Ecuaciones de Strominger

En la teoría de cuerdas heterótica , las ecuaciones de Strominger son el conjunto de ecuaciones que son condiciones necesarias y suficientes para la supersimetría del espacio-tiempo . Se derivan al exigir que el espacio-tiempo de 4 dimensiones sea máximamente simétrico y agregar un factor de deformación en la variedad interna de 6 dimensiones. ^[1]

Consideremos una métrica en la variedad interna real de 6 dimensiones Y y una métrica hermítica h en un fibrado vectorial V. Las ecuaciones son: ${\displaystyle \omega }$

1. El espacio-tiempo de 4 dimensiones es Minkowski , es decir, . ${\displaystyle g=\eta }$
2. La variedad interna Y debe ser compleja, es decir, el tensor de Nijenhuis debe desaparecer . ${\displaystyle N=0}$
3. La forma hermítica en el triple complejo Y y la métrica hermítica h en un fibrado vectorial V deben satisfacer, ${\displaystyle \omega }$
   1. ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}\omega =i{\text{Tr}}F(h)\wedge F(h)-i{\text{Tr}}R^{-}(\omega )\wedge R^{-}(\omega ),}$
   2. ${\displaystyle d^{\dagger }\omega =i(\partial -{\bar {\partial }}){\text{ln}}||\Omega ||,}$
      donde es la curvatura de Hull en dos formas de , F es la curvatura de h y es la forma n holomorfa ; F también se conoce en la literatura de física como la intensidad de campo de Yang-Mills . Li y Yau demostraron que la segunda condición es equivalente a estar equilibrado conformemente, es decir, . ^[2] ${\displaystyle R^{-}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d(||\Omega ||_{\omega }\omega ^{2})=0}$
4. La intensidad del campo Yang-Mills debe satisfacer,
   1. ${\displaystyle \omega ^{a{\bar {b}}}F_{a{\bar {b}}}=0,}$
   2. ${\displaystyle F_{ab}=F_{{\bar {a}}{\bar {b}}}=0.}$

Estas ecuaciones implican las ecuaciones de campo habituales y, por lo tanto, son las únicas ecuaciones a resolver.

Sin embargo, existen obstáculos topológicos para obtener las soluciones de las ecuaciones;

1. La segunda clase de Chern de la variedad y la segunda clase de Chern del campo de calibración deben ser iguales, es decir, ${\displaystyle c_{2}(M)=c_{2}(F)}$
2. Debe existir una forma n - holomórfica , es decir, y . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle h^{n,0}=1}$ ${\displaystyle c_{1}=0}$

En caso de que V sea el fibrado tangente y sea Kähler, podemos obtener una solución de estas ecuaciones tomando la métrica de Calabi-Yau en y . ${\displaystyle T_{Y}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T_{Y}}$

Una vez obtenidas las soluciones de las ecuaciones de Strominger, el factor de deformación , dilatón y el flujo de fondo H , se determinan mediante ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \phi }$

1. ${\displaystyle \Delta (y)=\phi (y)+{\text{constant}}}$,
2. ${\displaystyle \phi (y)={\frac {1}{8}}{\text{ln}}||\Omega ||+{\text{constant}}}$,
3. ${\displaystyle H={\frac {i}{2}}({\bar {\partial }}-\partial )\omega .}$

Referencias

1. Strominger, Andrew (1986). "Supercuerdas con torsión". Física nuclear B . 274 (2): 253–284. Código Bibliográfico :1986NuPhB.274..253S. doi :10.1016/0550-3213(86)90286-5.
2. Li y Yau, La existencia de la teoría de cuerdas supersimétrica con torsión , J. Differential Geom. Volumen 70, Número 1 (2005), 143-181

• Cardoso, Curio, Dall'Agata, Lust, Manousselis y Zoupanos, trasfondos de cuerdas no Kähler y sus cinco clases de torsión , hep-th/0211118