En el campo matemático de las ecuaciones diferenciales parciales , el principio de Harnack o teorema de Harnack es un corolario de la desigualdad de Harnack que trata de la convergencia de secuencias de funciones armónicas .
Dada una secuencia de funciones armónicas u 1 , u 2 , ... en un subconjunto abierto y conexo G del espacio euclidiano R n , que son puntualmente monótonamente no decrecientes en el sentido de que
para cada punto x de G , entonces el límite
existe automáticamente en la línea de números reales extendida para cada x . El teorema de Harnack dice que el límite es infinito en cada punto de G o es finito en cada punto de G . En el último caso, la convergencia es uniforme en conjuntos compactos y el límite es una función armónica en G . [1]
El teorema es un corolario de la desigualdad de Harnack. Si u n ( y ) es una secuencia de Cauchy para cualquier valor particular de y , entonces la desigualdad de Harnack aplicada a la función armónica u m − u n implica, para un conjunto compacto arbitrario D que contiene y , que sup D | u m − u n | es arbitrariamente pequeño para m y n suficientemente grandes . Esta es exactamente la definición de convergencia uniforme en conjuntos compactos. En palabras, la desigualdad de Harnack es una herramienta que propaga directamente la propiedad de Cauchy de una secuencia de funciones armónicas en un solo punto a la propiedad de Cauchy en todos los puntos.
Una vez establecida la convergencia uniforme en conjuntos compactos, la armonicidad del límite es un corolario inmediato del hecho de que la propiedad del valor medio (preservada automáticamente por la convergencia uniforme) caracteriza completamente las funciones armónicas entre funciones continuas. [2]
La prueba de convergencia uniforme en conjuntos compactos se cumple igualmente bien para cualquier ecuación diferencial parcial elíptica lineal de segundo orden , siempre que sea lineal de modo que u m − u n resuelva la misma ecuación. La única diferencia es que se debe utilizar la desigualdad de Harnack más general que se cumple para soluciones de EDP elípticas de segundo orden, en lugar de la que se cumple solo para funciones armónicas. Una vez establecida la convergencia uniforme en conjuntos compactos, la propiedad del valor medio no está disponible en este contexto más general, por lo que la prueba de convergencia a una nueva solución debe hacer uso de otras herramientas, como las estimaciones de Schauder .
Fuentes
