Fue demostrado por primera vez por Hans Carl Friedrich von Mangoldt para superficies en 1881, e independientemente por Jacques Hadamard en 1898.
Élie Cartan generalizó el teorema a variedades riemannianas en 1928 (Helgason, 1978;do Carmo, 1992;Kobayashi y Nomizu, 1969).
Un espacio métrico X se dice que es de curvatura no positiva si todo punto p tiene un entorno U en el cual dos puntos cualesquiera están unidos por una geodésica, y para cualquier punto z en U y geodésica de velocidad constante γ en U se tiene Puede ser útil considerar esta desigualdad en términos de un triángulo geodésico Δ = zγ(0)γ(1).
La suposición de curvatura no positiva se puede debilitar (Alexander y Bishop, 1990), aunque con una conclusión correspondientemente más débil.
La forma métrica del teorema demuestra que un complejo celular poliédrico con curvatura no positiva es asférico.