En geometría diferencial, el operador de Laplace, en honor de Pierre-Simon Laplace, se puede generalizar para operar en las funciones definidas sobre superficies en el Espacio euclídeo y, más en general, en el Riemann y pseudo-riemanniana.
El operador de Laplace-Beltrami, como el Laplaciano, es la divergencia del gradiente : Una fórmula explícita en coordenadas locales es posible.
Supongamos primero que M es una variedad de Riemann orientada.
La divergencia div X de un campo vectorial X en el colector se define entonces como la función escalar con la propiedad donde LX es la derivada de Lie a lo largo del campo de vectores X.
En coordenadas locales, se obtiene donde la notación de Einstein está implícita, por lo que el índice i repetida se suma sobre.
El gradiente de una función ƒ escalar es el vector del campo grad f que puede definirse a través del producto interno
Aquí, d ƒ es la derivada exterior de la función f, es una 1-forma toma argumento v x.
Como consecuencia, el operador de Laplace-Beltrami es negativo y formalmente autoadjunto, lo que significa que para funciones soportadas de forma compacta ƒ y h, Debido a que el operador de Laplace-Beltrami, como se define de esta manera, es negativo en lugar de positivo, a menudo se define con el signo opuesto.