Desigualdad de Harnack

En matemáticas, la desigualdad de Harnack es una desigualdad que relaciona los valores de una función armónica positiva en dos puntos, introducida por A. Harnack  (1887). La desigualdad de Harnack se utiliza para demostrar el teorema de Harnack sobre la convergencia de secuencias de funciones armónicas. J. Serrin  (1955) y J. Moser (1961, 1964) generalizaron la desigualdad de Harnack a soluciones de ecuaciones diferenciales parciales  elípticas o parabólicas . Dichos resultados se pueden utilizar para mostrar la regularidad interior de soluciones débiles .

La solución de Perelman de la conjetura de Poincaré utiliza una versión de la desigualdad de Harnack, encontrada por R. Hamilton  (1993), para el flujo de Ricci .

La declaración

Una función armónica (verde) sobre un disco (azul) está limitada desde arriba por una función (roja) que coincide con la función armónica en el centro del disco y se acerca al infinito hacia el límite del disco.

La desigualdad de Harnack se aplica a una función no negativa f definida en una esfera cerrada en R ⁿ con radio R y centro x ₀ . Establece que, si f es continua en la esfera cerrada y armónica en su interior, entonces para cada punto x con | x  −  x ₀ | =  r  <  R ,

${\displaystyle {\frac {1-(r/R)}{[1+(r/R)]^{n-1}}}f(x_{0})\leq f(x)\leq {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0}).}$

En el plano R ² ( n = 2) la desigualdad se puede escribir:

${\displaystyle {R-r \over R+r}f(x_{0})\leq f(x)\leq {R+r \over R-r}f(x_{0}).}$

Para dominios generales en la desigualdad se puede enunciar lo siguiente: Si es un dominio acotado con , entonces existe una constante tal que ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}\subset \Omega }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \sup _{x\in \omega }u(x)\leq C\inf _{x\in \omega }u(x)}$

para cada función dos veces diferenciable, armónica y no negativa . La constante es independiente de ; depende únicamente de los dominios y . ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Prueba de la desigualdad de Harnack en una pelota

Por la fórmula de Poisson

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}{\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\cdot f(y)\,dy,}$

donde ω _{n − 1} es el área de la esfera unitaria en R ⁿ y r = | x − x ₀ |.

Desde

${\displaystyle R-r\leq |x-y|\leq R+r,}$

El núcleo en el integrando satisface

${\displaystyle {\frac {R-r}{R(R+r)^{n-1}}}\leq {\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\leq {\frac {R+r}{R(R-r)^{n-1}}}.}$

La desigualdad de Harnack se obtiene sustituyendo esta desigualdad en la integral anterior y utilizando el hecho de que el promedio de una función armónica sobre una esfera es igual a su valor en el centro de la esfera:

${\displaystyle f(x_{0})={\frac {1}{R^{n-1}\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}f(y)\,dy.}$

Ecuaciones diferenciales parciales elípticas

Para ecuaciones diferenciales parciales elípticas , la desigualdad de Harnack establece que el supremo de una solución positiva en alguna región abierta conexa está limitado por una constante multiplicada por el ínfimo, posiblemente con un término añadido que contiene una norma funcional de los datos:

${\displaystyle \sup u\leq C(\inf u+\|f\|)}$

La constante depende de la elipticidad de la ecuación y de la región abierta conectada.

Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas

Existe una versión de la desigualdad de Harnack para ecuaciones en derivadas parciales parabólicas lineales, como la ecuación del calor .

Sea un dominio suave (acotado) en y considere el operador elíptico lineal ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u}$

con coeficientes suaves y acotados y una matriz definida positiva . Supongamos que es una solución de ${\displaystyle (a_{ij})}$ ${\displaystyle u(t,x)\in C^{2}((0,T)\times {\mathcal {M}})}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\mathcal {L}}u=0}$en ${\displaystyle (0,T)\times {\mathcal {M}}}$

de tal manera que

${\displaystyle \quad u(t,x)\geq 0{\text{ in }}(0,T)\times {\mathcal {M}}.}$

Sea compactamente contenido en y elijamos . Entonces existe una constante C  > 0 (que depende sólo de K , , , y los coeficientes de ) tal que, para cada , ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \tau \in (0,T)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t-\tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle t\in (\tau ,T)}$

${\displaystyle \sup _{K}u(t-\tau ,\cdot )\leq C\inf _{K}u(t,\cdot ).}$

Véase también

• Teorema de Harnack

Referencias

• Caffarelli, Luis A.; Cabré, Xavier (1995), Ecuaciones elípticas completamente no lineales , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, págs. 31–41, ISBN 0-8218-0437-5
• Folland, Gerald B. (1995), Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (2.ª ed.), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (1988), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Springer, ISBN 3-540-41160-7
• Hamilton, Richard S. (1993), "La estimación de Harnack para el flujo de Ricci", Journal of Differential Geometry , 37 (1): 225–243, doi : 10.4310/jdg/1214453430 , ISSN  0022-040X, MR  1198607
• Harnack, A. (1887), Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene, Leipzig: VG Teubner
• John, Fritz (1982), Ecuaciones diferenciales parciales , Applied Mathematical Sciences, vol. 1 (4.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6
• Kamynin, LI (2001) [1994], "Teorema de Harnack", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kassmann, Moritz (2007), "Inecuaciones de Harnack: una introducción" Problemas de valores en la frontera 2007 :081415, doi : 10.1155/2007/81415, MR 2291922
• Moser, Jürgen (1961), "Sobre el teorema de Harnack para ecuaciones diferenciales elípticas", Communications on Pure and Applied Mathematics , 14 (3): 577–591, doi :10.1002/cpa.3160140329, MR  0159138
• Moser, Jürgen (1964), "Una desigualdad de Harnack para ecuaciones diferenciales parabólicas", Communications on Pure and Applied Mathematics , 17 (1): 101–134, doi :10.1002/cpa.3160170106, MR  0159139
• Serrin, James (1955), "Sobre la desigualdad de Harnack para ecuaciones elípticas lineales", Journal d'Analyse Mathématique , 4 (1): 292–308, doi :10.1007/BF02787725, MR  0081415
• LC Evans (1998), Ecuaciones diferenciales parciales . American Mathematical Society, EE. UU. Para ecuaciones diferenciales parciales elípticas, véase el teorema 5, pág. 334, y para ecuaciones diferenciales parciales parabólicas, véase el teorema 10, pág. 370.