Geometría de Riemann
Fue propuesta por primera vez de forma general por Bernhard Riemann en el siglo XIX.
La geometría riemanniana fue planteada por primera vez en general por Bernhard Riemann en el siglo XIX.
Así, Lobachevski en 1829 y Bolyai en 1832 introdujeron los primeros ejemplos de geometría no euclidiana.
Los espacios con geometría hiperbólica que construyeron se consideran ahora casos especiales de variedades riemannianas con "curvatura negativa".
Unos años antes, Gauss estudió la geometría diferencial de superficies del espacio euclídeo.
Se dio cuenta de que esta curvatura podía calcularse sin involucrar el espacio circundante, directamente a partir de la información disponible en la superficie, un teorema que describió como "notable" (theorema egregium).
El primer paso de la geometría riemanniana propiamente dicha se remonta a los trabajos de Bernhard Riemann en el siglo XIX y, en particular, en una conferencia inaugural titulada Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen [3] (es decir, en francés: Sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie).
Este nuevo enfoque amplió enormemente la idea de geometría no euclidiana, aunque su marco conceptual tardó varias décadas en desarrollarse.
Henri Poincaré desarrolló el campo de la topología e introdujo el grupo fundamental.
Se dio un paso decisivo cuando Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita desarrollaron el cálculo tensorial en su obra Methods of absolute differential calculus and their applications publicada en 1900.
[4] Aunque el marco "espacial" aún no está totalmente aclarado, los cálculos avanzan mucho con los tensores.
Las geodésicas permiten responder a la búsqueda de los caminos más cortos entre dos puntos, al igual que las líneas rectas en el espacio euclidiano.
Las curvas que representan el puntos críticos de este funcional se llaman geodésicas.
También se pueden introducir estas geodésicas como los puntos críticos de energía e imaginarlas como bandas elásticas estiradas sobre la variedad.
Esto demuestra que las geodésicas no siempre alcanzan la distancia mínima entre dos puntos: para ir de un punto a otro, se puede seguir el arco del gran círculo más corto o el más largo, o incluso recorrerlos varias veces.
Tampoco existe unicidad del camino más corto en el caso de dos puntos diametralmente opuestos.
Se puede decir en general que las geodésicas son "localmente minimizadoras": entre dos de sus puntos, tomados suficientemente cerca, alcanzan un mínimo para la longitud.
Para formular resultados globales, sólo consideraremos el caso de una variedad conectiva y completo.
En este caso, las geodésicas pueden extenderse para cualquier tiempo, pero con comportamientos globales variables (periodicidad o no, por ejemplo).
En una variedad diferencial general, no hay ninguna manera privilegiada de hacer esto.
La propiedad muy notable de las variedades riemannianas, que Marcel Berger no duda en calificar de "milagro",[Pano 1] es que existe una conexión naturalmente asociada a la métrica, la conexión Levi-Civita.
Utilizando la conexión Levi-Civita, es posible transportar un vector tangente a lo largo de una curva dada.
