Keith Ball , en 1989, para proporcionar límites superiores a los volúmenes de las secciones centrales de los cubos. ^[7]

Para i  = 1, ..., m , sea c _i  > 0 y sea u _i  ∈  S ^{n −1} un vector unitario; supongamos que c _i y u _i satisfacen

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{m}c_{i}(x\cdot u_{i})u_{i}}$

para todo x en R ⁿ . Sea f _i  ∈  L ¹ ( R ; [0, +∞]) para cada i  = 1, ..., m . Entonces

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{i=1}^{m}f_{i}(x\cdot u_{i})^{c_{i}}\,\mathrm {d} x\leq \prod _{i=1}^{m}\left(\int _{\mathbb {R} }f_{i}(y)\,\mathrm {d} y\right)^{c_{i}}.}$

La desigualdad geométrica de Brascamp-Lieb se deriva de la desigualdad de Brascamp-Lieb como se indicó anteriormente tomando n _i  = 1 y B _i ( x ) =  x  ·  u _i . Entonces, para z _i  ∈  R ,

${\displaystyle B_{i}^{*}(z_{i})=z_{i}u_{i}.}$

De ello se deduce que D  = 1 en este caso.

La desigualdad de Holder

Tome n i  =  n , B i  = id, el mapa de identidad en , reemplazando f i por f ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$1/ c i
i, y sea c i  = 1 /  p i para 1 ≤  i  ≤  m . Entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {1}{p_{i}}}=1}$

y la concavidad logarítmica del determinante de una matriz definida positiva implica que D  = 1. Esto produce la desigualdad de Hölder en : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{i=1}^{m}f_{i}(x)\,\mathrm {d} x\leq \prod _{i=1}^{m}\|f_{i}\|_{p_{i}}.}$

Desigualdad de Poincaré

La desigualdad de Brascamp-Lieb es una extensión de la desigualdad de Poincaré que sólo concierne a las distribuciones de probabilidad gaussianas. ^[8]

Cramér-Rao con destino

La desigualdad de Brascamp-Lieb también está relacionada con el límite de Cramér-Rao . ^[8] Mientras que Brascamp-Lieb es un límite superior, el límite Cramér-Rao limita la varianza de . Los estados vinculados a Cramér-Rao ${\displaystyle \operatorname {var} _{p}(S(x))}$

${\displaystyle \operatorname {var} _{p}(S(x))\geq E_{p}(\nabla ^{T}S(x))[E_{p}(H\phi (x))]^{-1}E_{p}(\nabla S(x))\!}$.

que es muy similar a la desigualdad de Brascamp-Lieb en la forma alternativa que se muestra arriba.

Referencias

1. Esta desigualdad está en Lieb, Elliott H. (1990). "Los núcleos gaussianos sólo tienen maximizadores gaussianos". Invenciones Mathematicae . 102 : 179-208. Código Bib : 1990 InMat.102..179L. doi : 10.1007/bf01233426 .
2. Este teorema se derivó originalmente en Brascamp, Herm J.; Lieb, Elliott H. (1976). "Sobre las extensiones de los teoremas de Brunn-Minkowski y Prékopa-Leindler, incluidas las desigualdades para funciones log cóncavas y con una aplicación a la ecuación de difusión". Revista de análisis funcional . 22 (4): 366–389. doi : 10.1016/0022-1236(76)90004-5 .Se pueden encontrar extensiones de la desigualdad en Hargé, Gilles (2008). "Reforzamiento de una desigualdad debida a Brascamp y Lieb". Revista de análisis funcional . 254 (2): 267–300. doi : 10.1016/j.jfa.2007.07.019 .y Carlen, Eric A.; Cordero-Erausquin, Darío; Lieb, Elliott H. (2013). "Estimaciones de covarianza asimétrica del tipo Brascamp-Lieb y desigualdades relacionadas para medidas log-cóncavas". Anales del Instituto Henri Poincaré B. 49 (1): 1–12. arXiv : 1106.0709 . Código Bib : 2013AIHPB..49....1C. doi : 10.1214/11-aihp462 .
3. Bennett, Jonathan; Carbery, Antonio; Cristo, Miguel; Tao, Terence (1 de enero de 2008). "Las desigualdades de Brascamp-Lieb: finitud, estructura y extremos". Análisis Geométrico y Funcional . 17 (5): 1343-1415. doi :10.1007/s00039-007-0619-6. hdl : 20.500.11820/b13abfca-453c-4aea-adf6-d7d421cec7a4 . ISSN  1420-8970. S2CID  10193995.
4. Bennett, Jonathan; Carbery, Antonio; Cristo, Miguel; Tao, Terence (31 de mayo de 2005). "Límites finitos para las desigualdades multilineales de Holder-Brascamp-Lieb". arXiv : matemáticas/0505691 .
5. Cristo, Miguel; Demmel, James; Caballero, Nicolás; Scanlon, Thomas; Yelick, Katherine (31 de julio de 2013). "Límites inferiores de comunicación y algoritmos óptimos para programas que hacen referencia a matrices - Parte 1". arXiv : 1308.0068 [matemáticas.CA].
6. Esto se derivó por primera vez en Brascamp, HJ; Lieb, EH (1976). "Mejores constantes en la desigualdad de los jóvenes, su inversa y su generalización a más de tres funciones". Avances en Matemáticas . 20 (2): 151–172. doi : 10.1016/0001-8708(76)90184-5 .
7. Bola, Keith M. (1989). "Volúmenes de Secciones de Cubos y Problemas Relacionados". En Lindenstrauss, Joram ; Milman, Vitali D. (eds.). Aspectos geométricos del análisis funcional . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1376. Berlín: Springer. págs. 251–260. doi : 10.1007/BFb0090058 . ISBN 978-3-540-51303-2.
8. Saumard, Adrien; Wellner, Jon A. (2014). "Concavidad logarítmica y concavidad logarítmica fuerte: una revisión". Encuestas Estadísticas . 8 : 45-114. doi : 10.1214/14-SS107 . PMC 4847755 . PMID  27134693. 

• Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . Series nuevas. 39 (3): 355–405. doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .