El theorema egregium (en latín: 'teorema destacable') o teorema egregio es un resultado fundamental de la geometría diferencial demostrado por Carl Friedrich Gauss y que se refiere a la curvatura de las superficies.Informalmente, el teorema dice que la curvatura gaussiana de una superficie diferenciable puede determinarse por completo midiendo ángulos y distancias sobre la propia superficie, sin hacer referencia a la forma particular en que se curva dentro del espacio euclídeo tridimensional.Gauss formuló el teorema (traducido del latín) como:Gauss lo consideró "destacable" (egregium) porque la definición de curvatura gaussiana hace uso directo de la posición de la superficie en el espacio y por tanto es bastante sorprendente que el resultado no dependa de la manera en que la superficie está inmersa enUn corolario es que sólo existe una isometría entre dos superficies si tienen la misma curvatura gaussiana.
Una consecuencia del
theorema egregium
es que no puede existir un mapa a escala de la Tierra sin distorsión, al tener la superficie de la tierra y el plano diferentes curvaturas gaussianas. La
proyección de Mercator
, mostrada en la imagen,
conserva los ángulos
pero distorsiona las áreas, exagerando su tamaño en los polos norte y sur (
Australia
es mayor que
Groenlandia
aunque la proyección sugiere lo contrario).
Animación que muestra la deformación de una
helicoide
en una
catenoide
, en donde la curvatura gaussiana en puntos correspondientes es la misma.
