Análisis complejo

El análisis complejo (también llamada teoría de las funciones de variable compleja, o infrecuentemente Cálculo Complejo) es la rama de las matemáticas que en parte investiga las funciones holomorfas, también llamadas funciones analíticas.Una función es holomorfa en una región abierta del plano complejo si está definida en esta región, toma valores complejos y por último es diferenciable en cada punto de esta región abierta con derivadas continuas.Si la serie de potencias converge en todo el plano complejo se dice que la función es entera.Un resultado fundamental del análisis complejo es que toda función holomorfa también cumple la definición de función analítica, situación distinta a lo que ocurre con las funciones que únicamente admiten valores reales, ya que en el caso real hay funciones diferenciales en un punto que no son analíticas en ese punto; esta situación constituye una diferencia crucial entre las funciones diferenciables con valores reales y las funciones diferenciables con valores complejos.Los nombres destacados en su desarrollo son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass y muchos más en el siglo XX.Tradicionalmente, el análisis complejo, en particular la teoría de las aplicaciones conformes, tiene muchas aplicaciones en ingeniería, pero es ampliamente usada también en teoría de números analítica.Generalmente se supone que las funciones complejas tienen un dominio que contiene un subconjunto abierto no vacío del plano complejo.Del mismo modo, cualquier función de valor complejo f sobre un conjunto arbitrario X puede considerarse (es isomorfa a) como un par ordenado de dos funciones reales (Re f, Im f) o, alternativamente, como una función vectorial de X aOtros conceptos del análisis complejo, como diferenciabilidad, son generalizaciones directas de los conceptos análogos para funciones reales, pero pueden tener propiedades muy diferentes.En particular, toda función compleja diferenciable es analítica (véase el artículo correspondiente), y dos funciones diferenciables que son iguales en una vecindad de un punto son iguales en la intersección de su dominio (si los dominios son conexos).Esta última propiedad es la base del principio de continuación analítica que permite extender de forma única cualquier función analítica real a una función analítica compleja cuyo dominio es todo el plano complejo.Las funciones complejas que son diferenciables en cada punto de un subconjunto abiertodel plano complejo se dice que son holomorfas enSin embargo, las derivadas complejas y las funciones diferenciables se comportan de manera significativamente diferente en comparación con sus homólogas reales.En particular, para que exista este límite, el valor del cociente de la diferencia debe aproximarse al mismo número complejo, independientemente de la forma en que nos aproximemos aEn consecuencia, la diferenciabilidad compleja, al ser una condición mucho más fuerte que la real, tiene implicaciones mucho más fuertes que la diferenciabilidad real.Por ejemplo, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, mientras que la existencia de la derivada n-ésima no implica necesariamente la existencia de la derivada (n + 1)-ésima para funciones reales.Además, todas las funciones holomorfas satisfacen la condición más fuerte de analiticidad, lo que significa que toda función holomorfa se puede describir localmente, en cada punto de su dominio, por una serie de potencias convergente.Esto contrasta fuertemente con las funciones reales diferenciables; hay funciones reales infinitamente diferenciables que no son analíticas en ninguna parte.no son holomorfas en ninguna parte del plano complejo, como puede demostrarse por su incapacidad para satisfacer las condiciones de Cauchy-Riemann (véase más adelante).Las integrales de contorno en el plano complejo se usan a menudo para encontrar integrales reales complicadas, y para esto es útil la teoría de los residuos.Si una función tiene una singularidad en algún punto (o número finitos de ellos), que quiere decir que sus valores "estallan", que no tiene un valor finito en tales puntos, entonces se puede definir el residuo de la función en dicha singularidad, y estos residuos pueden ser usados para calcular integrales aparentemente difíciles de una manera sencilla, este es el contenido del poderoso teorema de los residuos.Una función acotada que sea holomorfa en el plano complejo debe ser constante; esto es el Teorema de Liouville, que puede usarse para dar una prueba natural y breve del Teorema fundamental del álgebra, que dice que el cuerpo de los números complejos es un cuerpo algebraicamente cerrado.Una propiedad importante de las funciones holomorfas es que si una función lo es en un dominio simplemente conexo entonces sus valores están completamente determinados por sus valores sobre cualquier subdominio más pequeño.La función sobre el dominio más grande se diría que está analíticamente continuada, que es la continuación desde sus valores en el dominio más pequeño.Esto permite extender, a casi todo el plano, la definición de funciones como la función ζ de Riemann que están inicialmente definidas en términos de sumas infinitas que convergen solo sobre dominios limitados.Algunas veces, como en el caso del logaritmo natural, es imposible continuar analíticamente una función holomorfa a un dominio conexo no simple en el plano complejo, pero es posible extenderla a una función holomorfa sobre una superficie íntimamente relacionada conocida como superficie de Riemann.Las funciones analíticas u holomorfas están íntimamente ligadas a las ecuaciones en derivadas parciales de dos modos.Otra manera de entender las funciones holomorfas son como funciones del espacio euclideo dos dimensional en sí mismo cuya derivada es una matriz conforme, es decir es una dilatacíon compuesta con una isometria.[3]​ En particular, si en dimensión dos el teorema de representación conforme de Riemann asegura que cualquier dominio simplemente conexo es la imagen mediante una transformación conforme del disco unidad, la rigidez proporcionada por este teorema de Liouville implica que en dimensiones mayores las imágenes de la bola unidad mediante transformaciones conformes son necesariamente bolas con otro centro y otro radio.